Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА АЛГЕБРЫ (110

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

490.28 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

				3				4 15 19 ;
гл.			2	3				4 15 19 ;
			5		2
x				3			14 24 38 ;
x	7			3			14 24 38 ;
	8				2
y				7		16 35 19 .
y		2		7		16 35 19 .
		5		8

Тогда

			38
		x			,
		x	19		,
				19
				19		,

		y
			19
О т в е т : (2,		1) .
Покажем решение на графике, т. е.
чения прямых 2x 3y 7 и			5x 2 y 8 .
Координаты	x0 и	y0 точки М образуют
двумерный	арифметический					вектор

(x0 , y0 ) , который является решением си-

x 2,y 1.

найдем точку M (x0 , y0 ) пересе-

2x 3y 7

стемы:

1) 2x 3y 7 .

x 0,

y 7 ,3

2) 5x 2 y 8 .

x 0,y 4,

О т в е т : (2, 1) .

			–1	1 1 2
			–1	О	х
			–1	О
	7			М(2; –1)
	7
x		,
x		,
	2
					5x 2 y 8
y 0.					5x 2 y 8
	8			x0 2,
x		,	M (2; 1) ,
x	5	,
	5				1.
				y0	1.
y 0.

З а д а ч а 6 . Решить систему с параметром:

x 2 y 8,

2x by 16.

Р е ш е н и е . гл.		1		2		b 4.
Р е ш е н и е . гл.		1		2		b 4.
	2			b
1) Если гл. 0 , т. е.			b 4 0 ,					b 4 , система имеет единственное
решение, которое находим по правилу Крамера.
Найдем x и y .
x				8		2		8b 32 ;
x				8		2		8b 32 ;
				16		b
				1 8
y				1 8			16 16 0 .
			2		16

8b 32

гл.

b 4

гл.

b 4

; 0

– решение системы при b 4 .

2) Если b 4 , то система примет вид:


		4
		4
	x
	x	4 b,
		4 b,

		y 0.
		y 0.

x 2 y 8,		1	2	8
					.
		2			.
2x	4 y 16,	2	4	16

Система имеет бесконечно много решений:

x 2 y 8,y R.

(2y 8, y) y R – решения системы при b 4 .

		4
	О т в е т : система имеет единственное решение –		, 0	– при
		4 b

b 4	и бесчисленное множество решений – (2y 8, y)	y R – при b 4 .

З а д а ч а 7 . Решить систему линейных уравнений: а) методом Гаус-

са, б) по формулам Крамера:

	2x2		2x3 3,
x1
2x1 x2 2x3 4,
		2x		x 1.
2x	1		2
				3

а) Метод Гаусса или метод исключения неизвестных, заключается в том, что, используя элементарные преобразования, получаем систему, рав-

носильную данной, но имеющую ступенчатый вид. Так как, проводя пре-

образования, мы работаем с коэффициентами при неизвестных и свобод-

ными членами, то удобно выписать расширенную матрицу и привести ее к ступенчатому виду, а затем, используя ее, составить систему линейных уравнений, равносильную исходной:

1		2	2		2
1		2	2	3	2
			2
2		1	2	4		.
		2
	2	2	1	1

Чтобы получить нули в первом столбце, кроме элемента первой строки, умножим первую строку на 2 и сложим со второй и с третьей.

Получим:

1		2	2
				3

0		3	6	2	2 .
	0	6	3	7

Работая со второй строкой, умножим ее на 2 и сложим с третьей.

Получим:

1		2	2	3

		3	6	2
0					.
	0	0	9	3

Составим и решим равносильную систему:

x1 2x2 2x3 3,
	3x2 6x3 2,

	9x3 3.

Из последнего уравнения находим: x3 31 . Подставив это значение

во второе уравнение, находим: x2 43 . Подставив найденные значения в

первое уравнение, находим: x1 1.

		Итак,			x 1,	x			4		,	x		1		. Система имеет единственное решение:
					1		2	3				3		3
								3						3
	4	;	1
1;				.
1;				.
	3		3
						4		;		1
		О т в е т : 1;										.
		О т в е т : 1;										.
						3				3
		б) Формулы Крамера:											x		xi		,	i 1, 2, 3. Найдем гл.,	x		,	x		,
		б) Формулы Крамера:											x				,	i 1, 2, 3. Найдем гл.,	x	1	,	x	2	,
													i		гл.					1			2
															гл.

x3 . При вычислении определителей будем использовать свойства опре-

делителей. Напомним: гл. составляется из коэффициентов при неизвест-

ных, а x1 составляется заменой i-го столбца в гл. столбцом свободных членов ( i 1, 2, 3).

		2	2		2	1	2		2		1 ( 1)1 1		3	6
	1
	1
гл.	2	1	2			0	3		6
	2	2	1			0	6		3				6	3
	2	2	1			0	6		3
				( 3)( 3)					2	27		;
				( 3)( 3)				1	2	27		;
								2	1

	3	2	2	5	6	2	1( 1)1 1	5	6
	3	2	2	5	6	2
x1	4	1	2	2	3	2				27;
	1	2	1	0	0	1		2	3
	1	2	1	0	0	1

					3			2			3						5	2			1 ( 1)3 3						3		5
			1
			1
x	2		2		4		2				6					2			2													6 30 36;
	2																										6		2
			2		1			1					0			0		1									6		2
			2		1			1					0			0		1
									1
							2
						2			3				7			4		3			( 1)( 1)3 3							7		4
				1
				1
x				2		1			4			10				7		4																( 9) 9
		3																										10		7				.
				2	2			1					0				0	1										10		7				.
				2	2			1					0				0	1
		2			2
	Итак,				x		27 1;								x			36				4	;	x		9				1	.		Система имеет
						1	27									2		27		3				3	27				3
							27											27		3					27				3
															4			1
единственное решение: 1;																;			.
единственное решение: 1;																;			.
															3			3
									4	;			1
	О т в е т :						1;							.
	О т в е т :						1;							.
									3				3

Вариант 1

1.Даны множества:

A x	1 x 4 ,	B x	x 5	24 ,	C x	x2 12x 20 0 .

Найти A B C' и A' B'.
2.	Изобразить на координатной плоскости элементы декартова
произведения множеств M и K, если:
	M = {– 1, 0, 1, 2},				K = {2, 3, 4}.

3.Установить, в каком отношении находятся множества A и B, если A – множество чётных чисел и B – множество чисел, кратных 7.

4.Доказать, что заданное соответствие f : R → R, x → 2x2 + 3x – 1

является отображением, и выяснить, какими свойствами оно обладает.

5.На множестве N N задано бинарное отношение ρ:

(a, b) ρ(c, d) ↔ a + d = b + c.

Доказать, что отношение ρ является отношением эквивалентности, и найти классы эквивалентности.

6.Решить систему: 2x 3y 1,

x 5y 6.

7.Решить систему с параметром:

		ax 3y 7,

		2x 6 y 14.
8.	Решить систему	линейных уравнений а) методом Гаусса;
б) по формулам Крамера:
		2x y z 4,
		3x 3y 5z 1,
		3x 3y 5z 1,
		4x 6 y 7z 2.
		4x 6 y 7z 2.

Вариант 2

1.Даны множества:

A x

5 x 3 ,

B x

x2 4 ,

C x

x 2

4 .

Найти A B C' и A' B'.

Изобразить на координатной плоскости элементы декартова

произведения множеств M и K, если:

M = {– 1, 0, 1, 2},

K = [2, 4].

3.Установить, в каком отношении находятся множества A и B, если A – множество чётных чисел и B – множество чисел, кратных 4.

4.Доказать, что заданное соответствие f : R → R, x → x2 – 1 яв-

ляется отображением, и выяснить, какими свойствами оно обладает.

5.На множестве N N задано бинарное отношение ρ:

(a, b) ρ(c, d) ↔ ad = bc.

Доказать, что отношение ρ является отношением эквивалентности, и найти классы эквивалентности.

x 4 y 5,

6. Решить систему:

2x 3y 1.

7.Решить систему с параметром:

2x 4 y 6,

ax 2 y 3.

8. Решить систему линейных уравнений а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера:

x 2 y 2z 1,2x 3y 5z 3,3x 7 y 4z 2.

Вариант 3

1.Даны множества:

A x

x 3 ,

B x

x2 5x 14 0 ,

C x

x 1

10 .

Найти A B C' и ( A B)' C .

2.	Изобразить на координатной плоскости элементы декартова
произведения множеств M и K, если:
	M = [– 1, 2] ,	K = {2, 3, 4}.

3.Установить, в каком отношении находятся множества A и B, если A – множество чётных чисел и B – множество чисел, кратных 2.

4.Доказать, что заданное соответствие f а: R → R, x → 2x явля-

ется отображением, и выяснить, какими свойствами оно обладает.

5.На множестве R задано бинарное отношение ρ:

aρb ↔ a – b Z.

Доказать, что отношение ρ является отношением эквивалентности, и найти классы эквивалентности.

x 4 y 5,

6. Решить систему:

3x y 2.

7.Решить систему с параметром:

x by 5,

3x 9 y 15.

8. Решить систему линейных уравнений а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера:

3x 2 y 3z 4,5x 2 y 4z 0,6x 4 y 5z 8.

Вариант 4

1.Даны множества:

A x

x 2

6 ,

B x

x2 2x 3 0 ,

C x

x 5 .

Найти A B C' и ( A B)' .

Изобразить на координатной плоскости элементы декартова

произведения множеств M и K, если:

M = [1, 7];

K = [2, 6].

3.Установить, в каком отношении находятся множества A и B, если A – множество чётных чисел и B – множество нечётных чисел.

4.Доказать, что заданное соответствие f : R → R, x → log2 x

является отображением, и выяснить, какими свойствами оно обладает.

5.На множестве R задано бинарное отношение ρ:

aρb ↔ a2 = b2.

Доказать, что отношение ρ является отношением эквивалентности, и найти классы эквивалентности.

5x y 6,

6. Решить систему:

x 3y 2.

7.Решить систему с параметром:

3x by 5,6x 2 y 10.

8. Решить систему линейных уравнений а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера:

x 2 y 2z 3,

2x 3y 5z 11,

3x 7 y 4z 1.

Вариант 5

1.Даны множества:

A x

x2 4x 5 0 ,

B x

6 x 0 ,

C x

x 1

2 .

Найти A B C и ( A B)' .

Изобразить на координатной плоскости элементы декартова

произведения множеств M и K, если:

M = [– 3, 2] ;

K = (0, 5).

3.Установить, в каком отношении находятся множества C и D, если C – множество чётных однозначных чисел, D – множество нечётных однозначных чисел.

4.Доказать, что заданное соответствие f : R → R, x → x2 + x +2

является отображением, и выяснить, какими свойствами оно обладает.

5.На множестве Z задано бинарное отношение ρ:

aρb ↔ (2a + 3b) 5.

Доказать, что отношение ρ является отношением эквивалентности, и найти классы эквивалентности.

3x y 4,

6. Решить систему:

2x 4 y 2.

7.Решить систему с параметром:

ax 4 y 6,

4x 8y 12.

8. Решить систему линейных уравнений а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера:

2x 5y 3z 0,

x 2 y 2z 3,

3x 5y 7z 13.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]