Расчет электрических цепей частотным методом (96

Пример 2.4. Выбирать систему независимых контуров следует таким образом, чтобы они имели наименьшее число связей (или эти связи отсутствовали) с другими контурами. Это приведет к уменьшению числа слагаемых в уравнениях системы или к взаимной их независимости. Связь между независимыми контурами осуществляется через

сопротивления общих (смежных) ветвей. Поэтому, если в заданной схеме есть ветвь с идеальным источником ЭДС (сопротивление ветви равно нулю), то целесообразно выбрать контуры таким образом, чтобы общей между контурами была именно эта ветвь. Это приведет к получению системы не связанных между собой уравнений, которые легко решать.

Рассмотрим схему на рис. 5. Выберем в ней независимые контуры таким образом, чтобы ветвь с Е6 вошла во все контуры, а значит, была общей для них. Зададимся направлением контурных токов, как показано на схеме. Через ветвь с источником тока протекает только I44 = J7. Составим систему уравнений для неизвестных контурных токов I11, I22, I33:

Z11I11 + Z12I22 + Z13I33 + Z14I44 = E11;

Z21I11 + Z22I22 + Z23I33 + Z24I44 = E22;

Z31I11 + Z32I22 + Z33I33 + Z34I44 = E33.

В этой системе Z12 = Z21 = 0, Z13 = Z31 = 0, Z23 = Z32 = 0, Z34 = 0, и, следовательно, система уравнений принимает вид

Z11I11 + Z14I44 = E11;

Z22I22 + Z24I44 = E22;

Z33I33 = E33.

Отсюда

I11 = (E11 – Z14I44)/Z11 = (E1 – E6 – Z5J7)/(Z1 + Z5);

I22 = (E22 – Z24I44)/Z22 = (–E2 + E6 – Z4J7)/(Z2 + Z4);

I33 = E33/Z33 = (E3 + E6)/Z3.

11

+Y2 + Y3 + Y4 + Y5 = 1/Z1 + 1/Z2 + 1/Z3 + 1/Z4 + 1/Z5, Y22 = Y4 + Y5 + Y6 +

+Y7 + Y8 = 1/Z4 + 1/Z5 + 1/Z6 +1/(Z7 + ∞) + 1/Z8. Следует помнить, что

проводимость ветви определяется с учетом внутреннего сопротивления источника этой ветви; Y12, Y21 — общая проводимость между первым и вторым узлами, равная сумме проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих эти узлы. Ее всегда берут со знаком «минус»: Y12 = Y21 = – (Y4 + Y5); J11, J22 — узловые токи, рав-

ные Jnn = ∑ EkYk + Jk); Ek, Jk берут со знаком «плюс», если они

=

направлены к n-му узлу, для потенциала которого составляют уравнение, в противном случае — со знаком «минус».

После определения потенциалов узлов токи в ветвях рассчитывают по второму закону Кирхгофа, например, ток I4:

E4 = Z4I4 + U12 = Z4I4 + (ϕ1 – ϕ2); I4 = (E4 – ϕ1 + ϕ2)/Z4.

Пример 3.2. Если схема содержит ветвь с идеальным источником ЭДС (рис. 7), то узловое уравнение для узла, к которому подключена эта ветвь, не имеет смысла, так как при нулевом сопротивлении ветви ее проводимость равна бесконечности. В этом случае в качестве базисного узла необходимо выбрать один из узлов, к которому подключена эта ветвь. Потенциал другого узла

определяется по второму закону Кирхгофа. Пусть в схеме на рис. 7 ϕ4 = 0, тогда E9 = U34 = ϕ3 – ϕ4 = ϕ3. В результате получим систему

уравнений меньшего порядка.

Рис. 7

При составлении системы уравнений для неизвестных потенциалов первого и второго узлов известное значение потенциала

13

третьего узла необходимо учесть по общим правилам составления уравнений:

источниками, имеющих общие узлы. Покажем это на примере рис. 8, где представлен фрагмент схемы. Очевидно, что в рассматриваемом случае в качестве базового может быть выбран любой из

обозначенных узлов. При этом потенциалы остальных узлов определяют алгебраическим суммированием ЭДС ветвей. Положим ϕ4 =

= 0, тогда ϕ1 = –E1, ϕ2 = E2, ϕ3 = –E3. Если принять ϕ1 = 0, то ϕ4 = E1,

ϕ2 = E1 + E2, а ϕ3 = E1 – E3.

Пример 3.3. При отсутствии общего узла у ветвей с идеальными источниками ЭДС применяют метод устранения одного из источников, заключающийся в переносе его через узел для включения в другие ветви таким образом, чтобы схема сохранила свою эквивалентность. Действительно, обе схемы на рис. 9 эквивалентны, так как при переносе ЭДС E5 через узел 4 для преобразованной схемы (рис. 9, б) сохраняются все соотношения в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа: E1 = Z1I1 + Z3I3, E5 = Z2I2 – Z1I1, E5 =

= Z3I3 – Z4I4.

Рис. 9

14

Таким образом, наличие в схеме идеальных источников ЭДС приводит к сокращению числа неизвестных потенциалов и, соответственно, к сокращению числа уравнений системы.

4. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Задача определения тока в одной выделенной ветви может быть решена с помощью метода эквивалентного генератора. Сущность этого метода заключается в том, что по отношению к выделенной ветви с сопротивлением Z (рис. 10, а) вся остальная часть сложной цепи, содержащей источники и сопротивления, может быть заменена одним эквивалентным генератором: генератором напряжения с ЭДС Eэг и внутренним сопротивлением Zвн (рис. 10, б) или генератором тока c источником тока Jэг и внутренней проводимостью Yвн = 1/Zвн (рис. 10, в). ЭДС Eэг равна напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви Uхх, а ток источника тока Jэг — току короткого замыкания ветви Iкз. При этом напряжение Uхх и ток Iкз следует направлять по направлению искомого тока в ветви. Сопротивление Zвн (проводимость Yвн) равно входному сопротивлению (входной проводимости) относительно этих же зажимов при условии, что источники замещены их внутренним сопротивлением. Следует помнить, что внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю, а источника тока — бесконечности. Неизвестный ток в ветви I = Eэг/(Zвн + Z) = Uхх/(Zвх + Z) для генератора напряжения, а для генератора тока I = JэгY/(Yвн + Y) = = IкзY/(Yвх + Y), Y = 1/Z, или I = IкзZвх/(Zвх + Z).

Рис. 10

Пример 4.1. Рассмотрим порядок расчета тока I1 в схеме на рис. 3 методом эквивалентного генератора напряжения. Размыкаем

15

ветвь с сопротивлением Z1, т. е. удаляем сопротивление из ветви, и на зажимах m-n данной разомкнутой ветви (схема на рис. 11, а)

определяем напряжение холостого хода Uхх по второму закону Кирхгофа: E1 = Z2I2′ – Z5I5′ + Uхх. Как видно из уравнения, для оп-

ределения Uхх необходимо предварительно определить токи I2′, I5′. Для этого воспользуемся методом контурных токов: (Z2 + Z3 + Z6 +

+Z5)I11 + (Z2 +Z3)I22 = E3 + E6, где I22 = J4. Искомые токи I2′ = I11 +

+I22, I5′ = –I11. В схеме (рис. 11, а) источники замещаем их внутрен-

ними сопротивлениями и определяем входное сопротивление полученного пассивного двухполюсника (рис. 11, б) относительно зажимов m-n разомкнутой ветви: Zвх = (Z2 + Z5)(Z3+ Z6)/(Z2 + Z5 + Z3 + Z6). Искомый ток I1 = Uхх/(Zвх + Z1).

Рис. 11

Пример 4.2. Рассмотрим применение метода эквивалентного генератора напряжения к расчету схемы, содержащей несколько источников тока (рис. 12, а). В этой схеме требуется определить ток I4. Напряжение холостого хода Uхх на зажимах разомкнутой ветви (рис. 12, б) определяем из уравнения, составленного по вто-

рому закону Кирхгофа для независимого контура (т. е. не содержащего источников тока): E4+ E5= Z5I5′ – Z6I6′ + Uхх. При разомкну-

той четвертой ветви ток I6′ = J1. Ток I5′ определяем по первому закону Кирхгофа для узла: I5′ + I6′ + J2 = 0. Входное сопротивление

относительно зажимов разомкнутой четвертой ветви (рис. 12, в) равно Zвх = Z5 + Z6. Следовательно, I4 = Uхх/(Zвх + Z4).

16

в

Рис. 12

Пример 4.3. Определим ток в четвертой ветви схемы на рис. 12, а, рассмотренной в примере 4.2, методом эквивалентного источника тока. Замкнем накоротко сопротивление ветви, в которой требуется определить ток, и найдем ток короткого замыкания этой ветви, направив его так же, как и рассчитываемый ток (рис. 13), методом

контурных токов: Iкз = I11 + I22, (Z5 +

+ Z6)I11 – Z5I33 = E4+ E5, I33 = J2, I22 =

= J1. Отсюда I11 = (E4+ E5 + Z5J2)/

/(Z5 + Z6). Входное сопротивление будет таким же, как и в примере 4.2

17

5.РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ

СИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

При расчете цепей с индуктивно связанными элементами (цепей с взаимоиндукцией) обычно используют законы Кирхгофа и редко (по причине громоздкости) метод контурных токов. Другие методы при расчете нельзя применить из-за наличия магнитной связи. Для того чтобы использовать все методы расчета, необходимо выполнить «развязку», т. е. освободиться от магнитных связей элементов, заменив их электрическими, если это возможно. При этом обязательно должна соблюдаться эквивалентность цепи.

Наличие магнитной связи приводит к тому, что в каждой индуктивно связанной катушке потоки само- и взаимоиндукции ФL и ФM могут либо складываться, либо вычитаться в зависимости от направления токов в катушках и пространственной ориентации катушек. Однако на схемах условное графическое изображение катушек не отражает их пространственную ориентацию. Поэтому вводят понятие одноименных зажимов. Одноименными считаются такие зажимы, относительно которых одинаково направленные токи создают складывающиеся потоки само- и взаимоиндукции. Следовательно, для определения способа включения катушек с индуктивностями L1 и L2 достаточно знать, как заданы направления токов I1 и I2 относительно своих одноименных зажимов: при одинаковом направлении — согласное включение, а при различ-

ном — встречное. При согласном включении напряжения самоиндукции и взаимоиндукции складывают (U1 = jωL1I1 + jωMI2, U2 =

= jωL2I2 + jωMI1), а при встречном — вычитают (U1 = jωL1I1 –

– jωMI2, U2 = jωL2I2 – jωMI1). (Напряжения U1, U2 на индуктивно-

стях совпадают по направлению с собственными токами индуктивностей I1, I2 соответственно.)

Следует помнить, что собственное комплексное сопротивление индуктивности всегда положительное (ZL = jωL = jXL), а взаимное

комплексное сопротивление будет положительным при согласном включении (ZМ = jωМ = jXМ), отрицательным при встречном вклю-

чении (ZМ = –jωМ = –jXМ) и равным нулю, если коэффициент связи равен нулю (XМ = k(XL1XL2)1/2). Значение k изменяется от нуля (отсутствие связи) до единицы (сильная связь).

18

Расчет цепи с индуктивно связанными элементами цепи существенно упрощается, если заменить ее эквивалентной схемой, не содержащей в явном виде магнитной связи. Заменить магнитную связь электрической можно в том случае, когда индуктивно связанные катушки имеют общую точку соединения или когда ее можно создать искусственно, не нарушая режима цепи. Для «развязки» необходимо знать, какими зажимами индуктивно связанные катушки подключены к общему узлу, при этом согласное или встречное включение катушек не имеет значения. Примером подобной развязки могут служить схемы на рис. 14 и 15. Для случая включения катушек одноименными зажимами (рис. 14, а) эквивалентная схема представлена на рис. 14, б, а для случая включения разноименными зажимами (рис. 15, а) — схема на рис. 15, б. В скобках на схемах указан другой вариант подключения катушек к общему узлу, который приводится к тому же варианту эквивалентной схемы.

Пример 5.1. Рассмотрим применение методов расчета для цепи, схема которой изображена на рис. 16, а. Исходные данные: U = = 20 B, R1 = R2 = 10 Ом, XМ = 5 Ом, XL1 = XL2 = XC = 15 Ом. Определить токи и показание вольтметра.

Расчет по законам Кирхгофа. Выберем условно положительные направления токов, как указано на схеме. Составим систему уравнений по законам Кирхгофа в комплексной форме, направление обхода контуров обозначено круговыми стрелками со знаком «плюс»:

U = R1I1 + jXL1I1 + (–jXМ )I2 – jXCI3, 0 = R2I2 + jXL2I2 + (–jXМ)I1 – (–jXCI3),

I1 = I2 + I3.

19

При составлении уравнений следовали приведенным выше правилам:

–токи магнитосвязанных индуктивностей «подтекают» к разноименным зажимам, значит, включение встречное, и комплексное сопротивление магнитной связи является отрицательным (– jXМ);

–во втором уравнении перед последним слагаемым стоит знак «минус», так как направление обхода не совпадает с направлением тока I3.

При встречном включении напряжения само- и взаимоиндукции вычитаются: U1 = jXL1I1 + (– jXМ)I2, U2 = jXL2I2 + (– jXМ)I1.

Решая систему уравнений, определили I1 = 1, I2 = –j, I3 = 1 – j.

Замена магнитной связи эквивалентной электрической. Составляем подобную схему, учитывая, что магнитосвязанные индуктивности подключены к общему узлу одноименными зажимами: в третью ветвь добавляем сопротивление +XМ, а вместо XL1 и XL2 ставим (XL1 – XМ) и (XL2 – XМ). Получили эквивалентную схему (рис. 16, б). Эту схему целесообразно упростить, заменив сопротивления в ветви одним эквивалентным (рис. 16, в): Z1 = R1 + j(XL1 – XМ) = 10 + j(15 – 5) =

=10 + j10, Z2 = R2 + j(XL2 – XМ) = 10 + j(15 – 5) = 10 + j10, Z3 =

=j(XМ – XС) = +j(5 – 15) = –j10. Дальнейший расчет проводим комплексным методом по закону Ома: I1 = U/Zвх, Zвх = Z1 + Z2 Z3/(Z2 + Z3) =

=10 + j10 + (10 + j10)(–j10)/(10 + j10 – j10) = 20, I1 = 20/20 = 1. Токи в параллельных ветвях легко определить, воспользовавшись правилом деления общего тока между параллельными сопротивлениями ветвей: I2 = I1Z3/(Z2 + Z3) = 1(–j10)/ (10 + j10 – j10) = –j, I3 =

=I1Z2/(Z2 + Z3) = 1(10 + j10)/(10 + j10 – j10) = 1 + j. Проверку правильности проведенного расчета можно выполнить по первому закону Кирхгофа: I1 = I2 + I3 = –j + 1 + j = 1.

Напряжение на клеммах вольтметра можно определить из

уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для схемы на рис. 16, а или б, задавшись направлением напряжения:

а)

U2 – jXL2I2 – (–jXМ)I1 = 0, U2 = jXL2I2 +(–jXМ)I1 = j15(–j) + (– j5)1 = = 15 – j5;

б)

U2 – j(XL2 – XМ)I2 + jXMI3, U2 = j(XL2 – XМ)I2 – jXMI3 = j(15 – 5)(–j) –

– j5(1 + j) = 15 – j5.

Показание вольтметра UV = U2 = (152 + 52)1/2 = 15,81 B.

20