Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

239287

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

547.74 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

f ( xi ; x j ) =

f ( xi ) − f ( x j )

f ( x j ) − f ( xi )

= f ( x j ; xi ).

xi − x j

x j − xi

будем называть разделенными разностями первого порядка.

Разделенной разностью второго порядка на узлах x i , x j , x k назо-

вем величину

f ( xi ; x j ; x k ) =

f ( xi ; x j ) − f ( x j ; x k )

f ( x j ; x k ) − f ( xi ; x j )

xi − xk

x k

− xi

Если известны разделенные разности k-го порядка, то разделенная

разность (k +1) - го порядка на узлах x j , x j +1 ,

, x j + k +1 определяется как

f ( x j ; x j +1 ;… ; x j + k +1 ) =

f ( x j +1 ; x j + 2 ;… ; x j + k +1 ) − f ( x j ; x j +1 ;… ; x j + k )

x j + k +1

− x j

f ( x j ; x j +1 ;… ; x j + k ) − f ( x j +1 ; x j + 2 ;… ; x j + k +1 )

x j − x j + k +1

Заметим, что для построения разделенной разности не обязательно соседство узлов, важно их количество: для разделенной разности k -го порядка требуется (k + 1) узел.

Далее мы будем рассматривать разделенные разности, построенные

по соседним узлам x0 , x1 ,				, x k , k ≤ n :
f ( x0 ; x1 ;…; xk ) =			f ( x1 ; x2 ;…; xk ) − f ( x0 ; x1 ;…; xk −1 )					.
f ( x0 ; x1 ;…; xk ) =								.
					xk − x0
Длятабл. 1.1 можнопостроитьтаблицуразделенныхразностей(табл. 1.2):
							Таблица 1.2
				Разделенные разности
Узлы	0-го	1-го по-		2-го	…	(n −1) -го	n -го
	порядка	рядка		порядка		порядка	порядка
x0	f (x0 )	f (x0 ; x1 )
x1	f (x1 )	f (x0 ; x1 )		f (x0 ; x1 ; x2 )
x1	f (x1 )	f (x1 ; x2 )		f (x0 ; x1 ; x2 )
x2	f (x2 )	f (x1 ; x2 )		f (x1 ; x2 ; x3 )	…
x2	f (x2 )	…		f (x1 ; x2 ; x3 )	…
…	…	…		…	…

Продолжение табл. 1.2

				Разделенные разности
Узлы		0-го	1-го по-	2-го			…	(n −1) -го	n -го
		порядка	рядка	порядка			…	порядка	порядка
		порядка	рядка	порядка				порядка	порядка
							… f (x0;x1;…;xn−1)		f (x0 ; x1;…; xn )
							…		f (x0 ; x1;…; xn )
							…	f (x1; x2 ;…; xn )
…		…	…	…			…
x	n−1	f (x − )		f (x −	;x −	;x )
	n−1	n 1	f (xn−1;xn )	n 2	n 1	n
xn		f (xn )	f (xn−1;xn )
xn		f (xn )
Число		n +1	n	n −1			…	2	1
разностей		n +1	n	n −1			…	2	1

Предложение 1.2. Для разделенной разности k -го порядка справедлива формула

k	f ( x j )
f ( x0 ; x1 ;…; xk ) = ∑			.	(1.17)
	k	− xi )
j =0	∏ ( x j

i=0 i≠ j

Доказательство предложения 1.2 проведем по индукции. Действительно, разделенная разность первого порядка очевидно может быть представлена в виде (1.17):

f ( x 0 ; x1 ) =	f ( x1 ) −	f ( x 0 )	=	f ( x 0 )	+	f ( x1 )	.

	x1 − x 0			x 0 − x1		x1 − x 0

Пусть формула (1.17) справедлива для разделенных разностей (k – 1)- го порядка. Тогда по определению

f ( x0 ; x1 ;…; xk ) =	f ( x1 ; x2 ;…; xk ) − f ( x0 ; x1 ;…; xk −1 )	.

	xk − x0

Подставляя сюда вместо разделенных разностей (k – 1)-го порядка их представления по формуле (1.17), имеем

f (x0 ; x1 ;…; xk ) = xk −1 x0


		f (x j )		f (x j )
	k	f (x j )	k −1	f (x j )
	∑		− ∑			=
	∑	k	− ∑	k −1		=
		∏(x j − xi )	j=0 ∏(x j − xi
j=1		∏(x j − xi )	j=0 ∏(x j − xi		)
		i=1		i=0
		i≠ j		i≠ j

f (xk )

f (x0 )

k −1

f (x j )

+ ∑

−

k −1

− xk

x j

− x0

∏(xk − xi )

∏(x0 − xi )

j=1

(xk

x j

− x0 )∏(x j − xi )

i=0

i=1

i≠k

i≠0

f (x j )

i≠ j

= ∑

j=0

∏(x j

− xi )

i=0 i≠ j

Предложение 1.2 доказано.

Из предложения 1.2 (формулы (1.17)) получаем следующие важные свойства разделенных разностей:

1) разделенная разность является линейным оператором относительно функции f ;

2) разделенная разность f ( x 0 ; x1 ;… ; x k ) является симметрической

функцией своих аргументов x0 , x1 ,		, x k	(значение f ( x 0 ; x1 ;… ; x k ) не
зависитотпорядкаузлов);
3) погрешность интерполяции rn ( x ; f )				представима формулой
rn ( x; f ) = f ( x) − Ln ( x; f ) =								(1.18)
= f ( x; x0 ; x1 ;…; x n )ω( x).								(1.18)
= f ( x; x0 ; x1 ;…; x n )ω( x).
Действительно, имеем
			n			f (xj )
f (x) − Ln (x; f ) = ω(x)	f (x)		+∑			f (xj )
									.
				(x		′			.
	ω(x)		j=0	(x	j	− x) ω(x	j	)
					j		j

Выражение в фигурных скобках совпадает с представлением разделенной разности (n +1) -го порядка f ( x ; x 0 ; x1 ;… ; x n ) по формуле (1.17).

Формула (1.18) доказана;
4) если f C ( n + 1 )	[a ; b ], то
f ( x	0 ; x1 ;… ; x k ) =	f ( k ) (ξ)	,	(1.19)
f ( x	0 ; x1 ;… ; x k ) =	k !	,	(1.19)
где		k !
где
min{x0 , x1 ,…, xn	}< ξ < max{x0 , x1. ,…, xn }, k = 1,… , n .
Действительно, из	следствия 3)	предложения 1.2 для		любого
k =1,…, n имеем
	13

f (x) − Lк−1 (x; f ) = f (x; x0 ; x1;…; xk −1 )(x − x0 )(x − x1 )…(x − xk −1 ) .
С другой стороны, по теореме 1.2 для любого x [a; b ]
f ( x ) − L к −1 ( x ; f ) =	f	( k ) ( ξ )	( x − x 0 )( x − x1 ) … ( x	− x k −1 ),
	( k + 1)!

где α = min{x, x0 , x1 ,…, xk −1}< ξ < max{x, x0. , x1 ,…, xk −1}= β . Следовательно,

f ( x , x 0 ; x1 ;… ; x k −1 ) =		f ( k ) (ξ )			, α < ξ < β . Полагая здесь x = xk , получа-

емследствие4).			k !
		f	– многочлен степени n { f Ρ( n ) , deg f =n},
Замечание 1.9. Если
то для любого	k =1,…,n		разделенная разность k-го порядка			f (x; x0 ;
x1 …; xk−1) естьмногочленстепени n − k .
Отсюда следует, что если				f – многочлен n-й степени, то разделенная
разность (n +1) -гопорядкаот			f	тождественноравнанулю.
Полученные результаты позволяют записать интерполяционный мно-
гочлен для табл. 1.1 в виде Pn ( x; x0 , x1 ,… , xn ; f ) = Ν ( x; f ) :
Ν n ( x; f ) = f ( x0 ) + f ( x0 ; x1 )( x − x0 ) +
+	f ( x0 ; x1 ; x 2 )( x − x0 )( x − x1 ) + … +					(1.20)
+ f ( x0 ; x1 ;… ; x n )( x − x0 )( x − x1 )… ( x − x n −1 ).

Действительно, имеет место очевидное равенство

Νn ( x; f ) = L0 ( x; f ) + (L1 ( x; f ) − L0 ( x; f ) )+

+(L2 ( x; f ) − L1 ( x; f ) )+ … + (Ln ( x; f ) − Ln −1 ( x; f ) ),

где Lk (x; f ) = Lk (x; x0 , x1 ,…, xk ; f ) , (k =0,1,…,n) – интерполяционный многочлен Лагранжа степени k , построенный по узлам x0 , x1 ,…, xk табл. 1.1.

Из очевидного равенства

Lk −1 (x j ; f ) = Lk −1 (x j ; Lk ) = Lk (x j ; f ) = f (x j ) , j = 0 ,1,… , k − 1

следует, что многочлен Lk −1 ( x; f ) является интерполяционным для много-

члена Lk ( x; f ).

По следствию 2) предложения 1.2 имеем

Lk ( x; f ) − Lk −1 ( x; f ) =

= ρk ( x; x0 ; x1 ;…; x k −1 )( x − x0 )( x − x1 )… ( x − x k −1 ),

где ρk ( x ; x 0 ; x1 ;… ; x k −1 ) –		разделенная разность k-го		порядка от
функции ρk ( x) = Lk ( x;	f ).
Пусть ρk ( x ) = L k	( x ; f )	= α 0 + α1 x +	+ α k x k .	Из следст-

вия 3) предложения 1.2 получаем, что для любого x разделенная разность

ρk ( x; x0 ; x1 ;… ; x k −1 ) = αk .

Так как Lk (xj ; f ) = f (xj ) при j = 0 , 1,… , k , то при x = xk , имеем

ρk ( xk ; x0 ; x1 ;…; xk −1 ) = αk = f ( x0 , x1 ,…, xk )

и, следовательно,

Lk (x; f ) − Lk−1 (x; f ) = f (x0 ; x1;…; xk )(x − x0 )(x − x1)…(x − xk ).

Формула (1.20) доказана.

Явная запись интерполяционного многочлена для табл. 1.1 в виде

(1.20) называется интерполяционной формулой Ньютона, а полином Νn (x; f ) – интерполяционным многочленом Ньютона (полиномом

Ньютона).

Важное замечание 1.3. Интерполяционную формулу Ньютона можно считать дискретным аналогом формулы Тейлора. При этом она не содержит производных и ее погрешность (1.18) напоминает остаточный член формулы Тейлора.

Достоинством записи интерполянта в форме Ньютона является то, что для повышения степени интерполяционного многочлена нет необходимости в его полной перестройке; достаточно лишь добавить к уже полученному выражению еще одно или несколько слагаемых. Кроме того, с помощью разделенных разностей можно приближенно оценивать погрешность интерполяции.

1.5. Интерполяция с равноотстоящими узлами

Зададим узлы интерполяции x i = x 0 + ih , i = 0 ,… , n , h > 0 –

шаг. Пусть

f C ( n +1) [a; b ] и [x0 ; xn ] [a; b ]. Введем безразмерную неза-

висимую переменную q

x − x0

. Имеем

x = x 0

+ qh ,

x i − x 0

x 0 + ih − x 0

= i

x − x j

= h ( q − j ) , x i

− x j = h (i − j ) .

Используя полученные выражения, запишем интерполяционный мно-

гочлен Лагранжа (1.6) в виде

~(n)

(n)

(q) , (1.21)

Ln (x; f ) = Ln (x0 + qh) = ∑ f (xk ) lk

(x0 + qh) =∑ f (xk )

где

k =0

n−k q(q −1)…(q

− k +1)(q − k −1)…(q − n)

~ ( n )

( q ) = (−1)

k!(n − k)!

ω(x) = (x − x0 )(x − x1 )…(x − xn−1 )(x − xn ) = h

n+1

ω(q) ,

где

= q(q −1)…(q −n) .

ω(q)

Теперь погрешность интерполяции (1.10) представляется формулой

		n +1	~	f ( n +1 ) (ξ )
rn ( x; f )	= rn ( x 0 + qh ) = h		ω ( q )		, (1.22)
				( n + 1)!
где ξ = ξ ( x ) та же самая, что и в формуле (1.9).

Заметим, если	x [x0 ; xn ], то q [0; n ]. В этом случае с учетом

(1.12) и (1.22) имеем максимальную оценку погрешности интерполяции для равноотстоящих узлов

max

rn ( x ; f )

≤ h n +1

M nh+1

Ω n ,

(1.23)

( n + 1)!

x 0 ≤ x ≤ x n

где

Ω n

= max

ω ( q )

0 ≤ q ≤ n

M nh+1 = max

f ( n +1 ) ( x )

≤ M n +1 = max

f ( n +1 ) ( x )

x 0 ≤ x ≤ x т

a ≤ x ≤ b

Величина

Ω n не зависит от

h .

Ее можно заранее вычислить или

оценить. В частности,

Ω1

= 1 4 , Ω2 = 2

3 3 ,

Ω 3 = 1 ,

Ω4 < 1,7 ,

Ω 5

< 17 .

(1.24)

Можно показать, что Ω n

≤ n!. Используя это неравенство,

получа-

ем из (1.23)

h n +1

max

rn ( x ; f )

≤

M nh+1 .

(1.25)

n + 1

x 0 ≤ x ≤ x n

Важное замечание 1.4. Из оценки (1.23) следует, что если число уз-

лов табл. 1.1 фиксировано (n = const) ,

то при уменьшении

h максималь-

ная погрешность интерполяции для равноотстоящих узлов ведет себя как

O ( h n +1 ) . Отметим, что при уменьшении шага h

вдвое правая часть

оценки (1.23) уменьшится

по

крайней

мере

2 n + 1 раза, так как

M nh+21 ≤ M nh+1 .

x i

Замечание

1.10.

Для

заданного

узлы

интерполяции

= x 0 + ih ,

i = 0 ,… , n

целесообразно выбирать так,

чтобы точка

находилась как можно ближе к середине отрезка [x0 ; xn

]

(объясните,

почему).

x 0

+ x n

Если выполнено неравенство

x −

≤

, то формула (1.23)

для погрешности интерполяции может быть уточнена.

В этом случае справедлива оценка

rn ( x ;

f )

≤ h n +1

M nh+1

Ω (n0 ) ,

(1.26)

( n + 1)!

где

( 0 )

max

Ω n

ω ( q )

В частности,

q − n

≤1

Ω(0)

=1 4, Ω(0) =3 8, Ω(0) =9 16, Ω(0)

= 45 32,

Ω(0)

=225 64.

(1.27)

Сопоставляя (1.27) и (1.24), получаем, что оценка (1.26) для x , удов-

летворяющих условию

x −

x 0

+ x n

≤

h , является более точной, чем

(1.23).

Для табл. 1.1 с равноотстоящими узлами xi

= x0

+ ih , i = 0,…, n, h >

> 0 введем в рассмотрение конечные разности функции f .

Обозначим f k =

f ( x k

) ,

k = 0 , … , n . Величину

f (xk ) =

fk = f (xk

+h) − f (xk ) = f (xk+1 ) − f (xk ) = fk+1 − fk

(1.28)

назовем конечной разностью

первого

порядка функции

f в

точке

xk = x0 + kh.

Конечной разностью второго порядка функции f

в точке xk назо-

вем величину

( f

)= f

2 f (x ) = 2 f

k+1

− f

(1.29)

=(fk+2 − fk+1 )−(fk+1 − fk )

= fk −2 fk+1 + fk+2.

Если известны конечные разности m -го порядка,

то разделенная

разность (m +1) -го порядка функции

в точке xk определяется как

m+1 f (x ) = m+1 f

(

m f

− m f

(1.30)

k+1

где m ≥1,

0 fk = fk .

Для табл. 1.1 можно построить таблицу конечных разностей (табл. 1.3):

Таблица 1.3

Узлы

Конечные разности

0-го

1-го

2-го

…

(n −1)-го

n -го

порядка

2 f

2 f1

…

Продолжение табл. 1.3

Узлы			Конечные разности
Узлы	0-го	1-го	2-го	…	(n −1)-го	n -го
	порядка	порядка	порядка	…	порядка	порядка
…	…	…	…	…	n−1 f0
				…	n−1 f0	n f0
				…	n−1 f1	n f0
…	…	…	…	…	n−1 f1
…	…	…	…	…
xn−1	fn−1	fn−1	2 fn−2
xn	fn	fn−1
xn	fn
Число	n +1	n	n −1	…	2	1
разностей	n +1	n	n −1	…	2	1
разностей

Из предложения 1.2 и его следствий получаем нижеперечисленные основные свойства конечных разностей.

1. Конечнаяразностьявляетсялинейнымоператоромотносительно	f .
2. Для любого m ≥ 1 конечная разность вычисляется по формуле

m
m f k = ∑ ( −1) j C mj f k + m − j ,
j =0
где C mj – коэффициенты бинома Ньютона.
3. Значение функции f в точке	xi + kh (точка принадлежит мно-
жеству узлов табл. 1.1, i + k ≤ n ) вычисляется по формуле
		k	j fi .
f ( xi + kh) = f ( xi+k ) = fi+k = ∑Ckj			j fi .
		j=0
4. Разделенные разности и конечные разности связаны соотношением
f ( x0 ; x1 ;…; xk ) =	k f ( x0 )	k f0
f ( x0 ; x1 ;…; xk ) =	h k k!	= h k k!	.	(1.31)
5. Если f C ( n +1 ) [a ; b ], то
m f ( xk ) = h m f ( m ) (η ),				(1.32)
где η (xk ; xk +m ).
Из формулы (1.32) следует, что конечные разности n -го порядка от
многочлена степени n постоянны, а разности любого более высокого по-
рядка равны нулю.
Используя связь (1.31) между разделенной разностью и конечной раз-

ностью и полагая q =	x − x 0	, получим из интерполяционной формулы
	h

Ньютона (1.20) интерполяционный многочлен для равноотстоящих узлов

( x i = x 0 + ih , i = 0,… , n , h > 0 )

+ qh) = f

+ q

+ q(q −1)

Νn

(x; f ) = Ν(x0

3 f

n f

(1.33)

+ q(q −1)(q − 2)

+…

+ q(q −1)…(q − n +1)

0 .

Многочлен (1.33) называется интерполяционным многочленом

Ньютона для равноотстоящих узлов для интерполяции вперед (первым интерполяционным многочленом Ньютона). Этот многочлен использу-

ется для вычисления значения функции в начале таблицы. Погрешность интерполяции здесь определяется формулой (1.20).

Важное замечание 1.5. Для табл. 1.1 с равноотстоящими узлами величину fk+1 − fk (конечную разность в точке xk ) можно отнести к различ-

ным точкам x k , x		1		=	x k + x k + 1		, x k + 1	. Обозначают эту величину в
	k +		2
						2		fk – разность вперед, fk –
зависимости от точки, к которой ее относят:
разность назад, δf k + 1			2	=	f k1+ 1	– центральная разность.
						2

Таким образом,

fk+1 − fk = fk = fk +1 = δfk+12 = fk1+12 .

Аналогично (1.30) разности высших порядков определяют с помощью рекуррентных соотношений:

m+1 fk =( m fk )=m fk −m fk−1,

δm+1 fk =δ(δm fk )=δm fk+12 −δm fk−12 , fкm+1 = fkm+12 − fkm−12 .

Используя разности назад и центральные, можно построить специальные интерполяционные многочлены для вычисления значения функции в конце и середине таблицы (вторая интерполяционная формула Ньютона, интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя).

1.6. Оптимальный выбор узлов интерполяции. Многочлены Чебышева

Формула (1.9) показывает, что погрешность интерполяции зависит от гладкости интерполируемой функции f ( f С(n+1) [a;b]) и выбора узлов x0 ; x1 ;… ; xn . Естественно возникает задача нахождения такого расположения узлов интерполяции x i , i = 0,…, n на отрезке [a;b], при ко-

тором минимальна величина	max	ω ( x )	и тем самым минимальна правая

	a ≤ x ≤b

часть оценки погрешности интерполяции (1.11). Эта задача называется за-

дачей об оптимальном выборе узлов интерполяции.

Замечание 1.11. Величина

max

ω ( x )

С [a ;b ]

в конструк-

a ≤ x ≤b

тивной теории функций называется уклонением функции ω

от нуля на

отрезке [a; b].

Сначала найдем решение задачи об оптимальном выборе узлов интерполяции на отрезке [−1; 1]. Для этого нам понадобятся многочлены Че-

бышева.
МногочленЧебышева T n ( x )		для n = 1,2,…определяетсяформулой
T n ( x ) =	1n {(x + x 2	− 1 ) n + (x − x 2 − 1 ) n	. (1.34)
	2

Положим T0 ( x ) ≡ 1 .

Покажем, что формула (1.34) действительно определяет многочлен степени n с коэффициентом при старшей степени, равным 1.

Используя формулу бинома Ньютона, имеем
(x + x2 −1)n = xn + x Cn1 x2 −1 + x2 Cn2 (x2 −1) +…+ ( x2 −1)n ,
(x − x2 −1)n = xn − x Cn1 x2 −1 + x2 Cn2 (x2 −1) +…+(−1)n (	x2 −1)n .

Отсюда следует, что члены, содержащие иррациональности, при сложении взаимно уничтожаются. Получаем, что выражение (1.34) действительно является многочленом степени n.

Так как

lim	Tn ( x )		=
	x	n
x → ∞

	1						1
	1						1
=			limx → ∞	1	+	1 −
=	2	n	limx → ∞	1	+	1 −	x	2
	2						x

то коэффициент при старшей степени

n					1		n
					1
		1	−	1 −		2	= 1,
	+	1	−	1 −	x	2	= 1,
					x

x n , n ≥ 1 многочлена T n ( x ) равен 1.

Таблица 1.4

	Многочлены Чебышева
Степень	Многочлен Чебышева
n = 0	T0 (x) ≡1
n = 1	T1 (x) = x

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.22 Mб82384.doc
#
26.02.2023100.04 Кб1238607.pdf
#
15.11.2022246.42 Кб4239071.pdf
#
13.11.202292.16 Кб52392.doc
#
15.11.2022275.1 Кб1239274.pdf
#
15.11.2022547.74 Кб2239287.pdf
#
13.11.20222.73 Mб422394.doc
#
13.11.20222.12 Mб82395.doc
#
13.11.2022267.78 Кб52397.doc
#
13.11.2022176.04 Кб32400.doc
#
13.11.2022169.98 Кб22401.doc