Расчет электрических цепей частотным методом (96

в

Рис. 16

Пример 5.2. Рассмотрим в примере замену магнитной связи электрической в схеме на рис. 17, а. Топографическая особенность схемы состоит в том, что к общему узлу параллельных магнитосвязанных индуктивностей присоединена еще ветвь, причем емкость расположена между индуктивностями. В эквивалентной схеме с электрическими связями емкость должна сохранить непосредственное соединение с клеммой резистора R и источника u. Замена упрощается, если на параллельном участке ветвь с емкостью перенести влево. Схема замещения представлена на рис. 17, б. Знаки перед М определены тем, что индуктивности подключены разноименными зажимами к узлу, относительно которого выполняется «развязка».

Рис. 17

21

Пример 5.3. Рассмотрим расчет линейного (воздушного) трансформатора, схема которого представлена на рис. 18, а. Трансформатор – две индуктивно связанные обмотки, не имеющие между собой электрической связи. Его применяют для преобразования токов и напряжений, для потенциальной развязки и согласования отдельных участков цепи. Рассмотрим работу трансформа-

тора, составив уравнения для расчета токов различными методами. Будем считать известными U1, X1 = ωL1, R1, X2 = ωL2, R2 и XM =

= ωM. Зададимся направлениями токов I1, I2.

Составим уравнения для первичного и вторичного контуров схемы трансформатора по второму закону Кирхгофа: U1 = (R1 + jX1)×

×I1 – jXMI2, 0 = (R2 + jX2)I2 – jXMI1. Из системы уравнений следует:

/(R22 + X22)]I1 = ZвхI1. Это уравнение соответствует одноконтурной схеме замещения (рис. 18, б), где R1вн = XM2R2/(R22 + X22), X1вн = = –XM2X2/(R22 + X22) называются вносимыми резистивным и реак-

тивным сопротивлениями. При любых значениях параметров схемы R1вн ≥ 0, так как эта величина определяет активную мощность,

передаваемую из первичной обмотки во вторичную. Знак «минус» в уравнении для X1вн свидетельствует о размагничивающем действии вторичной обмотки на первичную.

Рис. 18

Воздушный трансформатор можно представить двухконтурной схемой замещения, изображенной на рис. 18, в. Эта схема получена непосредственно из схемы на рис. 18, а после объединения в общий узел одноименных зажимов, например, нижних точек индуктивных элементов, т. е. был искусственно создан так называе-

22

мый условный узел. Это можно сделать при отсутствии заземления обмоток. Созданный узел не нарушил режима работы трансформатора. Относительно созданного узла выполнена «развязка». Расчет токов в полученной схеме не отличается от расчета токов в подобных схемах, рассмотренных в примерах 5.1, 5.2.

6. БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ

Правильность выполненного расчета схем можно проверить, составив баланс мощностей. Допустим, что в схеме на рис. 12, а определены все токи. Так как направления токов I4, I5 выбраны таким образом, что они совпадают с направлением источников E4 и E5 в своих ветвях соответственно, то эти источники считаются работающими в режиме генератора энергии. При другом выбранном направлении токов эти источники считаются потребителями энергии. Источник тока считается генератором, если задать направление напряжения на нем противоположно направлению его тока. В другом случае он будет источником-потребителем. У любого источника ток течет от высокого потенциала к низкому. Стрелка у источника ЭДС направлена к высокому потенциалу, а у напряжения — от высокого к низкому. Направления J1, UJ1 на схеме рис. 12, а противоположны, источник тока является генератором. Источник тока J2 работает в режиме потребителя энергии, так как направление UJ2 выбрано по направлению тока источника. Пассивные элементы цепи всегда являются потребителями энергии.

Напряжения на источниках тока UJ1, UJ2 легко определить по второму закону Кирхгофа, когда известны токи: E4 = Z4I4 – Z3I3 – UJ1,

E5 = Z5I5 – UJ2 – Z 2J2 + Z3I3.

Баланс мощностей составляют для всей схемы: полная комплексная мощность источников-генераторов схемы должна быть равна полной комплексной мощности потребителей этой схемы, включающих в себя источники-потребители и пассивные элементы. В общем виде баланс мощностей может быть представлен так:

Sиг = Sп;

Sиг = ΣSkиг = Σ(P ± jQ)kиг;

Sп = ΣSkип + ΣSkпэ = Σ(P ± jQ)kп;

23

ΣSkиг = Σ(Ek↑)(Ik*↑) + Σ (UJk↑)(Jk*↓); ΣSkп = Σ(Ek↓)(Ik*↑) + Σ(UJk↑)(Jk*↑) + Σ(I2kZk),

где Ik — действующее значение тока в k-й ветви, Ik2 = Ik*Ik; Zk —

комплексное сопротивление ветви; I*, J* — сопряженные комплексы I, J; (↑, ↑),(↓ ,↓) — стрелки указывают на относительное направ-

ление между собой Ek и Ik, UJk и Jk.

Для рассматриваемой схемы Sиг = E4I4* + E5I5* + UJ1J1*, Sп = = UJ2J2* + J22Z2+ I32Z3+ I42Z4 + I52Z5. Для правильно выполненного

расчета Sиг = Sп.

При наличии индуктивно связанных элементов к комплексной мощности потребителей энергии добавляются слагаемые ImIn*(±ZМ) +

+ Im*In(±ZМ) = 2ImIn*(±ZМ)cos(ψIm – ψIn). Здесь m, n — индексы токов

ветвей с индуктивно связанными элементами; ZМ — комплексное сопротивление магнитной связи, знак перед сопротивлением принимается в зависимости от способа включения индуктивностей.

7. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

В основе расчета линейных электрических цепей, в которых действуют периодические несинусоидальные сигналы, лежит принцип суперпозиции. Его суть применительно к несинусоидальным воздействиям заключается в предварительном разложении несинусоидальных периодических воздействий в ряд Фурье и определении реакции цепи от каждой гармоники входного воздействия в отдельности. Результирующую реакцию находят суммированием полученных частных реакций.

При решении задачи обычно пользуются тригонометрической или комплексной формами ряда Фурье с ограниченным числом членов разложения, что приводит к некоторой погрешности аппроксимации истинного сигнала.

Расчет цепи от отдельных гармоник проводят обычно комплексным методом. Для каждой гармоники можно построить век-

торную диаграмму. При этом необходимо иметь в виду, что на k-й гармонике индуктивное сопротивление XL(k) = kωL, а емкостное сопротивление XC(k) = 1/(kωС), т. е. XL(k) в k раз больше, а XC(k) в k

24

раз меньше, чем на первой (основной) гармонике. Резистивное сопротивление считается не зависящим от частоты (только на низких

исредних частотах). При расчете цепи от действия постоянных составляющих сигналов необходимо помнить, что постоянный ток через конденсатор не течет, а падение напряжения на индуктивности при постоянном токе равно нулю.

Результирующую реакцию определяют методом наложения мгновенных значений: мгновенное значение тока любой ветви (напряжение на любом участке схемы) равно сумме мгновенных значений токов (напряжений) отдельных гармоник. Действующие значения токов, напряжений определяют согласно выражениям 1)

и2), а активную, реактивную и полную мощности — согласно выражениям 3), 4), 5):

=1

Для несинусоидальных сигналов S2 ≠ P2 + Q2. Величину T =

= [(S2 – (P2 + Q2)]1/2 называют мощностью искажения. Она характеризует степень различия в формах тока и напряжения.

При определении результирующей реакции недопустимо геометрически и алгебраически складывать комплексные амплитуды токов и напряжений различных частот.

Пример 7.1. В схеме на рис. 19, а u(t) = (100 + 100 2 sinωt + + 60 2 sin2ωt) B, R = 20 Ом, XL(1) = 5 Ом, XC(1) = 10 Ом. Опреде-

лить i(t), показание амперметра (действующее значение), активную, реактивную и полную мощности, а также мощность искажения.

Воздействие u(t) содержит постоянную составляющую (нулевую гармонику), первую и вторую гармоники. Расчет по каждой составляющей воздействия проведем отдельно.

1.Рассчитаем реакцию от действия нулевой гармоники: U(0) =

=100 В. Ей соответствует схема замещения на рис. 19, б: I(0) =

=U(0)/R = 100/20 = 5 A, P(0) = RI(0)2 = 20 52 = 500 Вт.

2.Проведем расчет для первой гармоники напряжения u(1) =

=100 2 sinωt, U(1) = 100. Ток I(1) определим методом входного со-

25

противления: I(1)= U(1)/Zвх(1), Zвх(1) = R + jXL(1) + JXL(1)(–jXC(1))/(jXL(1) –

4 + 3 ejarctg3/4 =

=25ej37°; I(1) = 100/25ej37°= 4e–j37° = 4(cos 37° + j sin 37°) = 3,2 + j2,4. Действующее значение тока I(1) = 4 А, мгновенное значение i(t)(1) =

=4 2 sin(ωt – 37°) A. Активная мощность P(1) = RI(1)2 = U(1)I(1) ×

×cos ϕ(1), ϕ(1) = ψU(1) – ψi(1) = 0 – (–37°) = 37°, P(1) =20 42 =

=100 4 cos37°= 320 Bт. Реактивная мощность Q(1) = U(1)I(1)sinϕ(1) =

=X(1)I(1)2 = 100 4 sin 37° = 15 42 = 240 BA. Реактивная составляющая

входного сопротивления X(1) = Re(Zвх(1)) = 15 Ом. Полная мощность S(1) = U(1)I(1) = 100 4 = 400 BA.

3. Аналогично проведем расчет для второй гармоники входного напряжения u(2) = 60 2 sin 2ωt, учитывая изменения сопротивлений реактивных элементов: XL(2) = 2XL(1) = 10 Ом, XС(2) = XLС(1)/2 =

= 5 Ом; U(2) = 60; I(2) = U(2)/Zвх(2), Zвх(2) = R + jXL(2) + jXL(2)(–jXC(2))/

/(jXL(2) – jXC(2)) = 20 Ом; I(2) = 60/20 = 3, i(t)(2) = 3 2 sin 2ωt, I(2) = 3 А;

P(2) = RI(2)2 = U(2)I(2)cosϕ(2) = 180 Вт; ϕ(2) = ψU(2) – ψi(2) = 0; Q(2) = = U(2)I(2)sin ϕ(2) = X(2)I(2)2 = 0, X(2) = 0, S(2) = U(2)I(2) = P(2) = 180 ВА.

Рис. 19

Мгновенное значение тока равно сумме мгновенных значений токов отдельных гармоник: i(t) = I(0) + i(t)(1) + i(t)(2) = (5 + 4 2 × ×sin(ωt – 37°) + 3 2 sin2ωt) A.

Амперметр измеряет действующее значение тока, его показа-

Пример 7.2. Определить ток iL(t) в схеме на рис. 20, а при действии источников несинусоидальных периодических воздействий

e(t) = 100 + 100 2 sin2000t B и iJ(t)= 10 + 10 2 sin1000t A, если параметры элементов схемы R = 10 Ом, L = 0,01 Гн, С = 100 мкФ.

Рис. 20

1. Рассчитаем ток от действия постоянных составляющих источников, схема замещения для которых представлена на рис. 20, б.

Из схемы видно, что IL(0) = – J(0) = – 10.

2. Основная гармоника (ω = 1000 с–1) есть только в источнике то-

ка. Составим для нее схему замещения (рис. 20, в), в которой источник ЭДС замещен его внутренним сопротивлением, равным нулю. Значение реактивных сопротивлений XL(1) = 10 Ом, XС(1) = 10 Ом;

iJ(t)(1) = 10 2 sin 1000t, ему соответствует комплексное изображе-

27

ние J(1) = 10. Ток IL(1) = – J(1) ZRC/(ZRC + ZRL) = –10 (10 – j10)/(10 – j10 +

+10 + j10) = – 5 + j5 = 5 2 e–j135°; iL(t)(1) = 10sin(1000t – 135°).

3.Схема для расчета тока на второй гармонике представлена на рис. 20, г. В источнике тока второй гармоники нет, и он замещен внутренним сопротивлением, равным бесконечности: e(t)(2) =

= 100 2 sin2000t → E(2) = 100, XL(2) = 20 , XС(2) = 5; IL(2) = E(2)/

/Z(2) = E(2)/(2R – jXС(2) + jXL(2)) =100/(20 – j5 + j20) = 100/(20 + j15) =

= 20/5ej37° = 4e–j37° → iL(t)(2) = 4 2 sin(2000t – 37°).

Результирующее значение тока iL(t) = –10 + 10sin(1000t – 135°) +

+4 2 sin(2000t – 37°) А.

8.РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Резонансом называется такой режим пассивной цепи, содержащей катушки индуктивности и конденсаторы, при котором реактивная составляющая входного сопротивления и соответственно входной проводимости оказываются равными нулю. В этом случае эквивалентное входное сопротивление цепи становится чисто резистивным, напряжение и ток на входе цепи совпадают по фазе. Такое определение резонанса условно называют фазовым. Оно справедливо для резонансных цепей с любыми потерями мощности.

Определение резонанса, отвечающее условию резкого возрастания амплитуды колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к частоте собственных колебаний цепи, заимствовано из механики. Оно справедливо только для цепей с малыми потерями и условно называется амплитудным. Резонансные частоты, соответствующие амплитудному и фазовому резонансам, совпадают только тогда, когда потери в цепи равны нулю. Поэтому в дальнейшем под термином резонанс будем понимать только фазовый резонанс, а частоту, на которой наблюдается фазовый резонанс, будем называть резонансной.

Цепи, в которых возникает явление резонанса, называют колебательными контурами. Простейшая электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности и конденсатор, представляет собой простейший колебательный контур. При последовательном соединении катушки индуктивности и конденсатора (в последовательном колебательном контуре) имеет место резонанс напряжений,

28

а при параллельном соединении (в параллельном колебательном контуре) — резонанс токов.

Резонанс напряжений. Для изучения явления резонанса напряжений в простейшем последовательном колебательном контуре воспользуемся его схемой замещения в виде последовательного соединения элементов R, L, C (рис. 21, а). Комплексное входное сопротивление данной схемы Z = R + jX = R +j(XL – XC) = R + j(ωL –

– 1/(ωC)). При резонансе напряжений реактивная (мнимая) составляющая входного сопротивления колебательного контура по определению равна нулю: Jm(Z) = XL – XC = ωL – 1/(ωC) = 0, или ω2LC = = 1. Отсюда следует, что резонанса можно достичь, изменяя либо частоту входного напряжения до совпадения с собственной частотой контура, либо собственную частоту контура до совпадения с частотой входного напряжения путем изменения или емкости конденсатора, или индуктивности катушки. Их значения определяют-

ся формулами ω0 = 1/ LC, L0 = 1/(ω2C), C0 = 1/(ω2L), (индекс «0» означает режим резонанса).

Рис. 21

На резонансной частоте Z(ω = ω0) = Z0 = R = Zmin. Следовательно, I0 = U/Z0 = U/R = U/Zmin = Imax, т. е. ток достигает максимального значения, а сдвиг по фазе между током и напряжением равен нулю: φ0 = arctg(X0/R) = 0, так как X0 = XL0 – XC0 = ω0L – 1/(ω0C) = 0. Сказанное иллюстрируется векторной диаграммой на рис. 21, б. Напряжения UС0 и UL0 равны и полностью компенсируют друг друга, поэтому UR = RI0 = U. Если реактивные сопротивления XL0 = = XC0 > R, то напряжения UС0 = UL0 будут превышать входное

29

напряжение. Поэтому резонанс при последовательном соединении реактивных разнохарактерных элементов называют резонансом напряжений.

Для оценки энергетических свойств колебательного контура вводят понятие добротности контура Q. Добротность контура пропорциональна отношению запаса электромагнитной энергии контура при резонансе (максимума энергии реактивного элемента) к энергии, выделяемой в виде теплоты в активном сопротивлении за период: Q = 2πWmax /WR = 2πWmax/P0T = ω0Wmax/P0, где T — период входного воздействия. Используя это обобщенное выражение, добротность колебательного контура можно выразить через пара-

метры элементов контура или через напряжения на его элементах: Q = ω0Wmax/P0 = ω0LI2/(RI2) = ω0L/R = (1/(ω0C))/R = ρ/R, где ρ = XL0 =

= ω0L = XC0 = 1/(ω0C) = L / C — характеристическое (или волновое) сопротивление колебательного контура; Q = ω0LI/(RI) = = UL0/(UR = U) = UС0/(UR = U) — отношение действующего значения напряжения на реактивном элементе к действующему значению напряжения источника на резонансной частоте. Из этого следует, что добротность колебательного контура можно определить опытным путем, выполнив измерения напряжений на источнике и конденсаторе как на более добротном элементе по сравнению с катушкой индуктивности, т. е. с меньшими потерями мощности: RC << RL.

С изменением угловой частоты ω при неизменном напряжении источника U и параметрах цепи R, L и C изменяется реактивная составляющая входного сопротивления, а соответственно модуль

входного сопротивления, и его аргумент, характеризующий сдвиг фаз между током и напряжением: Z(ω) = [R2 + (ωL – 1/(ωC)2]1/2,

φ(ω) = arctg[(ωL – (1/(ωC))/R]. Эти частотные характеристики

удобно строить и анализировать как функции относительной частоты η = ω/ω0: Z(ω/ω0) = R[1 + (ω0L/R)2(ω/ω0 – ω0/ω)2]1/2 = = R[1 + Q2(ω/ω0 – ω0/ω)2]1/2, φ(ω/ω0) = arctg[Q(ω/ω0 – ω0/ω)].

Зависимости модуля входного комплексного Z(ω) и реактивного X(ω) сопротивлений цепи и угла сдвига по фазе φ(ω) между током и напряжением U от частоты приведены на рис. 22. Следует обратить внимание на то, что при ω < ω0 сопротивление цепи имеет резистивно-емкостной характер (X < 0, φ < 0), при ω > ω0 — ре-

30