186836
.pdfЗдесь x, y - произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
3.2 Типы линейных уравнений в частных производных второго по-
рядка
Определение. Квазилинейным уравнением в частными производными
второго порядка для функций двух переменных будем называть уравнение
Auxx 2Buxy Cuyy f x, y,u,ux,uy 0. |
(3) |
Здесь A, B и C - непрерывные функции двух переменных x и y.
Определение. Решением уравнения (3) будем называть дважды непре-
рывно дифференцируемую функцию u u x, y , которая при подстановке в уравнение (3) обращает его в верное тождество.
Таблица 10 – Типы квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка
Тип |
B2 AC |
Канонический вид |
Физические за- |
|
дачи |
||||
|
|
u f , ,u,u ,u 0, |
||
гиперболиче- |
0 |
Волновые про- |
||
ский |
u u f , ,u,u ,u 0 |
цессы |
||
|
||||
|
|
|
|
|
параболиче- |
|
u f , ,u,u ,u 0 |
Распростране- |
|
ский |
0 |
ние тепла, диф- |
||
|
|
|
фузия |
|
|
|
|
|
|
эллиптиче- |
0 |
u u f , ,u,u ,u 0 |
Стационарные |
|
ский |
явления |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
21
Таблица 11 – Приведение квазилинейных уравнений в частных произ-
водных второго порядка к каноническому виду
|
|
|
dy 2 |
|
dy |
|
|
|
|||||
Уравнение характеристик A |
|
|
2B |
|
|
C 0 |
|
||||||
|
dx |
|
|||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Общие |
интегралы |
|
Замена переменных |
|||||||
Тип |
|
B2 AC |
уравнения |
характе- |
|
|
|
||||||
|
|
|
ристик |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
гиперболический |
|
0 |
x, y C, |
|
|
|
|
x, y , |
|||||
|
x, y C |
|
|
|
|
x, y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параболический |
|
0 |
x, y C |
|
|
|
|
x, y , |
|||||
|
|
|
|
|
x или y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эллиптический |
|
0 |
x, y i x, y C |
|
x, y , |
||||||||
|
|
x, y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таблица 12 – Виды задач для различных типов уравнений в частных |
|||||||||||||
производных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тип |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача Коши |
|
уравнение в частных произ- |
|
гиперболический, |
пара- |
||||||||
|
|
водных + начальные условия |
|
болический |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Граничная задача |
|
уравнение в частных произ- |
|
эллиптический |
|
||||||||
|
|
водных + граничные условия |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Смешанная задача |
|
уравнение в частных произ- |
|
гиперболический, |
пара- |
||||||||
|
|
водных + начальные условия |
|
болический |
|
||||||||
|
|
+ граничные условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
3.3 Задачи для гиперболических и параболических уравнений
1. Задача Коши для однородного одномерного гиперболического урав-
нения в частных производных имеет вид:
УЧП: u a2u |
xx |
( x , t 0); |
|
|
|||||||
|
|
tt |
|
|
|
|
|
|
|
||
НУ: u |
|
t 0 x , ut |
|
t 0 x ( x ). |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x at x at |
|
1 |
x at |
|
Она имеет решение u x,t |
|
d . |
|||||||||
|
2a |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
x at |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Задача Коши для однородного одномерного параболического урав-
нения в частных производных имеет вид:
УЧП: ut a2uxx ( x , t 0); НУ: ut 0 x ( x ).
|
|
1 |
|
|
|
x 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Она имеет решение u x,t |
|
|
e |
|
4a |
2t d . |
|||
|
|
|
|
||||||
2a |
|
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Смешанная задача для однородного одномерного гиперболического уравнения в частных производных и неоднородных начальных условий име-
ет вид:
УЧП: utt a2uxx (0 x L, t 0);
|
НУ: u |
|
t 0 x , ut |
|
t 0 x (0 x L); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ГУ: u |
|
x 0 0, u |
|
x L 0 (t 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
an |
|
n |
|
|
|
|
Ее |
|
|
|
|
решение |
|
u x,t An cos |
|
|
t Bn sin |
|
t sin |
|
x, |
где |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
L |
L |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
L |
|
|
|
|
n |
2 |
L |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
An |
|
|
x sin |
|
xdx, Bn |
|
x sin |
|
xdx. |
|
|
|
|
|
||||||||||
L |
L |
an |
L |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Смешанная задача для однородного одномерного параболического
уравнения в частных производных и неоднородных начальных условий име-
ет вид:
23
УЧП: ut a2uxx (0 x L, t 0);
НУ: ut 0 x (0 x L); ГУ: u x 0 0, u x L 0 (t 0).
|
|
an |
2 |
|
|
||
|
|
|
t |
n |
|
||
|
|
||||||
Ее решение u x,t Ane |
|
L |
|
sin |
x, где |
||
|
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
L |
|
2 |
L |
n |
|
An |
|
x sin |
|
xdx. |
L |
L |
|||
|
|
0 |
|
|
5. Смешанная задача для неоднородного одномерного гиперболическо-
го уравнения в частных производных и однородных начальных условий име-
ет вид:
УЧП: utt a2uxx f x,t (0 x L, t 0);
НУ: ut 0 0, ut t 0 0 (0 x L); ГУ: u x 0 0, u x L 0 (t 0).
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Ее решение u x,t Cn t sin |
x, где |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n 1 |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
an |
|
|
|
|
2 |
L |
n |
|
Cn t |
|
fn sin |
|
t d , |
fn t |
|
f x,t sin |
|
xdx. |
||
an |
L |
L |
L |
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
6. Смешанная задача для неоднородного одномерного параболического уравнения в частных производных и однородных начальных условий имеет вид:
УЧП: u |
a2u |
xx |
|
f x,t |
(0 x L, t 0); |
|||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
НУ: u |
|
t 0 0 (0 x L); |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
ГУ: u |
|
x 0 0, u |
|
x L 0 (t 0). |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Ее решение u x,t Cn t sin |
x, где |
|||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
L |
|
|
an |
2 |
|
t |
|
|
|
t |
|
||||
Cn t fn e |
L |
|
d |
|
0 |
|
|
|
|
, fn |
t |
2 |
L |
f x,t sin |
n |
xdx. |
L |
|
|
||||
|
|
|
L |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
24
3.4 Некоторые задачи Дирихле для уравнения Лапласа
1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге имеет вид:
1 1
УЧП: u u 2 u 0 (0 R);
ГУ: u R f .
Ее решение u , |
A |
|
|
|
|
|
n |
An cosn Bn sinn , где |
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||||
A0 |
f d , |
An |
f cosn d , |
Bn |
f sinn d . |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
Решение также можно записать в виде интеграла Пуассона |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
R2 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
u , |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
d . |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R |
cos |
|
|
2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа во внешности круга имеет
вид:
1 1
УЧП: u u 2 u 0 ( R);
ГУ: u R f .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
Ее решение u , |
|
0 |
|
|
|
|
An cosn Bn sinn , где |
||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
R |
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
||||
A0 |
|
f d , |
|
An |
|
f cosn d , Bn |
|
f sinn d . |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
||||
3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце имеет вид: |
|||||||||||||||||||||
УЧП: u |
|
|
1 |
u |
|
|
1 |
|
u |
0 |
(r R); |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГУ: u r f , u R f .
Ее решение
u , A0 B0 ln An n Bn n cosn Cn n Dn n sinn , n 1
где коэффициенты A0, B0, An , Bn , Cn и Dn находятся из систем:
25
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|||||||||
A0 B0 lnr |
|
|
|
|
|
f d , |
Anrn |
Bnr n |
|
f cosn d , |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 F d ; |
|
|
|
|
1 |
|
2 F cosn d ; |
|||||
A B lnR |
|
|
|
|
A Rn |
B R n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Cnrn Dnr n |
|
|
f sinn d , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
CnRn |
DnR n |
F sinn d . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
26
Список использованных источников
1 Краснов, М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Крас-
нов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. М.: КомКнига, 2005. 256 с.
2 Самарский, А.А. Разностные уравнения / А.А. Самарский, Ю.М. Ка-
рамзин. М.: Знание, 1978. - 62 с.
3 Боголюбов, А. Н. Задачи по математической физике: учеб. пособие /
А. Н. Боголюбов. – М.: Изд-во МГУ, 1998. – 350 с.
27