Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функции комплексного переменного (1500

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

456.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

2.25. f(z) =

(e ; ez2 )(z2 + 4) .

z sin2( z)

/ fUNKCIQ f(z) =

(e ; ez2 )(z2 + 4)

IMEET OSOBYE TO^KI zn = n,

z sin2( z)

Z tO^KA

NULX TRETXEGO PORQDKA DLQ

n 2 .

= 0 {

)(z

z sin ( z)

I NE QWLQETSQ NULEM DLQ (e ; e

+ 4): pO\TOMU z0 = 0 {

POL@S TRETXEGO PORQDKA DLQ

f(z).

tO^KI z =

1 { NULI PER-

WOGO PORQDKA DLQ h(z) = e

;

I NULI WTOROGO PORQDKA DLQ

= 2e = 0, g(1) = 0, g0(1) = 0,

g(z) = sin

( z) TAK KAK h(1) = 0, h0

g00(1) = 2 2 = 0.

fUNKCIQ

+ 4

1 ANALITI^-

W TO^KAH z =

NA, NE OBRA]AETSQ W NULX I PO\TOMU NE WLIQET NA TIP OSOBYH

TO^EK. pO\TOMU z = 1 { PROSTYE POL@SY DLQ f(z): w TO^KAH

zn = n PRI n = 0 n =

1 FUNKCIQ sin2( z) IMEET NULI WTO-

ROGO PORQDKA, A FUNKCIQ

(e ; ez )(z2 + 4)

NE WLIQET NA IH TIP.

pO\TOMU WSE \TI TO^KI {

POL@SY WTOROGO PORQDKA DLQ f(z). .

2.26. f(z) = z2 ctg 1.

/ tAK KAK f(z) =

z2 cos(1=z)

, TO OSOBYMI TO^KAMI QWLQ@TSQ z0 =

sin(1=z)

0 I TO^KI zn =

, n =

1 2 : : : : pRI n ! 1 nlim!1 zn = 0

I PO\TOMU TO^KA

z = 0 NE QWLQETSQ IZOLIROWANNOJ. w TO^KAH

zn =

FUNKCIQ '(z) = z2 cos

1z ANALITI^NA I NE RAWNA NUL@,

A DLQ sin

1z WSE \TI TO^KI { PROSTYE NULI. pO\TOMU DLQ f(z) \TI

TO^KI { PROSTYE POL@SY. .

2.27. f(z) = sin[(z + 2)=(z

; 1)].

(z + 2)(z ; 1)

/ wY^ISLQQ PROIZWODNYE W TO^KE z = ;2 OT ^ISLITELQ I ZNA- MENATELQ DLQ f(z), POLU^IM, ^TO z = ;2 { USTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA DLQ f(z). pUSTX

f1(z) =

sin z ; 1 + 3

sin

1 +

z ; 1

sin 1 cos

+ cos 1 sin

z ; 1

+ cos 1

zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

= z ;1 1 "sin 1

= nX=0

1 (;1)n32n

nX=0 (2n)!(z ; 1)2n sin 1 (;1)n32n

(2n)!(z ; 1)2n+1 +

							21
	1	(;1)n32n+1					#	=
	X	(;1)n32n+1						=
	X	(2n + 1)!(z			;	1)2n+1
	n=0	(2n + 1)!(z				1)2n+1
	n=0	(;1)n32n+1
1	cos 1	(;1)n32n+1				:
X	(2n + 1)!(z		;	1)2n+2
n=0

tAK KAK GLAWNAQ ^ASTX \TOGO RQDA lORANA BESKONE^NA, TO z = 1 { SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA DLQ f1(z). fUNKCIQ '(z) = z +1 2 ANA- LITI^NA W TO^KE z = 1 I PO\TOMU z = 1 { SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA I DLQ FUNKCII f(z) = z +1 2 f1(z). .

w ZADA^AH 2.28{2.30 OPREDELITX TIP OSOBOJ TO^KI z = 1 DLQ f(z).

2.28. z cos z .

/ tO^KA z = 1 { POL@S PERWOGO PORQDKA, TAK KAK

		lim	z cos(1=z)	= lim cos	1	= 1 = 0: .
		z!1	z	z!1	z	6
	z
2.29.		.
2.29.	sh z	.
/ dLQ f(z) z =			1 { NEIZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA, TAK KAK
RE[AQ URAWNENIE sh z = 0 POLU^AEM SERI@ PROSTYH POL@SOW

zn = ni, PRI^EM zn ! 1 PRI n ! 1. .

2z5 sin z

2.30. z2 + 1 .

2z5

/ dLQ FUNKCII

TO^KA z = 1 { POL@S TRETXEGO PORQDKA,

z2 + 1

TAK KAK lim

2z5

= 2 = 0. dALEE, z

{ SU]ESTWENNO

z!1 (z2

+ 1)z3

OSOBAQ TO^KA DLQ sin z =

(;1)n

z2n+1.

pO\TOMU z =

{ SU-

z=0 (2n+1)!

2z5

]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA DLQ f(z) = sin z

. .

z2 + 1

nAJTI WY^ET res f(z) (W ZADA^AH 2.31 I 2.32 z0 = 0, A W 2.33 I
	z=z0
2.34 z0 =	;2).
2.31. 4z4	; 3z3 + 8z2 + 8z ; 4 .
	2z2
	3	1	1
/ tAK KAK f(z) = 2z2 ; 2 z + 4 + 4 z ; 2					{ RQD lORANA DLQ
/ tAK KAK f(z) = 2z2 ; 2 z + 4 + 4 z ; 2				z2	{ RQD lORANA DLQ
f(z) W OKRESTNOSTI TO^KI z0 = 0,		TO res f	(z) = C 1 = 4. .
		z=0	;

zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

2.32.

cos z

/ tAK KAK z0 = 0 { POL@S TRETXEGO PORQDKA, TO

res f(z) = lim

1 cos z

(

cos z) =

: .

2 z3

= lim

;

z=0

z!0

2.33. z2 cos

z + 2

/ tAK KAK z2 = [(z + 2) ; 2]2 = 4 ; 4(z + 2) + (z + 2)2, TO

f(z) = [4 ; 4(z + 2) + (z + 2)2]

1 ;

; : : :! =

2!(z + 2)2

4!(z + 2)4

! +

= (z + 2)2 ; 4(z + 2) + 4 ; 2

1 ;

z + 2

(z + 2)2

! + : : :

;

(z + 2)2

(z + 2)3

(z + 2)4

res

f(z) =

(

;

4) = 2: .

z=;2

;

2.34. z2 sin

z + 2

/ f(z) = z2 sin

z + 2

= [(z + 2)2 ; 4(z + 2) + 4] "

;

z + 2

(z + 2)3

; : : :# = (z + 2) ; 4 + 4

; 6

(z + 2)5

z + 2

; 3

; : : :

(z + 2)2

(z + 2)3

res

f(z) =

= 4

;

23 : .

z=;2

;

1=z2

2.35. nAJTI WY^ETY FUNKCII f(z) =

z e

W EE KONE^NYH

(z2

+ 4) sin z

OSOBYH TO^KAH z =

2i, z = 0 I zn = n

PRI n = 1 2 3 : : :.

w ZADA^AH 2.36{2.39

NAJTI WY^ET

res f(z) W TO^KE z =

/ tAK KAK f(z) { ^ETNAQ FUNKCIQ, TO1EE RQD lORANA PO STEPENQM

z SODERVIT TOLXKO z W ^ETNYH STEPENQH. pO\TOMU Cn = 0 DLQ

zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

WSEH NE^ETNYH n

I res f(z) =

;

1 = 0. tO^KI z =

2i I zn = n

z=0

PRI n = 1 2 3 : : : {

\TO PROSTYE POL@SY DLQ f(z).

h(z)

z e1=z

eSLI z = 2i, TO POLOVIM f(z) =

g(z)

, GDE h(z) =

sin z ANA-

LITI^NA I NE RAWNA NUL@ PRI z =

2i A FUNKCIQ g(z) = z2 + 4

W \TIH TO^KAH IMEET NULX PERWOGO PORQDKA. pRIMENQQ FORMULU

res

h(z)

h(z0)

, POLU^IM

g(z)

g0(z0)

z=z0

res f(z) =

2i e;1=4

res

f(z) =

sin(2i) 2(2i)

z=2i

2i sh 2 pe

z=;2i

2 sh 2 pe

h(z)

w TO^KAH zn = n

= 1 2 3 : : : POLOVIM f(z) = g(z)

GDE h(z) =

z e1=z2

ANALITI^NA I NE RAWNA NUL@ W TO^KAH zn A

z2 + 4

g(z) = sin z

IMEET NULX PERWOGO PORQDKA W \TIH TO^KAH. tOGDA

res

h(z)

h(zn)

n e1=(n2 2)

: .

g(z)

(zn)

(n2 2 + 4) cos(n )

z=zn

2.36. sin z.

/ tAK KAK sin z =

(;1)n

z2n+1

, TO

res

f(z) =

;

1 = 0. .

n=0 (2n+1)!

z=1

2.37. (z2 ; 1)2 .

/ tAK KAK f(z) =

+ z,

TO res f(z) =

1 = 2. .

;

z=1

;

2.38.

cos(1=z)

/ tAK KAK

= 1 {

POL@S

PERWOGO PORQDKA

DLQ

f(z)

f~(1=p) =

, TO

pcos p

res f(z) =

lim

f(1=p)p 00

lim

: .

cos p!

;

z=1

; p!0

;2 p!0

2z4 ; 5z5 2.39. (z2 + 2)(z2 ; 6)2 .

p(;5 + 2p)

/ iMEEM f(1=p) = (1 + 2p2)(1 ; 6p2)2 = p g(p).

CIQ g(p) ANALITI^NA W TO^KE p = 0 I g(0) =

tAK KAK FUNK-

;5, TO g(p) =

24	zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

;5 + b1p + b2p2 + : : : + bnpn + : : : : pO\TOMU W OKRESTNOSTI TO^KI z = 1 IMEEM

f(z) = ;5 1z + b1 z12 + b2 z13 + : : :

res f(z) = ;C;1 = 5: .

z=1

2.40.z3 ; 8 . z + 2

z3 ; 8

[(z + 2) ; 2]3 ; 8

z + 2

= (z + 2)3 ; 3(z + 2)2 2 + 3(z + 2) 22 ; 23 ; 8 =

z + 2

+ 12 ; 6(z + 2) + (z + 2)2 C;1 = ;16

= ;

z + 2

res f(z) =

;

1 = 16: .

z=1

wY^ISLITX INTEGRALY.

2.41.

dz.

;

j ;

/ tAK KAK WNUTRI KONTURA : jz ;1j = 1 SODERVITSQ ODNA OSOBAQ

TO^KA z = 1

FUNKCII f(z) =

, TO

z4 ; 1

f(z)dz = 2 i res f(z) = 2 i

i: .

z=1

+ 1)0

jz;1j=1

z=1

2.42.

dz.

;

/ wNUTRI KONTURA : jz ; 1j = 3 LEVAT WSE KONE^NYE OSOBYE

TO^KI FUNKCII f(z) =

. dALEE,

z4 ; 1

z8 ;

;

1 + 1=z4 !

; z4

;

res

= res

: : :

= 0

;

f(z)dz =

2 i res f(z) = 0: .

jz;1j=3

zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

2.43.

zk sin 1zdz, k 2 Z.

jzj=1

/ wNUTRI KONTURA LEVIT ODNA OSOBAQ TO^KA z = 0 FUNKCII

f(z) = zk sin 1 = zk

(;1)n

(2n

+ 1)! z2n+1

(2n

+ 1)! z2n;k+1

n=0

eSLI k < 0 ILI

k { NE^ETNOE NATURALXNOE ^ISLO,

\TOM RQDE lORANA KO\FFICIENT C

;

PRI z;1

RAWEN NUL@ I

zk sin z1 dz = 0: eSLI k {

^ETNOE

NATURALXNOE

^ISLO,

jzj=1

(;1)k=2

1 dz

= (;1)k=22 i.

1 =

zk sin

;

(k + 1)!

jzjI=1

(k + 1)!

sin(1=z2)

2.44. jz+2Iij=3

z2 + 4

dz.

/ fUNKCIQ

sin(1=z2)

dz IMEET WNUTRI KONTURA jz+2ij

= 3 PROSTOJ

z2 + 4

POL@S z =

;

2i, DLQ KOTOROGO

res

f(z) = ; sin(1=4)

;

sin 1

z=;2i

;4i

I SU]ESTWENNO OSOBU@ TO^KU z = 0, DLQ KOTOROJ

res f

(z) = 0,

z=0

POSKOLXKU RQD lORANA ^ETNOJ FUNKCII f(z) MOVET SODERVATX

TOLXKO ^ETNYE STEPENI z I PO\TOMU C;1 = 0.

f(z)dz = 2 i ;

sin 4

2 sin

4: .

jz+2ij=3

2.45.

z e1=z2

dz.

(z2 + 4) sin z

jzj=5

1=z: 2jzj

wNUTRI

LEVAT

PQTX

OSOBYH

TO^EK

DLQ

f(z) =

z e

dz: SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA z0 = 0, DLQ KO-

(z2 + 4) sin z

TOROJ res f

(z) = 0, POSKOLXKU RQD lORANA ^ETNOJ FUNKCII f(z)

z=0

C;1

= 0

SODERVIT TOLXKO ^ETNYE STEPENI

PROS

I PO\TOMU

ze1=z

TYE POL@SY z =

res

f(z) =

sin z

z= 2i

2 sh 2 pe

z= 2i

ze1=z

e1= 2

(z2 +

PROSTYE POL@SY z =

res

f(z) =

2 + 4

cos z

26 zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

tAK KAK SUMMA WY^ETOW W \TIH PQTI TO^KAH RAWNA NUL@, TO

f(z)dz = 0. .

jzj=5

2z + 3

2.46.

z12 + 4

jzj=5

/ tAK KAK WNUTRI KONTURA NAHODQTSQ 12 OSOBYH TO^EK FUNKCII

f(z), A WNE KONTURA {

TOLXKO z =

TO NAJDEM res f(z) = C

;

1 {

KO\FFICIENT PRI z;1

LORANOWSKOGO RAZLOVENIQ FUNKCII f(z) W

OKRESTNOSTI TO^KI z = 1.

2z + 3

z12

1 ;

+ z24 ; : : : =

z12 + 4

1 + (4=z12)

z12

;

+ : : : :

z11

z12

z23

tAK KAK C;1 = 0, TO

2z + 3

dz = 0. .

z12

+ 4

jzj=5

2.47. jzjI=5

2z11 + 3

z12 + 4 dz.

/ tAK KAK WNUTRI KONTURA NAHODQTSQ 12 OSOBYH TO^EK FUNKCII

f(z), A WNE KONTURA {

TOLXKO z =

TO NAJDEM res f(z) = C

;

1 {

KO\FFICIENT PRI z;1

LORANOWSKOGO RAZLOVENIQ FUNKCII f(z) W

OKRESTNOSTI TO^KI z = 1. tAK KAK

2z11 + 3

z12 + 4

2z11 + 3

= z +

1 ;

+ z24 ; : : : =

z12

1 + (4=z12)

z12

= z

;

; z24 + : : :

z12

z13

TO C;1 = 2, OTKUDA I

2z11 + 3

z12

+ 4 dz = ;2 2 i = ;4 i. .

jzj=5

2.48. zI=2 z sin

dz.

z ; 1

LEVIT TOLXKO ODNA OSOBAQ TO^KA z = 1

/ wNE KONTURA jzj = 2

FUNKCII f(z) = z sin z ; 1. w OBLASTI jz ; 1j > 1 IMEEM LORA-

zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

NOWSKIE RAZLOVENIQ

1 =

1 + z ; 1 z ; 1 1 +

z ; 1 ; z ; 1

z ; 1

; : : : + (;1)n

+ : : :

; 1)2

(z ;

1)n

sin

+ : : : +

(;1)n

+ : : : =

z ; 1

; 3!(z ;

1)3

(2n + 1)! (z ; 1)2n+1

1 ;

; : : :! :

z ; 1

6(z ; 1)2

5!(z ; 1)4

f(z) =

+ 1

C;n

1)2

(z 1)n

;

n=3

;

OTKUDA C;1 = 0 I

z1 sin

dz = 0. .

;

j j

2.49. Z

(2 + cos x)2

zAMENQQ

eix,

dx =

cos x =

z2 + 1

POLU^IM

4zdz

. tAK KAK FUNKCIQ

i(z2

+ 4z2 + 1)2

jzj=1

f(z) =

i(z2 + 4z + 1)2

i(z ; z1)2(z ; z2)2

IMEET WNUTRI KONTURA jzj = 1 TOLXKO POL@S WTOROGO PORQDKA

z1 = ;2 + p3, TO

4zdz

= 2 i

res

i(z2 + 4z2 + 1)2

;

z1)2(z

;

z2)2 !

z=z1

j j

z1 + z2

= 8

= ;8

: .

(z z2)2

(z1

z2)3

z=z1

;

2.50. Z ctg(x + 2i)dx.

28 zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

/ tAK KAK FUNKCIQ ctg(x + 2i) PERIODI^NA S PERIODOM T = , TO

		1	2 cos(x + 2i)
Z	ctg(x + 2i)dx =	2	Z	sin(x + 2i) dx:
0			0

pROIZWODIM ZAMENU z

= ei(x+2i), dx = dziz ,

sin(x + 2i) =

z2 ; 1

. pOLU^AEM INTEGRAL

2iz

2 cos(x + 2i)

(z2 + 1)2iz

Z sin(x + 2i) dx =

2 2z(z2

;

1)iz

j j

cos(x + 2i) = z2 + 1, 2z

z2 + 1

=jzj=Ze 2 2z(z2 ; 1)dz:

tAK KAK WNUTRI KONTURA jzj = e;2 LEVIT TOLXKO POL@S PERWOGO PORQDKA z0 = 0 DLQ f(z), TO

z2 + 1

ctg(x + 2i)dx = 2 i lim

= 2 i

;

i: .

2z(z2

;

z!0

x + 1

2.51. Z

dx.

(x2

;

+ 2)2

kORNQMI

ZNAMENATELQ

DROBI

f(z) =

z + 1

QWLQ@TSQ z1 = 1 + i I

(z2 ; 2z + 2)2

; z1)2(z ; z2)2

z2 = 1

; i,

PRI^EM TOLXKO POL@S WTOROGO PORQDKA z1 DLQ f(z)

LEVIT W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI. tOGDA

z + 1

res f(z) = lim [f(z)

;

z1)2]0

(z ; z2)2

z!z1

z=z1

= ;

(z + z2

+ 2)

x + 1

dx = : .

z2)3

(x2

; 2x + 2)2

;

z=z1

2.52. Z

(4 + x2)4

/ zNAMENATELX DROBI f(z) =

IMEET

(4 + z2)4

(z + 2i)4(z ; 2i)4

W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI EDINSTWENNYJ KORENX z1 = 2i { POL@S

OSOBYE TO^KI

KOSTI).

zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

PORQDKA 4 DLQ ^ETNOJ FUNKCII f(z),

res

f(z) = lim

000 = (;4)(;5)(;6) (2i + 2i);7

= ;5i

z1=2i

z!2i

3! (z + 2i)4

= 2 i

;5i

= 5 : .

(4 + x2)4

+1 cos x

2.53. Z

dx.

x4 + 4

/ tAK KAK

cos x

{ ^ETNAQ FUNKCIQ, TO

x4 + 4

+1 cos x

J =

dx =

2 i

x4 + 4

res(f(z)eiz) + res(f(z)eiz)

GDE f(z) = z4 + 4 , z1 = 1+i I z2 = ;1+i { PROSTYE POL@SY FUN-

KCII f(z), LEVA]IE W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI (DWE OSTALXNYE1 ; i FUNKCII f(z) LEVAT W NIVNEJ POLUPLOS-

eSLI h(z) = eiz I g(z) = z4 + 4, TO

res(f(z)eiz) =

h(z1)

ei(1+i)

;

e;1+i(1 + i)

g0(z1)

4 (1 + i)3

res(f(z)eiz) =

ei(;1+i)

;

e;1;i(;1 + i)

4(;1 + i)3

J =

Re "2 i ;

ei(1 + i) + e;i(

;

1 + i)

!# =

(cos 1 + sin 1): .

16e

2.54, SM. 1.18. nAJTI RE[ENIE URAWNENIQ x;2x+2x(t) = 2t;2, UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNYM USLOWIQM x(0) = 0, x(0) = 0.

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022369.35 Кб7Французский язык. Ч. 1 (120.pdf
#
15.11.2022392.61 Кб7Французский язык. Ч. 2 (120.pdf
#
15.11.2022286.42 Кб1Фриульские славяне..pdf
#
15.11.2022465.57 Кб17Фундаментальная и компьютерная алгебра. Часть IV. Компьютерная алгебра (110.pdf
#
15.11.2022733.29 Кб3Функции и графики (90..pdf
#
15.11.2022456.1 Кб3Функции комплексного переменного (1500..pdf
#
15.11.2022122.63 Кб3Функции речевого этикета и формирование навыков этикетной речи в вузе..pdf
#
15.11.2022695.43 Кб4Функциональная система музыкальной формы учебное пособие для студентов музыкальных вузов..pdf
#
15.11.2022383.69 Кб0Функционально-семантическая категория Understanding в современном английском языке (90..pdf
#
15.11.2022414.61 Кб1Функционально-стратегический потенциал англицизмов в интернет-дискурсе (90..pdf
#
15.11.2022390.35 Кб0Функциональные стили современного русского литературного языка (110..pdf