Электродинамика и электромагнитные волны Ч. 1 (90

μ0 = 4π10− 7 = 1,256 10− 6 Гнм – магнитная постоянная.

Решение (2.3) может быть представлено в виде суперпозиции двух бегущих в противоположных направлениях плоских гармонических волн

где ξ = (mˆ r ), mˆ – единичный вектор нормали к фазовому фронту.

Величина κ называется показателем поглощения и характеризует скорость убывания амплитуды. Величина n называется показателем преломления и определяет фазовую скорость волны в среде. В этом случае волновое число определяется как

терь.

Показатели преломления и поглощения связаны с параметрами среды следующими зависимостями:

11

Исходя из приведенных соотношений, можно определить характеристики электромагнитной волны в однородной изотропной среде. Фазовая скорость:

Между векторами напряженности электромагнитного поля плоской волны в однородной изотропной среде существует следующая связь:

волновое сопротивление среды. Введенная характеристика Z B

определяет количественную связь между напряженностями полей в электромагнитной волне. Для вакуума

Перенос электромагнитной энергии характеризуется вектором Умова – Пойнтинга

12

Для гармонической плоской волны среднее значение плотности потока энергии может быть представлено как

(2.14)

где Em и Hm – комплексные амплитуды векторов напряженности

электрического и магнитного полей.

Для реальных диэлектриков tgδ << 1, поэтому

13

При распространении волнового пакета (негармонического сигнала) огибающая распространяется со скоростью

которая называется групповой скоростью.

Для описания направления вектора E используется понятие поляризации. В случае гармонической плоской волны (распространяющейся по оси z ) можно определить множитель поляризации

стоянные действительные амплитуды и фазы ортогональных составляющих вектора E , = ϕ y − ϕ x . При комплексном Ρ поля-

ризация электромагнитной волны эллиптическая. Круговой поляризации соответствует значение Ρ = ±i (положительный знак для правой, а отрицательный – для левой поляризации). Линейной поляризации соответствуют действительные значения Ρ .

Приведенное разложение вектора E представляет собой раз-

(ˆ ˆ )

ложение в линейном поляризационном базисе e|| ,e . В некото-

рых приложениях удобнее представлять состояние поляризации поля в виде суперпозиции волн с правой и левой круговой поля-

ными базисами определяется формулами:

14

В этом случае поле с произвольной поляризацией можно представить в виде

Для произвольной (негармонической) волны часто используют параметры Стокса:

цилиндрической системе координат, удовлетворяет волновому уравнению (2.4).

2.2. Показать, что для плоской волны, распространяющейся в

ˆ

направлении, задаваемом единичным вектором m, имеют место следующие соотношения для векторов электромагнитного поля:

15

где ξ = (mˆ r ).

2.3. Определить длину волны и фазовую скорость электромагнитной волны, распространяющейся в среде без потерь с относительными проницаемостями ε = μ = 10, если частота волны

10МГц.

2.4.Плоская электромагнитная волна распространяется в немагнитной среде без потерь с неизвестным значением диэлектрической проницаемости. Измерения показали, что на пути, равном

10см, колебание с частотой 1 ГГц приобретает дополнительный

по сравнению с вакуумом сдвиг по фазе в 40°. Определить относительную диэлектрическую проницаемость и коэффициент преломления среды.

2.5. В среде с параметрами ε = 4, μ = 1,σ = 0 распространяет-

ся плоская электромагнитная волна, комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля которой в плоскости

z = 0 равна E = 0,5eˆx + 0,2eˆy В/м. Определить комплексную ам-

плитуду вектора напряженности магнитного поля, если волна распространяется в направлении оси z .

2.6. Во влажной почве, относительная диэлектрическая проницаемость которой ε = 10, а магнитная – μ = 1, распространяет-

ся плоская электромагнитная волна, у которой отношение амплитуд векторов электрического и магнитного полей

EH = 12π Ом. Определить проводимость среды, фазовую ско-

рость волны и сдвиг фаз между векторами E и H , если в вакууме длина волны λ = 103 м.

2.7.Характеристическое сопротивление (импеданс) среды равно 1508 Ом, относительная диэлектрическая проницаемость

ε= 1. Определить магнитную проницаемость среды.

2.8.Керамика титаната бария ( BaTiO3 ) на частоте 10 ГГц

имеет следующие параметры: ε = 144, μ = 900, tgδ = 0,6 . Опреде-

лить длину волны, показатель поглощения и волновое сопротивление такой среды.

2.9. Электрические свойства воды в океане характеризуются следующими значениями электродинамических параметров: ε = 81, μ = 1,σ = 4 См/м. Определить область частот, где среда

16

может рассматриваться в качестве диэлектрика (tgδ < 0,1) и в качестве проводника (tgδ > 10). Во сколько раз убывает амплитуда электромагнитных волн с частотами f1 = 10 кГц и f2 = 10 ГГц на

глубине 10 м?

2.10. Электромагнитная волна с частотой f = 30 МГц переходит из вакуума в среду с параметрами ε = 1, μ = 900,σ = 0 . Най-

ти приращение длины волны.

2.11. Найти время распространения поверхности равных фаз плоской электромагнитной волны через слой толщиной l диэлектрика, у которого значение относительной диэлектрической проницаемости падает от ε1 на верхней границе до ε 2 на нижней

границе.

2.12. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна, у которой E = eˆy E0Cos(kz − ωt), E0 = 160 В/м, k = 0,51 м-1.

Найти вектор напряженности магнитного поля H в момент времени t = 0 и t = 33 нс.

2.13. Зависимость коэффициента преломления среды от температуры принято описывать температурным коэффициентом

α n = (1n)(dndT ). Полагая αn = 4 10−5 град−1 и n = 1,5, определить изменение фазы электромагнитной волны прошедшей путь 1 м при изменении температуры на 1 C для частот f1 = 1010 Гц и

f2 = 51014 Гц.

2.14. Некоторые вещества, например ниобат лития ( LiNbO3 ),

изменяют свои диэлектрические свойства под действием низкочастотного электрического поля (электрооптический эффект), что дает возможность создавать фазовые модуляторы сигнала в оптическом диапазоне. Если плоская электромагнитная волна проходит в такой среде путь, существенно меньший длины волны модулирующего электрического поля, то можно считать, что показатель преломления для нее изменяется во времени по следующему закону:

n(t) = n0 (1 + δn Cos(2πFt)),

где F – частота модуляции. Определить индекс модуляции m и девиацию частоты f волны, прошедшей путь l = 10 см, если

17

n = 1,5; δn = 10−5 ; F = 1 кГц; f = 51014 Гц. Какова была бы длина

модулятора l , обеспечивающего при тех же параметрах среды прежний индекс модуляции колебания с частотой 10 ГГц?

2.15.Показатель преломления среды – случайная величина с равномерным законом распределения от 1 до 2. Плоская электромагнитная волна с частотой 300 МГц в плоскости z = 0 имеет амплитуду напряженности электрического поля 5 В/м и нулевую начальную фазу. Определить среднее значение и дисперсию модуля вектора напряженности электрического поля в плоскости z = 1 м.

2.16.Амплитуда напряженности магнитного поля плоской электромагнитной волны, распространяющейся в среде с пара-

метрами ε = 3,8 , μ = 1, σ = 2 10−4 Cм/ м, в плоскости z = 0 равна

1 А/м. Определить плотность потока мощности волны на расстоянии z = 1 м от начала координат, если частота 50 МГц.

2.17. Плоская монохроматическая волна частотой ω распространяется в среде с диэлектрической проницаемостью ε и малой проводимостью σ (tgδ << 1, μ = 1). На каком расстоянии мощ-

ность падает в e2 раз?

2.18. Определить толщину медного экрана (σ = 5,7 См/м), который обеспечивает ослабление плотности потока мощности электромагнитной волны в 104 раз на частотах f1 = 50 Гц и

f2 = 50 МГц.

2.19. Определить толщину экрана, который обеспечивает ос-

лабление амплитуды поля электромагнитной волны в 104 раз на частоте f = 50 Гц, если он выполнен из материала с параметра-

ми: ε = 1, μ = 900,σ = 4 См/м. Сравнить полученный результат с

ответом к предыдущей задаче.

2.20. Амплитуда напряженности магнитного поля плоской электромагнитной волны, распространяющейся в среде с пара-

метрами ε = 3,8 , μ = 1,σ = 2 10−4 См/м, в плоскости z = 0 равна

1 А/м. Определить плотность потока мощности волны на расстоянии z = 1 м от начала координат, если частота 50 МГц.

2.21. В непроводящей магнитно-электрической среде связи между индукциями и напряженностями полей имеют вид:

18

D = ε a E + ηH , B = μa H + ηE , где ε a , μa ,η – константы. Найдя связь между волновым числом k и частотой ω для гармонической электромагнитной волны в такой среде, определить значение показателя преломления n .

2.22.Определить выражения, связывающие амплитуды волн

вкруговом и линейном базисе.

2.23.Вывести формулу для определения коэффициента эллиптичности (отношение большой оси эллипса к малой) плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси z , если

вплоскости z = 0 поля имеют вид:

Ex = E0x exp(iϕ x ), Ey = E0 y exp(iϕ y ).

Найти ориентацию осей эллипса по отношению к осям системы координат.

2.24. Две плоские гармонические волны с левой и правой круговой поляризациями в плоскости z = 0 имеют векторы напряженности электрического поля

EL = E0 (eˆx − ieˆy )exp(iϕL ), ER = E0 (eˆx + ieˆy )exp(iϕL ).

Определить вид поляризации суммарного поля, если разность

фаз ϕ = ϕL − ϕR равна 45 и 60 .

2.25. Определить явный вид параметров Стокса полностью поляризованной плоской волны единичной интенсивности для следующих случаев:

а) линейная горизонтальная поляризация; б) линейная вертикальная поляризация;

в) линейная поляризация, повернутая относительно вертика-

ли на 45 ; г) линейная поляризация, повернутая относительно вертика-

ли на − 45 ; д) правая круговая поляризация;

е) левая круговая поляризация.

2.26. Две плоские монохроматические линейно поляризованные волны одной частоты распространяются вдоль оси z . Первая волна поляризована вдоль оси x и имеет амплитуду a , вторая

19

поляризована по y , имеет амплитуду b и опережает первую по фазе на φ .

а) Найти поляризацию результирующей волны. б) Рассмотреть зависимость от φ при a = b .

2.27.Две плоские монохроматические одной частоты волны поляризованы по кругу с противоположным направлением вращения имеют одинаковые фазы и распространяются в одном направлении. Первая волна имеет амплитуду a , вторая – b. Найти зависимость характера поляризации в зависимости от отношения этих амплитуд.

2.28.Найти фазовую и групповую скорость распространения электромагнитной волны в немагнитной среде, диэлектрическая проницаемость которой имеет вид:

ε = 1+ ω p2 (ω02 − ω 2 ).

Ограничиться случаями ω >> ω0 и ω << ω0 .

2.29. В среде с показателем преломления, зависящим от частоты по закону n(ω) = 10−10 ω , распространяются два узкополос-

ных радиоимпульса с несущими частотами 10 ГГц и 20 ГГц. Определить разность времен запаздывания импульсов на расстоянии 100 км от точки, где они совпадали по времени.

2.30. Показать, что для гармонической плоской волны в плазме (ε = 1− (ω p ω )2 > 0, μ = 1) произведение фазовой и группо-

вой скорости равно c2 .

представляет собой отрезок синусоиды частотой ω0 и длительностью τ 0 . Полагая ω0 >> ω p , ω0 τ 0 >> 1, найти:

а) характерную ширину спектра импульса ω ; б) первоначальную протяженность импульса в пространстве

и время, за которое его центр проходит заданное расстояние z ; в) расстояние zˆ , на котором заметно меняется длительность

импульса, а также форму и закон изменения длительности τ (z) при z >> zˆ ;

20