Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функции комплексного переменного (1500

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

456.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

10	kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII

TO^EK z1 z2 : : : zn, TO SUMMA WY^ETOW f(z) WO WSEH OSOBYH TO^- KAH, WKL@^AQ z = 1, RAWNA NUL@ I

f(z)dz = 2 i

res f(z) =

2 i

res f(z) + res f(z)

;

@ X26

1.13. iNTEGRALY WIDA Z2 R(cos x sin x)dx. tAKIE INTEGRALY,
	0
GDE R(u v) { DEJSTWITELXNAQ RACIONALXNAQ FUNKCIQ, NEPRERYW-
NAQ PRI ;1 u 1 I	;1 v 1, SWODQTSQ K INTEGRALAM
WIDA
Zjzj=1 R	z2 + 1	z2 + 1	dz
Zjzj=1 R	2z	2iz	! iz
S POMO]X@ PEREHODA K KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ
z = eix dx = dz	cos x = z2 + 1		sin x = z2 ; 1 :
iz		2z	2iz

pUSTX Pm(x) I Qn(x) { MNOGO^LENY STEPENI m I n SOOTWETST- WENNO, PRI^EM n ; m 2 I Qn(x) =6 0 NA Ox. tOGDA

+1 Pm(x)		dx = 2 i	X		res	Pm(z)
;1		dx = 2 i	X		res
Z	Qn(x)		Jm z	>0	zk	Qn(z)
			k

GDE SUMMIROWANIE WEDETSQ PO WSEM KORNQM MNOGO^LENA Qn(z) LEVA]IM W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI Jm z > 0. eSLI PRI \TOM MNOGO^LENY Pm(x) I Qn(x) SODERVAT TOLXKO ^ETNYE STEPENI x, TO

	+1Pm(x)		dx = i		X	res	Pm(z)	:
	0		dx = i		X	res		:
	Z	Qn(x)			Jm zk>0 zk		Qn(z)
			+1				+1
1.14. iNTEGRALY WIDA Z				f(x) cos( z)dx I Z					f(x) sin( z)dx.
			;1				;1
pUSTX > 0,	f(x) = Pm(x)			{	DROBNO-RACIONALXNAQ FUNKCIQ,
		Qn(x)

DLQ KOTOROJ n > m I Qn(x) NE IMEET DEJSTWITELXNYH KORNEJ,

A + iB = 2 i	X	res		f(z)ei z
	Im zk>0	zk

KAM zk FUNKCII f(z) = TI. tOGDA

kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII

GDE A B 2 R I SUMMIROWANIE WY^ETOW IDET PO WSEM OSOBYM TO^-

Pm(z), LEVA]IM W WERHNEJ POLUPLOSKOS-

Qn(z)

+1		+1
Z	f(x) cos( x)dx = A	Z	f(x) sin( x)dx = B:
;1		;1

1.15. oRIGINALY I IZOBRAVENIQ. fUNKCIEJ-ORIGINALOM,

NAZYWAETSQ L@BAQ TAKAQ DEJSTWITELXNAQ FUNKCIQ f(t) : R ! R, ^TO:

1)f(t) = 0 PRI t < 0

2)NA L@BOM OTREZKE f(t) LIBO NEPRERYWNA, LIBO IMEET LI[X KONE^NOE ^ISLO TO^EK RAZRYWA, PRI^EM WSE ONI PERWOGO RODA

3)SU]ESTWU@T TAKIE ^ISLA M > 0 I s > 0, ^TO jf(t)j M est.

nIVNQQ GRANX s0 WSEH ^ISEL s IZ 3) NAZYWAETSQ POKAZATELEM ROSTA ORIGINALA f(t).

iZOBRAVENIEM ORIGINALA f(t) NAZYWAETSQ FUNKCIQ F(p)

KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO p = s + i , s 2 R, ZADAWAEMAQ

RAWENSTWOM F (p) = Z01 f(t) e;ptdt. pI[UT f(t) + F (p) ILI F (p) + f(t), ESLI F(p) { IZOBRAVENIE ORIGINALA f(t).

1.16. sU]ESTWOWANIE, ANALITI^NOSTX, EDINSTWENNOSTX I STREMLENIE K NUL@ IZOBRAVENIQ. pUSTX f(t) { ORIGI-

NAL S POKAZATELEM ROSTA s0. w POLUPLOSKOSTI Re p = s > s0 IZOBRAVENIE F (p) SU]ESTWUET, QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ FUNKCI-

EJ I lim F (p) = 0. kROME TOGO, ESLI \TA FUNKCIQ F (p) QWLQETSQ

p!1

IZOBRAVENIEM E]E ODNOGO ORIGINALA g(t), TO f(t) = g(t) WO WSEH TO^KAH t, GDE ORIGINALY f(t) I g(t) NEPRERYWNY.

1.17. sWOJSTWA IZOBRAVENIJ I ORIGINALOW. eSLI f(t) +

F (p), TO

kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII

f(!t) +

f(t ; !) + e;p!F (p) (! > 0) eatf(t) + F (p ; a) (a 2 C )

tnf(t) + (;1)nF(n)(p) f0(t) + pF (p)

; f(0) f00(t) + p2F (p) ; pf(0)

; f0(0)

f(n)(t) + pnF(p) ; pn;1f(0) ; pn;2f0(0) ; : : : ; pfn;2(0) ; fn;1(0)

F (p)

f(t)

Z f(u)du

+ Z F(p)dp F (p)G(p) + Z f(u)g(t ; u)du

pF (p)G(p) + f(t) g(0) + Zt

f(u)g0(t ; u)du

eat +

pn+1

(p ; a)

eattn +

sin !t +

sh !t +

cos !t

(p ; a)

n+1

+ !

p ; !

p + !

!t +

p2 ;

eat sin

!t +

eat sh !t

(p ; a)2

+ !2

(p ; a)2 ; !2

eat cos !t +

; a

eat ch !t +

; a

t sin

!t +

2p!

(p ; a)2 + !2

(p ; a)2 ;

(p2 + !2)2

2p!

t sh !t +

t cos

!t +

p2 ; !2

t ch

!t +

+ !

; !

)

(p + !

)

; !

)

1.18. pUSTX TREBUETSQ RE[ITX ZADA^U kO[I

a x + b x + c x(t) = f(t)

x(0) = x0 x(0) = x1

GDE a b c

2 R, f(t) { ORIGINAL. pEREHODQ K IZOBRAVENIQM I IS-

POLXZUQ 1.17, POLU^IM

(ap2 + bp + c)X(p) ;

(apx0 + ax1 + bx0) = F (p)

X(p) = F(p) + apx0 + ax1 + bx0

ap2 + bp + c

OTKUDA MOVNO NAJTI x(t).

1.19. pUSTX TREBUETSQ RE[ITX ZADA^U kO[I

anx(n)(t) + an;1x(n;1)(t) + : : : a0x(t) = f(t)

x(0) = x0(0) = : : : = x(n;1)(0) = 0

GDE ai 2 R, PRI^EM IZWESTNO RE[ENIE x1(t) DRUGOJ ZADA^I kO[I:

anx(n)(t) + an;1x(n;1)(t) + : : : anx(t) = 1

x(0) = x0(0) = : : : = x(n;1)(0) = 0:

mOVNO DOKAZATX,

^TO RE[ENIE x(t) ISHODNOJ ZADA^I ZADAETSQ

FORMULOJ x(t) =

(u)x0

;

u)du.

zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

2.zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

pREDSTAWITX W ALGEBRAI^ESKOJ FORME:

7 cos

2.1. z = 2

+ i sin 7

= 42(cos + isin ) =

;42.

! = 9 cos

cos( =5) + i sin( =5)

2.2. z = 9

cos (;( =20)) + i sin (;( =20))

= 9 cos

+ i sin 5

+ i sin 4

2.3. z = (1 ; ip3)10 = 2 cos ;

+ i sin ;

= 210 cos ;

3 + i sin ;

= 210

cos

; i sin

! = ;512 + 512p3i:

= 210 cos

+ i sin

= 210

+ i 2

+ i

2 (cos( =6) + i sin( =6))

2.4. z =

2 (cos (

;

=3) + i sin (

;

=3))

;

= cos

+ i sin

6 +

= cos(2 + 4 ) + i sin(2 + 4 ) = cos 6 = 1:

2.5. p

= cos ( =2) + 2 k

+ i sin ( =2) + 2 k

w0 = cos

+ i sin

+ i

w1 = cos

4 + isin

= ; 2

; i

2.6. p

= cos (; =2) + 2 k + i sin

(; =2) + 2 k ,

;

w0 = cos

+ i sin

;

; 4

; i

w1 = cos

4 + isin

= ; 2

+ i

14																						zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI
2.7. p				= cos 2 k							+ i sin 2 k,
2.7. p			1	= cos 2 k							+ i sin 2 k,
3
									3									3
																						p															p
																		1				p	3												1		p	3
					w0 = 1 w1 = ;													2		+		2		i w2							= ;2 +						2			i:
4										+ 2 k												+ 2 k
4										+ 2 k												+ 2 k
2.8. p;1 = cos											4					+ i sin									4			,
											p						p												p						p
							w0 =				p		2	+			p		2	i w1 = ;									p			2	+		p	2	i
							w0 =				2			+			2			i w1 = ;										2			+		2		i
												p						p											p						p
												p		2				p			2								p			2			p	2
							w2 = ; 2									;			2 i w3 =											2			;		2		i:
								4						( =4) + 2 k																		( =4) + 2 k									!,
								4						( =4) + 2 k																		( =4) + 2 k
2.9. p1 + i = p2											cos							2							+ i sin										2

																											2 + p														p			1 =
		4					cos															4												2			2						2
		4																				4												2			2						2
w0 = p2									8		+ i sin						8 = p2								0q				2						+ iq				;2
																									@																	9 A
		2p				+ 2						2p
					2										2			2								4									9
					2										2			2								4									9
=	q	2						+ i			q			2			;					w1 =				p2				cos					8 + i sin							8		=
														4
														4
											= ;p2							cos 8						+ isin						8 :

2.10. cos 2i = 12(e;2 + e2) = ch 2 3 7.

2.11. Ln(;1) = ln 1 + i( + 2 k) = (2k + 1) i, k 2 Z, ln(;1) = i.
2.12. sin z = e;y+ix ; ey;ix			=
		2i
	1	"e;y(cos x + i sin x) ; ey(cos(;x) + i sin(;x))#=

	2i
= cos xey ; e;y i + sin xey + e;y = sin x ch y + i cos xsh y:
	2		2
wY^ISLITX INTEGRALY.
2.13. Z	(iz) Im z2dz, : ; arg z 0, jzj = 1.

/ kRIWAQ { NIVNQQ POLUOKRUVNOSTX EDINI^NOGO RADIUSA, S CENTROM W TO^KE z = 0 I OBHODOM PROTIW ^ASOWOJ STRELKI. ESLI

zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

z = x + iy, TO

f(z) = (iz) Im z2 = i(x + iy) Im(x2 ; y2 + 2ixy) = = 2i(x + iy)xy = ;2xy2 + 2ix2y

f(z)dz = ;2(xy2 ; ix2y)(dx + idy) =

= ;2"(xy2dx + x2ydy) + i(;x2ydx + xy2dy)#

	Z	f(z)dz = Z	(iz) Im z2dz =
= ;2"Z	xy2dx + x2ydy + +i Z ;x2ydx + xy2dy#=

= ;2";Z0 (; cos t sin3 t + cos3 t sin t)dt+

+i;Z (cos2 t sin2 t + sin2 t cos2 t)dt#= ; 2 i: .

2.14. In = I (z ; a)n, GDE n 2 Z I : jz ; aj = r, r > 0.

/ tAK KAK : z = a + r eit, GDE 0 t 2 , TO dz = ir eitdt I

In = irn+1 Z2 eit(n+1)dt:

I;1 = 2 i PRI n = ;1. pRI n 6= ;1 PO FORMULE nX@TONA{lEJB-

NICA 6.1.35

jz;aj=r

			n+1		t=2
	In =		r		eit(n+1) = 0
	In =		n + 1		eit(n+1) = 0
					t=0
(z	;	a)ndz =		(	0 n = 0 1		2	3 : : : .
	;			(	2 i n =	;	1:
						;

2.15. Z ejzj2 Re zdz, GDE { OTREZOK, SOEDINQ@]IJ TO^KI 0 I 1+i:

16 zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

x = t

/ tAK KAK :

= t

< 0

ejzj2 Re zdz = Z

ex2+y2 xdx + i Z

ex2+y2 xdy =

= Z

tdt + i Z

e2t tdt = (1 + i) Z e2t

e2t

tdt =

4 (e2 ; 1)(1 + i): .

2.16.

2z3 ;z7z + 5

dz.

jz;1j=2

/ tAK KAK TO^KA z0 = 0

LEVIT WNUTRI OKRUVNOSTI

;

= 2 I

FUNKCIQ f(z) = 2z

; 7z + 5 ANALITI^NA WO WSEJ PLOSKOSTI, TO

PO FORMULE kO[I

2z3 ;z7z + 5

dz = 2 i f(0) = 10 i: .

jz;1j=2

2.17.

e z

dz.

z2 + 1

jz;1;ij=

e z

/ fUNKCIQ f(z) =

ANALITI^NA W KRUGE D : jz ; 1 ; ij p2

+ i

I NA EGO GRANICE,

POSKOLXKU TO^KA z =

;

i LEVIT WNE

D. tAK

e z

f(z)

KAK z = i { WNUTRENNQQ TO^KA KRUGA D I

, TO PO

+ 1

z ; i

FORMULE kO[I

2 i

f(i) = 2 i

e i

= 2 i

;

: .

i + i

2.18.

z2 cos( z) + 1

dz.

=10

;

2i)(z

+ 3)

j ;

/ iZWESTNYM METODOM NAJDEM RAZLOVENIE

;

(z ; 2i)(z + 3)

z ; 2i

z + 3

3 + 2i

z ; 2i

3 + 2i

z + 3

zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

oBOZNA^IM f(z) = z2 cos( z) + 1. tOGDA

z2 cos( z) + 1

f(z)dz

3 =

dz =

2i ;

;

2i)(z

+ 3)

3 + 2i

;

z + 3

jz;3ij=10

6jz;3ij=10

jz;3ij=10

2 i

[f(2i) ; f(;3)] =

h;4 cos(2 i) ; (;3)2 cos(3 )i =

3 + 2i

2 i

"9 ; 4

e(2 i)i + e;(2 i)i

# =

2 i(3

2i)

e;2

+ e2

! =

13;

9 ; 4

3 + 2i

(9 ; 4 ch 2 )(2 + 3i): .

2.19.

(z2 + 1) sin( z)

dz.

;

2)3

/ pUSTX f(z) = (z2 + 1) sin( z). tOGDA

f0(z) = 2z sin( z) + (z2 + 1) cos( z)

f00(z) = 2 sin( z) + 2 z cos( z) + 2 z cos( z) ; 2(z2 + 1) sin( z) =

= [2

; 2(z2 + 1)] sin( z) + 4 z cos( z)

f00(2) = 8

(z2

+ 1) sin( z)

2 i

00(2) = i f00(2) = 8 2i: .

;

2)3

j j

w ZADA^AH 2.20{2.22 RAZLOVITX W RQD lORANA FUNKCI@ f(z) W

OKRESTNOSTI z0.

2.20. f(z) = z2e1=z, z0 = 0.

/ f(z) = z2 1 +

+ : : : +

+ : : : = z2 + z + 1 + 1

n!zn

(n + 2)!zn

n=1

f1(z) = 1

+ z + 1

I f2(z) = z2

{ GLAWNAQ I PRAWILX-

(n + 2)!zn

n=1

NAQ ^ASTI RQDA lORANA DLQ f(z). .

2.21. f(z) = cos

, z0 = ;1.

z + 1

/ f(z) = cos 1 ;

= cos 1 cos

+ sin 1 sin

z + 1

sin 1

cos 1

sin 1

cos 1

= cos 1 +

;

+ : : : + (;1)n

z + 1

2!(z + 1)2

3!(z + 1)3

(2n)!(z + 1)2n

;

1)n

sin 1

+ : : :

z =

1: .

(2n + 1)!(z + 1)2n+1

6 ;

zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

2.22. f(z) =

sin z

, z0 = 0.

/ pRI z = 0 sin z

z ; 3! +

5! ;

7! + : : :!

;

+ : : : : .

3!z3

5!z

2.23. nAJTI WSE RAZLOVENIQ FUNKCII f(z) =

W RQD lO-

z(z

;

RANA PO STEPENQM (z;1) I OBLASTI SHODIMOSTI \TIH RAZLOVENIJ.

/ fUNKCIQ f(z) =

; z

ANALITI^NA W KOLXCAH

z(z

;

; 1

D1 = f0 < jz ; 1j

< 1g

D2 = f1 < jz ;

1j < 1g.

A) w KOLXCE D1

{ ^LEN RQDA lORANA, A FUNKCIQ

ANALI-

;

TI^NA W KRUGE jz ; 1j < 1 I PO\TOMU

(;1)n(z ; 1)n

1 + (z 1)

;

n=0

;

1 (;1)n(z ; 1)n z 2 D1:

z(z

;

n=0

B) w KOLXCE D2

{ ^LEN RQDA lORANA, A FUNKCIQ

ANALI-

;

TI^NA W KOLXCE D2 I PO\TOMU

= 1

(;1)n

;

1) + 1

1 +

n=0 (z

;

1)n+1

;

n+1

;

(z(;1)1)n+1

z 2 D2: .

z(z

z 1

n=0

n=1

;

2.24. nAJTI WSE RAZLOVENIQ FUNKCII f(z) =

3z + 36

18z2

+ 3z3

; z4

RQD lORANA.

/ fUNKCIQ f(z) = ;

3(z + 12)

IMEET OSOBYE TO^KI

z2(z ; 6)(z + 3)

z1 = 0, z2 = 6, z3 = ;3 I

3(z + 12)

f(z) = ;

= z2

+ z

z2(z ; 6)(z + 3)

z ; 6

z + 3

= A(z ; 6)(z + 3) + Bz(z

;

6)(z + 3) + Cz2(z + 3) + Dz2(z ; 6) :

(z ; 6)(z + 3)

zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI

sNA^ALA PODSTAWIM W RAWENSTWO 3(z + 12) = A(z ; 6)(z + 3) +

Bz(z ; 6)(z + 3) + Cz2(z + 3) + Dz2(z ; 6) ZNA^ENIQ z = 0, z = 6, z = ;3, A ZATEM PRIRAWNQEM W PRAWOJ I LEWOJ ^ASTQH KO\FFI- CIENTY PRI z3. pOLU^IM

A = 2 C = ;

6 D =

B ;

= 0 B = ;

f(z) =

;

6(z ; 6)

3(z + 3)

1 . pUSTX z 2 D1 : 0 < jzj < 3. tOGDA

1 1

= ;

= ;6 n=0

PRI jzj < 6

;

; 6

3 n=0(;1)n 3

PRI jzj < 3

z + 3

1 + z

1 zn

1 1

f(z) =

;

+ 9 n=0(;1)n

PRI 0 < jzj < 3:

36 n=0 6n

2 : pUSTX z

2 D2 : 3 < jzj < 6. w D2

POLU^ENNYJ DLQ

RQD

;

SHODITSQ I

= z

= z n=0(;1)n z

z + 3

1 + 3z;1

1 zn

f(z) = z

;

n=0 6n +

3z n=0(;1)n z

n 3n;1

= z ; 6z + 36

(;1) zn+1 3 < jz < 6:

n=0

3 . pUSTX z

D3 : jzj > 6. w D3 PREDYDU]IJ RQD DLQ

z + 3

SHODITSQ I

= z

= z n=0(;1)n z

= n=0(;1)n

;

6z;1

zn+1

n 3n;1

f(z) = z2 ; 6z +

(;1) zn+1 ;

(;1) zn+1 jzj > 6: .

n=0

w ZADA^AH 2.25{2.27

OPREDELITX TIPY OSOBYH TO^EK FUNKCII

f(z).

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022369.35 Кб10Французский язык. Ч. 1 (120.pdf
#
15.11.2022392.61 Кб11Французский язык. Ч. 2 (120.pdf
#
15.11.2022286.42 Кб5Фриульские славяне..pdf
#
15.11.2022465.57 Кб25Фундаментальная и компьютерная алгебра. Часть IV. Компьютерная алгебра (110.pdf
#
15.11.2022733.29 Кб5Функции и графики (90..pdf
#
15.11.2022456.1 Кб9Функции комплексного переменного (1500..pdf
#
15.11.2022122.63 Кб5Функции речевого этикета и формирование навыков этикетной речи в вузе..pdf
#
15.11.2022695.43 Кб8Функциональная система музыкальной формы учебное пособие для студентов музыкальных вузов..pdf
#
15.11.2022383.69 Кб3Функционально-семантическая категория Understanding в современном английском языке (90..pdf
#
15.11.2022414.61 Кб8Функционально-стратегический потенциал англицизмов в интернет-дискурсе (90..pdf
#
15.11.2022390.35 Кб3Функциональные стили современного русского литературного языка (110..pdf