Аналитическая механика (90
..pdf
Сообщим системе возможное перемещение в направлении действия силы F . Составим уравнение возможных работ, выражающее принцип возможных перемещений:
F δSB −Q δSB sinα −2P δSC sinα = 0 ,
где δSB - возможное перемещение бревна, совпадающее с перемещением точки
В;
δSC - возможное перемещение точки С.
Найдем зависимость между скоростями точек. Так как точка К – мгновенный центр скоростей, то
VB = 2VC δSB = 2 δSC
Тогда
F 2 δSC −Q 2 δSC sinα −2P δSC sinα = 0
и окончательно
F = (Q + P) sinα .
Пример 8
Определить момент m0 пары сил, которую нужно приложить к шкиву 1 радиуса r1 ременной передачи, изображенной на рисунке 16, для того, чтобы уравновесить груз 4 веса Р4. Груз 4 привязан к концу каната, намотанного на барабан 2 радиуса r2, связанного со шкивом 3 радиуса r3. Массой ремня и каната пренебречь. Вес барабана 2 и шкива 3 равен P2 и Р3 соответственно.
2
3
mO |
r1 |
r3 |
|
r2 |
|
1 |
O |
O1 |
|
|
4
Рисунок 16
31
Решение.
Изобразим задаваемые силы, действующие на данную механическую систему, состоящую из 4 тел: вес каждого тела Р1, P2 , P3 , P4 и пара сил с
моментом m0 (рисунок 17)
1 |
δϕ3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mO
_ |
А |
|
|
VА |
r1 |
||
|
|||
|
O |
||
|
|
δϕ1 
ω1 _
Р1
_
VB
r3
В r2
O1
_
Р2 
_
Р3 
|
3 |
_ |
|
VD |
ω2 =ω3 |
D |
|
_ |
|
V4 |
|
|
4 |
|
δу |
_ |
4 |
Р4 |
Рисунок 17 Зададим шкиву 1 возможное угловое перемещение δϕ1 против часовой
стрелки. При этом шкив 3 получит возможное угловое перемещение δϕ3 в том
же направлении.
δϕ2 = δϕ3
Груз 4 получит возможное перемещение δy4 по вертикали вверх. Составим уравнение возможных работ, выражающее принцип возможных
перемещений:
m0 δϕ1 − P4 δy4 = 0
Учитывая известные из кинематики соотношения, запишем выражения, связывающие между собой скорости точек и тел:
VA = VB
VA =ω1 r1; VB =ω3 r3 ω1 r1 =ω3 r3 и
ω |
3 |
= |
ω1 r1 |
=ω |
2 |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
r3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V =ω |
2 |
r = ω1 r1 r2 |
|||||||
D |
|
|
|
2 |
r3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V =V = |
|
r1 r2 |
ω |
||||||
|
|
||||||||
4 |
|
D |
|
|
|
r3 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
Так как соотношения между возможными перемещениями здесь такие же, как между соответствующими скоростями, то
δy4 = r1r3r2 δϕ1
тогда
m |
δϕ |
1 |
− P |
|
r1 r2 |
δϕ = 0 |
|||
|
|
||||||||
0 |
|
|
4 |
|
r3 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m |
0 |
= |
r1 r2 |
|
P |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
r3 |
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 9
Какой вращающий момент М надо приложить к кривошипу СА кулисного механизма (рисунок 18), чтобы уравновесить заданную силу P , приложенную в точке D ползуна, который может двигаться в горизонтальных направляющих. Все связи идеальные (трением пренебрегаем). Размеры ОС = а, СА = r, ОВ = l и ϕ заданы.
a
_
Р
D
В
ϕ М А
C
l
О
Рисунок 18
Решение.
Данная система имеет одну степень свободы. Ее положение определяется углом ϕ . Изображаем активную силу P и момент М. Зададим звену СА
33
возможное угловое перемещение δϕ . При этом точка D получит возможное перемещение δrD , причем δrD = δrВ (рисунок 19).
a
|
хВ |
|
_ |
_ |
|
|
|
||
|
|
|
Р |
δrD |
L |
|
δr_B |
D |
|
|
δ |
В |
|
|
|
М |
|
|
|
E |
ϕ |
|
|
|
ϕ |
А |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
О |
|
|
|
|
Рисунок 19
Составим уравнение возможных работ:
где |
|
|
Mδϕ − P δX B |
= 0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
δ XD = |
|
δrD |
|
= |
|
δrB |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Из подобия треугольников ОЕА и ОLВ имеем |
|
|
|||||||||||||||||
|
LB |
= |
OB |
|
xB = LB = |
|
OB |
EA = |
l |
EA |
|||||||||
|
EA |
OA |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OA |
OA |
||||||
Так как |
|
|
EA = CAsinϕ = r sinϕ , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
CE =CA cosϕ = r cosϕ, |
|
EO = a +r cosϕ и |
|||||||||||||||
OA = EA2 + EO2 |
= |
r2 sin2 ϕ + a2 + 2ar cosϕ + r2 cos2 ϕ = a2 + r2 + 2ar cosϕ, |
|||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
l r sinϕ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
xB |
= |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ r2 + 2ar cosϕ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
||||||||||||
Возьмем вариации от обеих частей этого выражения, пользуясь теми же правилами, которые существуют для дифференцирования:
34
|
|
a2 + r2 + 2ar cosϕ cosϕ −sinϕ |
|
2ar(−sinϕ) |
|
|
||||||||||||
δxB = l r |
2 |
a2 + r2 + 2ar cosϕ |
|
δϕ = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
a |
2 + r2 |
+ |
2 ar cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= l r |
(a + r cosϕ) (r + acosϕ) |
δϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(a2 + r2 + 2 ar cosϕ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M δϕ − P l r |
(a + r cosϕ) (r + acosϕ) |
δϕ = 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(a2 + r2 + 2ar cosϕ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = P l r |
(a + r cosϕ) (r + acosϕ) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(a2 + r2 + 2ar cosϕ) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
35
4 Литература, рекомендованная для изучения дисциплины
1 Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учебное пособие для для студ. втузов /А.А. Яблонский [и др.]; под общ. ред. А.А. Яблонского. - 11-е изд., стер.-М.;Иитеграл-Пресс, 2004.-382 с.
2Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: учеб. для втузов/С.М.Тарг.-15-е изд., стер.-М.:Высш. шк.,2005.- 416 с.
3Бутенин Н.В. Курс теоретической механики: учебное пособие для для студ. вузов по техн. спец. В 2-х томах/ Н. В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р.Меркин. 5-ое изд.,–испр. СПб.:Лань.-1998. Т.2, - 729 с.
4Бать М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2-х т./М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон.-9-е изд.,
перераб.-М.:Наука, 1990. Т.2, -670 с.
5Сборник коротких задач по теоретической механике: учебное пособие для втузов / О.Э. Кепе, [и др].; под ред. О.Э.Кепе. – М.: Высш. шк., 1989. – 368 с.
6Попов М.В. Теоретическая механика: Краткий курс: учебник для втузов
/М.В. Попов. – М.: Наука, 1986. – 336 с.
36