Статистическая обработка экспериментальных данных (110

линейный коэффициент корреляции, который характеризует степень тесноты линейной

зависимости rxy cov(x, y) . Коэффициент принимает значение в пределах от -1 до 1. Если

x y

с увеличением значения одного признака происходит увеличение второго, то говорят о прямой связи (например, увеличение роста человека ведет к увеличению веса тела), если с увеличением значения одного признака происходит уменьшение другого, то говорят об обратной связи (например, увеличение силы мышц приводит к уменьшению их подвижности). Степень варьирования значений одного признака при данном значении другого может быть различной. Если эта степень варьирования относительно мала, то связь близка к функциональной. Наименьшая частота связи соответствует случаю, когда варьирование обоих признаков осуществляется взаимно независимо. Качественная оценка тесноты связи величин X и Y может быть выявлена на основе шкалы Чеддока

Часто для определения достоверности взаимосвязи между двумя признаками (Х, У)

используют непараметрический (ранговый) коэффициент корреляции Спирмена

и параметрический коэффициент корреляции Пирсона . Величина этих показателей корреляционной связи определяется по следующим формулам:

(1) где: dx — ранги статистических данных признака х; dy — ранги статистических данных признака у.

(2)

где: — статистические данные признака х, — статистические данные признака у.

Эти коэффициенты обладают следующими общими свойствами:

1.На основании коэффициентов корреляции можно судить только о прямолинейной корреляционной взаимосвязи между признаками. О криволинейной связи с их помощью ничего сказать нельзя.

2.Значения коэффициентов корреляции есть безразмерная величина, которая не может быть меньше -1 и больше +1, т.е.

21

7. Только по величине коэффициентов корреляции нельзя судить о достоверности корреляционной связи между признаками. Эта достоверность еще зависит от числа степеней свободы k .

k = n - 2, где: n — число коррелируемых пар статистических данных признаков Х и Y. Чем больше n, тем выше достоверность связи при одном и том же коэффициенте корреляции.

Кроме перечисленных общих свойств у рассматриваемых коэффициентов корреляции имеются и различия. Главное их отличие состоит в том, что коэффициент Пирсона () может быть использован только в случае нормальности распределения

признаков Х и Y , коэффициент Спирмена () может быть использован для признаков с любым видом распределения. Если рассматриваемые признаки имеют нормальное распределение, то целесообразнее определять наличие корреляционной связи с помощью

коэффициента Пирсона (), т.к. в этом случае он будет иметь меньшую погрешность, чем коэффициент Спирмена ().

Для вычисления коэффициента корреляции по формуле Спирмена (1) требуется вычислять dx и dy ранги статистических данных, т.е. места вариант в их ранжированной совокупности. Если в совокупности несколько одинаковых данных, то их ранги равны и определяются как среднее значение от мест, занимаемых этими вариантами. Например,

Пример 2. Определить с помощью рангового коэффициента корреляции Спирмена существует ли взаимосвязь между результатами прыжка в длину с разбега (X в см) и конечной скоростью разбега (Y м/с) группы спортсменов

Пользуясь правилом, определим ранги данных. Для удобства все запишем в виде таблицы

22

В данном случае имеем 8 пар значений, т.е. 8 коррелируемых пар. Значит n = 8. Подставив полученное в формулу (1), будем иметь:

Вывод:

а) Так как значение коэффициента корреляции положительное (0,92 > 0), то между признаками Х и У наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением скорости разбега (признак У) увеличивается длина прыжка (признак Х), и наоборот — с уменьшением скорости разбега уменьшается длина прыжка.

Достоверность коэффициента корреляции Спирмена определяется по таблице критических значений рангового коэффициента корреляции .

б) Так как полученное значение коэффициента корреляции = 0,9 больше табличного

значений = 0,88, соответствующего уровню b = 99%, то уверенность в правильности вывода (а) больше 99%. Такая достоверность позволяет распространить вывод (а) на всю генеральную совокупность, т.е. на всех прыгунов в длину.

Если не производится предварительной проверки рассматриваемых совокупностей на нормальность распределения, то, в случае недостоверности коэффициента корреляции Пирсона, следует проверить наличие связи еще и по коэффициенту Спирмена.

Пример 3. Предположим, что в нашем примере Xi и Yi— отвечают закону нормального распределения. Проверим наличие связи между результатами теста X и Y c помощью расчета нормированного коэффициента корреляции.

Из формулы (1) видно, что для вычисления необходимо найти средние значения признаков X, Y и отклонения каждого статистического данного от его среднего

. Зная эти значения, можно найти суммы по которым не сложно вычислить

Используя данные задачи, заполним таблицу:

23

Подставив сумму столбца 7 в числитель формулы (2), а суммы столбцов 3 и 6 в знаменатель, получим:

Вывод:

а) Так как значение коэффициента корреляции положительное (0.92>0), то между Х и Y наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением скорости разбега (признак Y) увеличивается длина прыжка (признак Х) и наоборот — с уменьшением скорости разбега уменьшается длина прыжка.

По таблице критических значений нормированного коэффициента корреляции определим достоверность найденного коэффициента корреляции. Здесь число степеней свободы равно k = n - 2 = 8 - 2 = 6.

По таблице критических значений нормированного коэффициента корреляции для k = 6 величина = 0,71 соответствует уверенности в 95% ( b = 100% - a ), а = 0,83 соответствует уверенности в 99%;

б) т.к. полученное значение коэффициента корреляции = 0,94 больше табличного значения = 0,83, соответствующего уровню = 99%, то уверенность в правильности вывода (а) больше 99%. В области спорта такая уверенность достаточна, поэтому полученный вывод (а) можно распространять на всю генеральную совокупность (на всех прыгунов в длину).

3.4.Уравнение регрессии

Впрактических исследованиях возникает необходимость аппроксимировать (математически описать приблизительно) корреляционную зависимость между двумя признаками уравнением. Для линейной зависимости сделать это относительно просто:

вытянутое корреляционное поле заменить усредненной прямой линией и найти ее уравнение по статистическим данным коррелируемых признаков. В прямоугольной системе координат уравнение прямой линии записывается в виде:

Это математическое выражение корреляционной зависимости называется

уравнением регрессии. Коэффициенты a и b называются параметрами уравнения регрессии. Параметр а определяет на графике (рис.12) отрезок, отсекаемый графиком уравнения (прямой линией) на оси Y. Параметр b показывает, как изменяется признак Y при изменении признака X. Это "b " еще называют коэффициентом регрессии.

24

(7)

(8)

Эти оценки абсолютны и, следовательно, не могут быть сравнимы друг с другом. Поэтому вводят оценки относительной погрешности уравнений регрессии, которые определяются в процентах по формулам:

(9)

(10)

Значение этой оценки, если r = ± 1,00, равно нулю, и, если r = 0,00, максимально. Остаточное среднее квадратическое отклонение характеризует колеблемость y относительно линии регрессии по x, и наоборот в обратном случае.

Пример 4. Найти уравнения регрессии для веса (Х) и роста (Y) группы студентов, если их значения таковы:

Решение:

1. Занесем результаты тестирования в рабочую таблицу:

2. Рассчитаем нормированный коэффициент корреляции по формуле:

;

.

3. Подставим полученные данные в уравнения регрессии:

26

Уровень значимости – наибольшее значение вероятности, несовместимой со случайностью события или это максимум таких вероятностей, при которых событие можно считать практически невозможным.

Р=1- - уровень достоверности.

Наиболее употребительные уровни =0,001(0,1%); 0,01(1%); 0,05(5%).

Уровень значимости, выраженный в % показывает, сколько раз в 100 испытаниях мы рискуем ошибиться, объявив изучаемой событие неслучайным. Например, 5% уровень значимости допускает ошибку в 5 случаях из 100.

При анализе гипотез возможны следующие ошибки:

Но отвергается, когда она верна (ошибка первого рода);

Но принимается, когда верна Н1 (ошибка второго рода).

Снижая уровень значимости, мы уменьшаем вероятность ошибки первого рода, но при этом возрастает вероятность ошибки второго рода. Поэтому вводится понятие мощности критерия, которая представляет собой вероятность отклонении Но.

5. Статистические критерии

Статистикой называется любая функция выборочных значений. Для проверки правдоподобия нулевой гипотезы используют специально подобранную статистику, закон распределения которой известен. Такая статистика называется статистическим критерием К.

Статистические критерии – это решающее правило принятия истинной и отклонения ложной гипотезы с указанной вероятностью.

Для проверки правдоподобия статистической гипотезы с помощью критерия К назначается уровень значимости , по которому находится критическое значение критерия – Ккрит. Область значения критерия разбивается числом Ккрит. на две части: критическую область и область принятия гипотезы.

Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы называется совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.

Пусть f(X,Q) – закон распределения случайной величины X с некоторым параметром

Q.

В случае, когда Н1 формулируется в виде Q=Q0, используется двухсторонний критерий.

Если Н1 формулируется в виде Q>Q0 (или Q<Q0) используется односторонний критерий.

Параметрическими являются критерии, включающие в формулу расчета параметры распределения, то есть среднее, стандартное отклонение, дисперсию и пр. (t- критерий Стьюдента, критерий F Фишера и др.). Параметрические критерии можно применять только в том случае, когда изучаемый признак подчиняется нормальному закону распределения.

Непараметрические критерии основаны на оперировании частотами или рангами (критерий Вилкоксона, критерий знаков, критерий Манна Уитни и др.)

Проверка гипотез обычно проходит следующие этапы:

1.Определение используемой статистической модели. Выдвижение предположений относительно закона распределения случайной величины и его параметров. Например, закон распределения нормальный, величины независимы и пр.

2.Формулирование гипотез Н0 и Н1

3.Выбор уровня значимости α в зависимости от требуемой надежности выводов.

4.Определение критической области для проверки Но. Вид этой области (одностороння или двусторонняя) зависит от принятой Н1. Основной принцип проверки

29

правдоподобия статистической гипотезы формулируется так: если наблюдаемое значение критерия Кнабл. принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если же наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают, то есть считают, что полученные выборочные статистики не противоречат сформулированной гипотезе.

5.Вычисление значения выбранного статистического критерия Кнабл. для имеющихся данных

6.Сравнение Кнабл. с Ккрит. (табличным). Принятие решения.

6. Сравнение групп методом Стьюдента

Метод Стьюдента применяется для сравнения двух выборок, взятых из одной и той же генеральной совокупности, или двух различных состояний одной и той же выборочной совокупности.

При этом могут представиться следующие случаи:

1. По объему:

а) обе группы большие (n>30); б) обе группы малые ;

в) одна — большая, вторая — малая.

2. По составу:

а) группы с попарно-зависимыми вариантами, когда i-тая варианта первой группы сравнивается с i-той вариантой второй группы (nx=ny);

б) группы с попарно-независимыми вариантами (можно менять варианты местами внутри группы).

Исходя из таких условий задачи могут быть трех типов:

I. Сравнение двух больших (или одной большой, одной малой) групп с попарнонезависимыми вариантами проводится по формулам:

— критерий Стьюдента, по найденному значению которого определяют доверительную вероятность различия групп.

II. Сравнение двух малых групп с попарно-независимыми вариантами проводится по формулам:

30