Задачи_дАламбер_аналстатика_Лагранж_гироскорп

Принцип Даламбера

Тонкий однородный стержень длиной ℓ и массы , на конце которого находиться точечный груз массы , может поворачиваться вокруг горизонтальной оси О и вместе с ней вокруг вертикальной оси СD. Определить угловую скорость ω вращения, если .

Однородный стержень АВ длиной ℓ и массой m прикреплен шарниром А к вертикальному валу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ω. Определить величину T натяжения нерастяжимой нити КВ удерживающей стержень АВ под углом α к вертикали.

Стержень ОС длиной 3l, на котором закреплены 3 точечных груза А, В, С равной массы m, может поворачиваться вокруг горизонтальной оси О и вместе с ней вокруг вертикальной оси. Определить угловую скорость установившегося вращения, если при этом , ОА=АВ=ВС=l. Массой стержня и трением можно пренебречь.

На рисунке показана схема регулятора, состоящего из жесткого равнобокого угольника АОВ (), на концах которого находятся материальные точки массой и . Угольник соединен с вертикальной осью вращения с помощью горизонтального цилиндрического шарнира О. Определить угловую скорость ω установившегося вращения, если , ОА=ОВ=ℓ. Массой треугольника и трением пренебречь.

Принцип виртуальных перемещений

К шестерням с радиусами и , находящимся в зацеплении, прикреплены шкивы с радиусами и соответственно. На шкивы намотаны гибкие невесомые нити, на которых подвешены грузы весом P и Q . Применив принцип возможных перемещений, найти отношение весов грузов P/Q, при котором система будет в равновесии.

Найти , используя принцип возможных перемещений. Считать известными Р, ℓ и М.

Найти , используя принцип возможных перемещений. .

К ползуну А эллипсографа приложена сила Р. Используя принцип возможных перемещений, найти момент М, приложенный к линейке АВ длиной а, при котором в положении равновесия линейка составит с горизонтом угол α. Весом линейки пренебречь.

К ползуну А эллипсографа приложена сила Р. Используя принцип возможных перемещений, найти силу , приложенную к ползуну . Длина стержня АВ равна а. В положении равновесия стержень наклонен под углом α. Весом линейки пренебречь.

Кривошипно–шатунный механизм, у которого , расположен в горизонтальной плоскости. Используя принцип возможных перемещений, найти момент М, уравновешивающий силу Р при заданном значении угла γ.

К ползуну В кривошипно–шатунного механизма приложена горизонтальная сила . Используя принцип возможных перемещений, найти какой вращающий момент надо приложить к кривошипу ОА, чтобы механизм находился в равновесии. ОА = ℓ ; АВ = 2ℓ ; α = 45°. Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Трением в опорах пренебречь.

Считая известными , с помощью принципа возможных перемещений определить , при каком Q система будет находиться в равновесии. Механизм расположен в горизонтальной плоскости.

Используя принцип возможных перемещений, определить вес груза В для того, чтобы система, изображенная на чертеже, находилась в равновесии. Вес груза А равен Р, вес блока D – Q, весом нити и блока О пренебречь. Нить по блокам не скользит.

Уравнения Лагранжа II-го рода

Призма 1 массы движется поступательно и прямолинейно по гладкой горизонтальной плоскости. По наклонной грани призмы, образующей угол α с горизонтом, скользит груз 2. массы . Выбрать обобщенные координаты и получить выражения для кинетической энергии системы и обобщенных сил, соответствующих этим координатам. При решении задачи трением между грузом 2 и призмой 1 пренебречь.

Клин 1 массы расположен на горизонтальной плоскости. На наклонной грани клина, составляющей с горизонтом угол α, находится тело 2 массы . К клину приложена горизон­тальная сила . Принимая за обобщённые координаты системы параметры x и s, указанные на рисунке, найти выражение для кинетической энергии и обобщенных сил. Трением пренебречь.

Груз 1 массой подвешен на нити к оси к оси подвижного блока 2 массы и радиуса . Этот блок охватывает другая нить, один конец которой закреплён неподвижно, а к второму прикреплён груз 4 массы . Выбрать обобщённую координату и составить выражение для кинетической энергии системы и обобщённой силы, соответствующей выбранной координате. При решении задачи блок 2 принять за однородный диск, массами блока 3 и нитей, а также трением в шарнирах пренебречь.

По горизонтальной гладкой поверхности движется призма 1 массой . К призме прикреплен один конец пружины 3, коэффициент жесткости которой равен с. Второй конец пружины прикреплен к стене. По наклонной грани призмы, образующей угол α с горизонтом, катится без скольжения однородный цилиндр 2 массой . При пружина не деформирована. Записать выражения кинетической энергии и обобщенных сил. Трением качения пренебречь.

Платформа 1 массы расположена на плоскости, наклонённой к горизонту под углом α. На платформе находится однородный сплошной цилиндр 2 массы и радиуса R. Ось цилиндра горизонтальна. Коэффициент трения скольжения между платформой и наклонной плоскостью равен f. Между платформой и цилиндром скольжение отсутствует. Принимая за обобщённые координаты системы параметры х и φ, указанные на рисунке, найти выражения для кинетической энергии и обобщённых сил.

Однородные цилиндры 1 и 2 радиусов и соответственно, массой и обмотаны тросом, перекинутым через блок 3 массой ; блок 3 принять за однородный диск, растяжением и массой троса пренебречь. Трос по блоку не скользит. Выбрав в качестве обобщенных координат углы и поворота цилиндров, найти кинетическую энергию и обобщенные силы.

Однородный круглый цилиндр 1 массы m, катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Нерастяжимый трос, перекинутый через блок 3, охватывает с одной стороны цилиндр 1, а с другой – однородный круглый диск 2 массы . Приняв за обобщенные координаты и составить выражения для кинетической энергии системы и обобщенных сил. Массами троса и блока 3, проскальзыванием троса по цилиндру 1 и диску 2, сопротивлением на оси блока, а также моментом трения качения при движении цилиндра 1 пренебречь.

Однородные цилиндры А и В радиуса R и массой обмотаны посередине тросами, свободные концы которых прикреплены соответственно к потолку и к оси цилиндра А. Трением на оси цилиндра А, растяжением и массой тросов пренебречь. Приняв в качестве обобщённых координат координату оси s цилиндра А и угол поворота γ цилиндра В. Найти кинетическую энергию и обобщённые силы.

Плита массой перемещается по гладкой горизонтальной плоскости. По плите катиться без скольжения однородный круглый цилиндр 1 массы . С осью цилиндра 1 соединен нерастяжимым тросом, перекинутым через блок 4, груз 3 массы . Груз 3 перемещается в гладком вертикальном отверстии в плите 2. Приняв за обобщённые координаты , составить выражения для кинетической энергии системы и обобщённых сил. Массами троса, блока 4, сопротивлением в осях, а так же моментом трения качения при движении цилиндра пренебречь.

Плита 1 массой перемещается по гладкой горизонтальной плоскости. По плите катается без скольжения однородный цилиндр массы и радиуса r . К цилиндру приложена пара сил с моментом М. Выбрать обобщённые координаты и записать выражения для кинетической энергии системы и обобщённых сил. Трением качения при решении задачи пренебречь.

Плита 1 массой движется по гладкой горизонтальной плоскости. К плите прикреплена одним своим концом пружина, к другому концу которой прикреплён груз 2 массой . Коэффициент жёсткости пружины равен c. Выбрав в качестве обобщённых координат s – перемещение плиты 1 и x – перемещение груза 2 относительно плиты, определить кинетическую энергию системы и обобщённые силы. При решении задачи массой пружины и трением между грузом и плитой пренебречь. При х=0 пружина не деформирована.

Однородный круглый диск 1 массой и радиуса катится со скольжением по горизонтальной плоскости. Нерастяжи­мый трос, прикреплённый к оси диска, перекинут через блок 2; а к другому концу троса прикреплён груз 3 массы . Приняв за обобщённые координаты x и – угол поворота диска, составить выражение для кинетической энергии механической системы и обобщённых сил. Коэффициент трения скольжения диска по плоскости – f. Массами троса, блока 2, моментом трения качения диска по плоскости, а также сопротивлением на осях блока и катка пренебречь.

К однородному диску массы и радиуса r , вращающемуся вокруг неподвижной горизонтальной оси, приложена пара сил с моментом (, ). На диск намотан упругий трос, коэффициент жесткости которого равен c. К свободному концу троса прикреплен груз массы . Пренебрегая весом троса, вычислить кинетическую энергию системы и обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам φ и . Координата отсчитывается от положения статистического равновесия груза.

Приближенная теория гироскопа

В дробилке с бегунами каждый бегун имеет массу m=120кг, радиус инерции относительно оси ρ = 0.4м ,радиус R = 0.5м. Мгновенная ось вращения бегуна проходит через середину линии касания бегуна с дном чаши. Определить давление бегуна на горизонтальное дно чаши, если переносная угловая скорость вращения бегуна вокруг вертикальной оси соответствует .

Турбина, вал которой параллелен продольной оси судна, делает 240 об/мин. Масса вращающихся частей 180 тонн, радиус инерции относительно оси вращения . Определить гироскопические давления на подшипники, если судно описывает циркуляцию вокруг вертикальной оси, поворачиваясь на 10° в секунду. Расстояние между подшипниками .