Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

186836

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

287.34 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

Кафедра математического анализа

А. Н. Павленко

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Методические указания

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Оренбург

2011

УДК 517.9 (076) ББК 22.161.6я7 П 12

Рецензент - кандидат педагогических наук Е. Н. Рассоха

Павленко, А.Н.

П12 Справочные материалы по теории дифференциальных и разностных уравнений: методические указания / А. Н. Павленко; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2011. –

27с.

Вданной работе изложены основные сведения справочного характера по теории дифференциальных и разностных уравнений. Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлению подготовки 010300 – «Фундаментальные информатика и информационные технологии».

Методические указания изданы в рамках выполнения гранта Министерства образования и науки Российской Федерации (АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» − №3.1.1/13256).

УДК 517.9 (076) ББК 22.161.6я7

Содержание

Введение………………………………………………………………………	5
1 Обыкновенные дифференциальные уравнения………………………….	6
1.1 Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных урав-
нений………………………………………………………………………….	6
1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, раз-
решимые в квадратурах……………………………………………………..	8

1.3Уравнения, допускающие понижения порядка……………………….. 10

1.4Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго по-

рядка с постоянными коэффициентами……………………………………	10
1.5 Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с постоянными коэффициентами………………………..	13

1.5.1Метод исключения……………………………………………………. 13

1.5.2Решение однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами с помо-

щью нахождения собственных значений и собственных векторов мат-

рицы системы………………………………………………………………… 13 1.5.3 Нахождение частного решения неоднородной системы обыкно-

венных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами с помощью метода неопределенных коэффициентов… 14 1.6 Элементы теории устойчивости для обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений и их систем…………………………………………………. 15 2 Разностные уравнения…………………………………………………….. 17

2.1Линейные разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами……………………………………………………………... 17

2.2Элементы теории устойчивости для разностных уравнений…………. 20 3 Уравнения в частных производных………………………………………. 20

3.1Уравнения в частных производных первого порядка…………………. 20

3.2	Типы линейных уравнений в частных производных второго порядка	21
3.3	Задачи для гиперболических и параболических уравнений…………..	23

3.4 Некоторые задачи Дирихле для уравнения Лапласа………………….. 25

Список использованных источников………………………………………. 27

Введение

Настоящие методические указания составлены в соответствии с про-

граммой изучения дисциплины «Дифференциальные и разностные уравне-

ния» студентами направления подготовки 010300 – «Фундаментальные ин-

форматика и информационные технологии». Данный предмет относится к дисциплинам общематематического и естественнонаучного цикла.

Разделы высшей математики, посвященные обыкновенным дифферен-

циальным уравнения, уравнениям с частными производными и разностным уравнениям, не только сами имеют многочисленные практические приложе-

ния, но и является необходимыми при изучении дисциплин «Физика» и «Вы-

числительная математика».

Следует отметить, что в данных методических указаниях приведены исключительно важнейшие определения и методы решения наиболее часто встречающихся задач. Такое изложение материала позволяет использовать указания для быстрого поиска необходимой информации при самостоятель-

ной работе студентов над домашними заданиями, индивидуальными зада-

ниями и т. д.

Настоящие методические указания могут быть использованы студен-

тами и других математических, физических и инженерных направлений под-

готовки.

1 Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1 Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных

уравнений

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)

первого порядка называется уравнение вида F x, y, y 0.

Замечание. ОДУ первого порядка обязательно в явном виде содержит y и может не содержать в явном виде x или/и y.

у f x, y - нормальный вид ОДУ первого порядка.

Таблица 1 - Решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

	Определение. Непрерывно дифференцируемую функцию	y y x будем назы-
Решение	вать решением ОДУ первого порядка на промежутке I ,	если при подстановке
	функции y y x в ОДУ получается верное тождество на I .

	Определение. Пусть y x,C - решение ОДУ пер-
	вого порядка, зависящее от произвольной постоянной C.
	Функция y x,C называется общим решением это-
Общее	го уравнения на области D R2, если:
решение	1) через каждую точку области D проходит единствен-
	ная интегральная кривая данного ОДУ;
	2) интегральные кривые y x,C целиком заполня-
	ют область D.

	Пусть y x,C - общее решение ОДУ первого по-
Частное	рядка. Если в общем решении мы вместо C подставим
решение	конкретное число, то получим частное решение данного
	ОДУ.

	6

Продолжение таблицы 1

Решение ОДУ первого порядка называется особым ре-

Особое

шением, если через каждую точку графика этого решения

решение

проходит более одной интегральной кривой.

Теорема Коши для ОДУ первого порядка. Пусть дана задача Коши

вида

y f x, y ,

y x0 y0.

Если функция	f x, y и ее частная производная fy x, y непрерывны в
некоторой окрестности точки		M0 x0, y0 , то тогда в некоторой окрестности
точки x x0 данная задача Коши имеет единственное решение.
Определение.	ОДУ	n-го порядка называется уравнение вида

Fx, y,y , y ,...,y n 0.

уn f x, y,y ,...,y n 1 - нормальный вид ОДУ n-го порядка.

Таблица 2 - Решения обыкновенного дифференциального уравнения n-

го порядка

		Определение. n раз непрерывно дифференцируемую функцию y y x бу-
	Решение	дем называть решением ОДУ n-го порядка на промежутке I , если при подста-
		новке функции y y x в ОДУ получается верное тождество на I .
	Общее	y x,C1,C2,...,Cn
	решение	y x,C1,C2,...,Cn
	Частное	Пусть y x,C1,C2,...,Cn - общее решение ОДУ n-го порядка. Подставив
	Частное	в общем решении вместо C1, C2 ,…, Cn конкретные числа, получим частное
	решение
		решение данного ОДУ.

Теорема Коши для ОДУ n-го порядка. Пусть дана задача Коши вида

y n f x, y, y ,...,y n 1 ,

y x0 y0,y x0 y1,

y x0 y2,

...........................

y n 1 x0 yn 1.

	Если функция f x,y0, y1,...,yn 1 и ее частные производные
fy	x, y0, y1,...,yn 1 i		непрерывны в некоторой окрестности точки
		0,n 1
i

M0 x0,y0, y1,...,yn 1 , тогда в некоторой окрестности точки x x0 данная за-

дача Коши имеет единственное решение.

1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого поряд-

ка, разрешимые в квадратурах

Таблица 3 - Обыкновенные дифференциальные уравнения первого по-

рядка, разрешимые в квадратурах

Название	Вид ОДУ			Метод решения
ОДУ	Вид ОДУ			Метод решения
ОДУ
		Разделение переменных и после-
		дующее интегрирование.
	y f x g y	Общий интеграл:
	y f x g y		dy	f x dx C.
			dy
Уравнение с			g y
Уравнение с			g y
разделяю-		Возможна потеря решений.
щимися пе-		Разделение переменных и после-
ременными		дующее интегрирование.
	M x P y dx N x Q y dy 0	Общий интеграл:
	M x P y dx N x Q y dy 0		M x		Q y
				dx		dy C
			N x	dx	P y	dy C
			N x		P y
		Возможна потеря решений.

Продолжение таблицы 3

Замена

y ux

и разделение перемен-

y f x, y , если t 0 вы-

ных с последующим интегрированием.

Общий интеграл:

полняется

f tx,ty f x, y

f 1,u u

Возможна потеря решений.

Однородные

P x, y dx Q x,y dy 0,

где

Замена

y ux

и разделение перемен-

уравнения

P x, y и

Q x, y - однород-

ных с последующим интегрированием.

ные функции с одинаковой сте-

Общий интеграл:

Q 1,u

пенью однородности n, то есть

du C.

t 0

выполняется

P 1,u uQ 1,u

P tx,ty tnP x, y

Возможна потеря решений.

Q tx,ty tnQ x, y .

Уравнение в

P x, y dx Q x,y dy 0,

u x, y P x, y dx C1 y ,

полных диф-

где

u x, y Q x, y dy C2 x .

ференциалах

Общий интеграл: u x, y C.

Линейное

Подстановка y uv.

уравнение

y p x y q x

Общий интеграл:

первого по-

p x dx

рядка

y q x e

dx C e

y p x y q x ya

Сведение к уравнению с разделяющи-

Уравнение

мися

переменными

подстановкой

Бернулли

a 0, a 1 .

y uv.

Возможна потеря решений.

Замена

p y , нахождение производ-

Уравнение

ной от обеих частей уравнения.

y xy y

Общее решение:

y Cx C .

Клеро

p 0,

Особое решение:

y xp p .

1.3 Уравнения, допускающие понижения порядка

Таблица 4 - Уравнения, допускающие понижения порядка

Вид ОДУ			Метод решения

y n f x			Последовательно проинтегрировать n раз
F x, y m , y m 1 ,...,y n 0		1 m n	Замена z y m

			Замена		p y , где p - функция от y,
F y, y , y	0		y
				p p

1.4 Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения вто-

рого порядка с постоянными коэффициентами

Таблица 5 – Общее решение однородного обыкновенного дифференци-

ального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

ОДУ

y py qy 0

Характери-

стическое

2 p q 0

уравнение

Корни

Два простых действи-

Один

действитель-

Два комплексно сопряжен-

тельных корня

ный

корень

второй

ных корня

1, 2

кратности

1,2 i

Общее реше-

y C e 1x

e 2x

y C x C

e x

y e

C1 cos x C2 sin

ние

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022460.17 Кб1180226.pdf
#
15.11.2022517.16 Кб3181484.pdf
#
15.11.2022210.73 Кб2186568.pdf
#
15.11.2022255.37 Кб4186572.pdf
#
15.11.2022544.91 Кб2186810.pdf
#
15.11.2022287.34 Кб3186836.pdf
#
15.11.20221.19 Mб2186847.pdf
#
15.11.2022708.57 Кб4187023.pdf
#
13.11.2022607.85 Кб101871.pdf
#
15.11.2022801.57 Кб2187878.pdf
#
15.11.2022335.34 Кб5187925.pdf