Электродинамика и электромагнитные волны Ч. 1 (90

г) скорость, с которой перемещаются в пространстве расположенные внутри импульса поверхности с нулевым значением поля.

2.32. Определить форму и описать одномерное движение волнового пакета, состоящего из N плоских волн с одинаковыми комплексными амплитудами и частотами ωq = ω0 + q ω , где q –

целое число в пределах 1 ≤ q ≤ N − 1. Дисперсия среды линейна,

т. е. ω(k) = ω0 + υгр(k − k0 ) .

3.Взаимодействие электромагнитных волн

сплоской границей раздела сред

Геометрия задачи представлена на рис. 3.1.

Рис. 3.1

21

Для случая, когда вектор напряженности электрической компоненты поля падающей волны перпендикулярен плоскости па-

ˆ ˆ

дения (плоскость, содержащая m0 и ez ), он имеет только одну составляющую

= ˆ = =

Ei E0ey , Eix Eiz 0 .

Коэффициенты Френеля, связывающие амплитуды отраженной и преломленной волн с амплитудой падающей волны, имеют следующий вид:

Для случая, когда вектор напряженности электрической компоненты поля падающей волны лежит в плоскости падения, вектор напряженности магнитного поля имеет только одну составляющую

= ˆ

Hi H0ey .

Коэффициенты отражения и преломления Френеля могут быть определены как:

22

Рассмотрим случай, когда обе среды являются диэлектриками, т. е. σ1 = σ 2 = 0 . Пусть для простоты μ1 = μ2 = μ , тогда элек-

тродинамические характеристики сред будут иметь вид:

ε кa1 = ε a1, ε кa2 = εa2 ,

ZB1 = Z0 μ ε1 , ZB2 = Z0 μ ε 2 .

В этом случае для коэффициентов отражения Френеля име-

ем:

То есть коэффициенты отражения действительны, и поэтому сдвиг фаз между падающей и отраженной волнами либо 0, либо

π .

Угол падения, при котором коэффициент отражения равен нулю, называется углом Брюстера θ Б , или углом полной поляри-

зации. Последнее связано с тем, что в случае μ1 = μ2 = μ при падении волны с эллиптической поляризацией под углом θ 0 = θ Б в

отраженной волне не будет параллельной составляющей. Этот эффект имеет место при следующем значении угла падения

В случае, когда ε1 > ε 2 , из закона Снеллиуса следует, что θ 2 > θ 0 и возможна ситуация, когда преломленная волна будет

распространяться параллельно границе раздела. Явление получило название полного внутреннего отражения, а соответствующий

23

угол падения – угол полного внутреннего отражения θ B . Оно не зависит от поляризации излучения. Связь θ B с диэлектрическими проницаемостями имеет следующий вид:

Задачи для решения

3.1. Плоская электромагнитная волна падает нормально на границу раздела между вакуумом и диэлектриком с параметрами ε = 4, μ = 1,σ = 0 . Определить среднее значение плотности потока

мощности в диэлектрике, если среднее значение потока мощности падающей волны 1 Вт/м.

3.2. Найти условия, при которых плоская электромагнитная волна будет распространяться путем отражений от двух безграничных пластин идеального металла, расположенных в вакууме параллельно друг другу на расстоянии a , если угол падения равен ϕ . Для каких значений λ0 возможно распространение волн в

такой структуре при заданном a ?

3.3. Плоская электромагнитная волна, вектор напряженности электрического поля которой лежит в плоскости падения, падает из вакуума на поверхность диэлектрика с диэлектрической про-

ницаемостью ε a = εε 0 ( μ = 1,σ = 0 ) под углом ϕ = arctg ε . Найти

соотношение между модулями векторов Пойнтинга падающей и прошедшей волн.

3.4. Плоская гармоническая электромагнитная волна падает на границу раздела двух сред с различными значениями диэлек-

24

трической и магнитной проницаемости. Предполагая, что в средах отсутствует поглощение, найти угол Брюстера в зависимости от электродинамических характеристик сред.

3.5. Диэлектрический слой с относительной диэлектрической проницаемостью ε 2 ограничен плоскостями z = 0 ; z = d и разде-

ляет две диэлектрические среды с относительными диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε 2 . Найти коэффициенты отражения

и пропускания слоя с учетом эффектов многократного переотражения внутри слоя.

3.6.Вывести формулы Френеля для случая падения электромагнитной волны из вакуума на поверхность малым значением волнового сопротивления (импеданса).

3.7.Поляризованная по кругу плоская гармоническая волна падает на границу раздела двух диэлектриков. Определить поляризацию отраженной и прошедшей волн.

3.8.Под каким углом α надо направить плоскую гармоническую волну на поверхность диэлектрика, чтобы волновые векто-

ры отраженной k1 и преломленной k2 волн были ортогональны

друг другу? Показатель преломления диэлектрика n . Указать характер поляризации отраженной волны.

3.9. Между двумя идеально отражающими пластинами, находящимися на расстоянии a друг от друга, возбуждается стоячая электромагнитная волна. На сколько изменится минимальная частота стоячей волны, если вложить вплотную к одной из пластин диэлектрическую вставку с ε = 4 и толщиной a4 ? Про-

дольные размеры пластин и диэлектрической вставки для упрощения положить бесконечными.

3.10. На стопку из N = 20 полупрозрачных параллельных пластин, расположенных на расстоянии d друг от друга, под углом θ0 падает электромагнитная волна, плотность потока мощно-

сти которой Π0 , а длина волны – λ = 1,5d . Коэффициент отра-

жения от каждой пластинки (по мощности) R = 0,1% , а коэффициент пропускания (по мощности) T = 99,9% . При каком угле падения θ0 плотность потока мощности отраженной волны минимальна и чему она равна?

25

Указание: ввиду малости коэффициента отражения R , многократными переотражениями между пластинами можно пренебречь.

3.11. Найти вид поляризации преломленной волны для углов падения 20 ,45 ,60 и 80 , если падающая на границу раздела между вакуумом и средой с показателем преломления n = 1,5 плоская электромагнитная волна имеет круговую поляризацию.

3.12.Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся

всреде с показателем преломления n = 1,5, падает под углом 45

на границу раздела между средой и вакуумом. Напряженность электрического поля падающей волны 1 В/м. Определить напряженность электрического поля в вакууме на расстоянии 6 см от границы раздела, если частота колебаний равна 10 ГГц, а вектор напряженности электрического поля перпендикулярен плоскости падения.

3.13. При каком угле падения θ0 разность фаз между состав-

ляющими поля, ориентированными параллельно и перпендикулярно относительно плоскости падения, достигает максимума при полном внутреннем отражении, если падающая волна линейно поляризована? Чему равен этот максимум?

3.14.Вывести формулу для определения плотности потока мощности отраженной и прошедшей волн при нормальном падении гармонической плоской волны на границу раздела двух сред.

3.15.Найти изменение амплитуды магнитного поля внутри медного листа (σ = 5,7 См/м), на который падает из вакуума нор-

мально гармоническая плоская волна частотой 20 ГГц и значением амплитуды электрического поля 1 В/м.

3.16. Плоская гармоническая волна падает из вакуума на плоскопараллельную пластинку из полиэтилена (ε = 2,25,

μ = 1,σ = 0 ). Найти угол наклона поверхности пластины к на-

правлению падения, при котором волна, параллельно поляризованная относительно плоскости падения, проходит пластинку без отражения. Показать, что полное прохождение имеет место для обеих поверхностей пластины. Найти коэффициент отражения пластины для случая волны с перпендикулярной поляризацией при этом угле.

26

3.17. На прозрачный слой толщиной d с показателем преломления n , покрывающим идеальное зеркало, падает по нормали плоская монохроматическая электромагнитная волна с волно-

вым вектором k . При каком значении k амплитуда стоячей волны в слое будет максимальной?

3.18. Нарисовать (качественно) кривые зависимости коэффициентов пропускания (3.5), (3.7) для случая взаимодействия электромагнитной волны с границей раздела «диэлектрик – диэлектрик», полагая, что ε 2 > ε1.

4.Электромагнитные волны

ванизотропных средах

Анизотропные среды – это среды, физические свойства которых в каждой точке зависят от направления. Это означает, что направление приложенного поля не совпадает с направлением отклика среды. Если зависимость свойств от направления в различных точках среды одинакова, то такая анизотропия называется однородной. При распространении в такой среде, например, изначально сферической волны, форма фазового фронта искажается. Анизотропия может быть связана со структурой среды (так называемые естественно-активные среды) или может создаваться наложением внешних полей – электрического, магнитного, поля упругих деформаций и т. п. (так называемые естественнонеактивные среды).

Материальные уравнения для анизотропной среды в общем случае имеют вид:

Здесь ε a и μa – тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей.

27

Обычно либо ε a , либо μa являются скалярными величинами,

т. е. анизотропия имеет место только по электрическим или магнитным свойствам, но не одновременно.

В кристаллах имеет место анизотропия по электрическим

Если можно пренебречь поглощением (среда прозрачна), то все компоненты ε ij вещественны. Как известно, симметричный

вещественный тензор поворотом осей можно свести к диагональному виду, т. е.

В зависимости от структуры кристаллических сред и симметрии тензора диэлектрической проницаемости их можно разделить на три группы:

1. Кубические кристаллы: ε xx = ε yy = ε zz . Направление глав-

ных осей произвольно, и кристаллы оптически изотропны.

2. Одноосные кристаллы: ε xx = ε yy ≠ ε zz . Одна из главных

осей совпадает с осью симметрии кристалла – оптической осью, две другие компоненты равны между собой.

3. Двуосные кристаллы: ε xx ≠ ε yy ≠ ε zz . Все три компоненты

различны.

В случае распространения плоской гармонической волны для сред с тензором вида (4.4) имеет место уравнение Френеля:

28

– так называемые главные фазовые скорости, которые соответствуют скоростям распространения волны при ориентации

вектора E вдоль главных осей тензора.

Уравнение (4.5) позволяет определить фазовую скорость υ

ˆ

в произвольном направлении, задаваемом вектором m. Очевид-

но, что оно квадратично относительно υ 2 . Это значит, что каж-

ˆ

дому направлению m соответствуют две фазовые скорости, т. е.

две волны. Можно показать, что они линейно поляризованы в двух перпендикулярных плоскостях.

Для случая одноосного кристалла введем (для определенности) обозначения:

Тогда уравнение Френеля (4.5) распадается на два независимых уравнения для фазовой скорости, решения которых имеют вид:

ˆ

где θ определяет угол между вектором m и осью z . В любом направлении распространяются две волны: обыкновенная с постоянной фазовой скоростью υ1 , не зависящей от направления,

и необыкновенная с фазовой скоростью υ2 , которая зависит от

направления распространения. Из (4.9) видно, что скорости этих волн одинаковы, если волна распространяется вдоль оптической оси.

29

Аналогично фазовой скорости в кристаллах каждому направлению соответствуют две групповые скорости, причем для обыкновенной волны направления фазовой и групповой скоростей совпадают, а для необыкновенной – не совпадают. Угол θ ′

между направлением групповой скорости (вектором П) и осью кристалла (осью z ) можно определить как:

Последнее выражение показывает, что отличие направлений групповой и фазовой скоростей волны определяется отношением диэлектрических проницаемостей среды.

При падении электромагнитной волны на границу раздела «вакуум – одноосный кристалл» образуются две преломленные волны, т. к. показатель преломления для обыкновенной и необыкновенной волн, как следует из (4.9), различен. Явление называется двойным лучепреломлением.

Частным случаем анизотропных сред являются гиротропные среды. Примерами таких сред являются плазма и феррит, у которых анизотропия появляется при воздействии сильного постоянного (медленно меняющегося) магнитного поля.

Для плазмы анизотропия проявляется по электрическим свойствам. Выражение для тензора диэлектрической проницаемости электронной плазмы во внешнем магнитном поле H = HC eˆz имеет вид:

где

30