Функции комплексного переменного (1500

4

kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII

~EREZ C

OBOZNA^AETSQ MNOVESTWO WSEH KOMPLEKSNYH ^ISEL z =

x + iy, GDE x = Re z 2 R { DEJSTWITELXNAQ ^ASTX ^ISLA z,

2

2

y = Im z

R {

MNIMAQ ^ASTX ^ISLA z, i { SIMWOL, NAZYWAEMYJ

MNIMOJ EDINICEJ, i

= ;1, PRI^EM KOMPLEKSNYE ^ISLA SKLADY-

WA@TSQ I UMNOVA@TSQ PO PRAWILAM

z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 ; y1y2) + i(x1y2 + y1x2):

kOMPLEKSNYE ^ISLA z = x + iy IZOBRAVA@TSQ TO^KAMI KOMPLEK

SNOJ PLOSKOSTI C

S DEKARTOWYMI KOORDINATAMI (x y),

jzj

=

px2 + y2

{ MODULX ^ISLA z, T.E. RASSTOQNIE OT TO^KI z DO NA-

j

j 6

6

^ALA KOORDINAT O,

z

= 0 PRI z = 0. s^ITAEM, ^TO R

C ,

POLAGAQ x = x + i0, T.E. DEJSTWITELXNAQ OSX Ox WKLADYWAETSQ W

2

2

22

2

KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX. eSLI z = x+iy

C I x y

R, TO ^ISLO

= x

+ y = jzj

2

R.

z

= x ;iy NAZYWAETSQ SOPRQVENNYM K z, zz

tO^KI z I

z

NA PLOSKOSTI C

SIMMETRI^NY OTNOSITELXNO OSI

Ox. dELENIE NA NENULEWYE KOMPLEKSNYE ^ISLA PROIZWODITSQ PO

PRAWILU

z1

= z1

2 =

1

iy2) = x1x2 + y1y2

+ i y1x2

; x1y2

z

(x1

+ iy1)(x2

;

:

z

z

z

z

2

x2 + y2

x2

+ y2

2

2

2

j 2j

2

2

2

2

1.1.

= z

=

1

2

=

1

2

z1 z2

z

z

z

z1z2

z

z

=

z

z1

z2

z1

+

z2

z1z2

=

z1

z2

z1 = jz1j:

z

j

j

j j

j

j

j

j

j

j

jj

j

j

z2

jz2j

eSLI

' { POLQRNYE KOORDINATY TO^KI z = x + iy

KOMPLEK-

SNOJ PLOSKOSTI, TO

jzj

= , A POLQRNYJ UGOL ', OPREDELEN-

NYJ S TO^NOSTX@ DO

2 k (k

2

Z), NAZYWAETSQ ARGUMENTOM ^IS-

LA z I OBOZNA^AETSQ Arg z.

zNA^ENIE ', LEVA]EE W POLUINTER-

WALE

(; ]

NAZYWAETSQ

GLAWNYM

ZNA^ENIEM ARGUMENTA

^IS-

LA z I OBOZNA^AETSQ ^EREZ arg z, PRI^EM Arg z

= arg z + 2 k,

k

2

Z. qSNO,

^TO

x

=

j

z

j

cos ',

y

=

j

z

j

sin '. dLQ

L@BO-

GO

iy

^ISLO

C ,

GDE

y

2

R ^EREZ e

OBOZNA^IM

cos y + i sin y

2

iy

2

y + sin

2

y

j

e

j

= cos

= 1. dLQ ^ISLA z = x + iy IME@TSQ ZAPISI

z = jzje

i'

,

W WIDE z = jzj(cos ' + i sin ')

I

NAZYWAEMYE TRIGONOMETRI^ESKOJ I POKAZATELXNOJ FORMAMI

kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII

5

1.2. z1z2 = jz1jei'1jz2jei'2 = jz1jjz2jei('1+'2),

z1

= jz1jei'1 =

j

z1

jj

z2

j

ei('1;'2)

zn =

j

z

ei'

n

=

j

z

ein':

z2

jz2jei'2

j

j

w ^ASTNOSTI, (cos ' + i sin ')n = cos n' + i sin n'

{ FORMULA

dLQ L@BYH z =

j

z

(cos ' + i sin ') = 0 I n

2

N KORENX n J STE

n

1=n

j

6

PENI pz = z

IMEET n ZNA^ENIJ, WY^ISLQEMYH PO FORMULE

' + 2 k

' + 2 k

!

n

n

pz = qjzj

cos

n

+ i sin

n

k = 0 1 : : : n ; 1

n

GDE

qjzj { OBY^NOE ARIFMETI^ESKOE ZNA^ENIE KORNQ IZ jzj 2 R.

1.4.

pOKAZATELXNAQ I LOGARIFMI^ESKAQ FUNKCII. dLQ

WSEH z 2 C

POKAZATELXNAQ FUNKCIQ ez

ZADAETSQ RAWENSTWOM

6

dLQ WSEH z = 0 LOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ Ln z ZADAETSQ RAWENS-

TWAMI

Ln z = ln jzj + i(' + 2 k) = ln z + i 2 k k 2 Z

KCII. tAKIE FUNKCII OPREDELQ@TSQ RAWENSTWAMI

ch z = ez + e;z

sh z = ez

; e;z

th z = sh z

cth z = ch z

2

2

ch z

sh z

cos z = ch(iz) =

eiz + e;iz

sin z =

;

i sh(iz) = eiz

; e;iz

2

2i

Arcsin z = ;i Ln(iz + p

)

Arsh z = Ln(z + p

1 ; z2

z2 + 1)

p

p

2

; 1)

Arch z = Ln(z +

z

2

; 1)

Arccos z = ;i Ln(z + z

Arctg z =

1

Ln i

; z

Arth z = 1 Ln

1 + z

:

2i

i + z

2

1 ; z

1.6. eSLI KRIWAQ ZADANA URAWNENIEM z = z(t), GDE t ,

TO

Z

f(z)dz = Z f(z(t))z0(t)dt.

NA D [ FUNKCIQ. tOGDA

1

f(z)dz

f(z0) z0

D

Z z ; z0 = ( 0

z20 26 D [

2 i

n!

f(z)dz

f(n)(z0) z0

D

Z

= ( 0

z0226 D [ :

2 i

(z ; z0)n+1

1.8. rQDY lORANA. rQDOM lORANA

NAZYWAETSQ

RQD WIDA

+1

n

QWLQ@]IJSQ SUMMOJ RQDA

1

n

PRA

cn(z ; z0) ,

-

;1

n=0 cn(z ; z0) (

P

P

I RQDA

1

z0);

n

GLAWNAQ

WILXNAQ ^ASTX RQDA lORANA

)

c;n(z

;

(

n=1

^NA W KOLXCE

0

r < jz ; z0j < R 1,

TO W \TOM KOLXCE

+

1

n

GDE

f(z) =

cn(z ; z0) ,

;1

P

1

I

f( )d

cn =

n = 0 1 2 : : :

2 i

( ; z0)n+1

(I1)

SU]ESTWUET KONE^NYJ PREDEL

lim f(z) I

LIBO

z!z0

f(z0) = lim f(z), LIBO f(z) NE OPREDELENA W TO^KE z0

6 z!z0

(I2)

SU]ESTWUET TAKAQ ANALITI^NAQ W z0

FUNKCIQ '(z),

^TO

kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII

7

iZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA z0 NAZYWAETSQ

POL@SOM, ESLI

lim f(z) =

. iZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA

z0 NAZYWAETSQ

z!z0

1

C

k

C

1

f(z) =

;

+: : :+

;

+C0 +C1(z;z0)+C2(z;z0)2 +: : :

(z ; z0)k

(z ; z0)

GDE C

k = 0

I Cn

= 0

8

n <

;

k

;

6

(II3)

W

NEKOTOROJ

PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI

z0 f(z) =

'(z)

, GDE '(z)

ANALITI^NA W z0 I '(z0) = 0.

(z ; z0)k

6

w \TIH USLOWIQH

'(z) = C;k + C;k+1(z ; z0) + : : : +

8

kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII

(IV2) RQD lORANA W OKRESTNOSTI TO^KI z = 1 NE SODERVIT PO-

LOVITELXNYH STEPENEJ z

(IV3) p = 0 { USTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA FUNKCII f(1=p).

tO^KA z =

1

{ POL@S, ESLI

lim

f(z) = . tO^KA z =

1

{ POL@S

z!1

1

PORQDKA k > 0 ESLI WYPOLNQETSQ L@BOE IZ SLEDU@]IH \KWI-

WALENTNYH USLOWIJ:

(V1) SU]ESTWUET KONE^NYJ NENULEWOJ PREDEL lim

f(z)

zk

z!1

(V I1) NE SU]ESTWUET KONE^NOGO ILI BESKONE^NOGO

PREDELA

lim f(z)

z!1

1,

(V I2) RQD lORANA, SHODQ]IJSQ W OKRESTNOSTI TO^KI

z =

SODERVIT BESKONE^NOE ^ISLO POLOVITELXNYH STEPENEJ z

1.10. wY^ETY. wY^ETOM FUNKCII f(z) W IZOLIROWANNOJ OSOBO-

J TO^KE z0 NAZYWAETSQ ^ISLO res f(z) =

1

f(z)dz, GDE {

2 i I

z=z0

wY^ET res f(z) RAWEN KO\FFICIENTU PRI

1

W LORANOWSKOM

z0

+

z ; z0

1

n

X;1

RAZLOVENII

f(z) =

Cn(z ; z0) .

n=

eSLI z0 { USTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA DLQ f(z),

TO res f(z) = 0.

z0

eSLI z0 { PROSTOJ POL@S DLQ f(z), TO res f(z) = lim

f(z)(z

;

z0).

h(z)

z0

z!z0

eSLI f(z) =

, GDE

h(z) I g(z) ANALITI^NY

W TO^KE

z0,

g(z)

g0(z0) = 0 TO

h(z0) = 0, g(z0) = 0 I

z0 { PROSTOJ POL@S I

6

h(z0)

6

res

h(z) =

.

z=z0

g(z)

g0(z0)

kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII

9

eSLI z0 { POL@S PORQDKA k > 0 DLQ f(z), TO

res f(z) =

1

lim

dk;1

n

f(z)(z

;

z0)k

o

:

dzk;1

z0

(k ; 1)! z!z0

eSLI f(z) =

h(z)

, PRI^EM z0 { NULX PORQDKA k DLQ h(z) I NULX

g(z)

PORQDKA k + 1 DLQ g(z), TO z0 { PROSTOJ POL@S DLQ f(z) I

res f(z) =

h(k)(z0)

(k + 1):

g(k+1)(z0)

z=z0

1

1

z

=

wY^ETOM

W TO^KE

NAZYWAETSQ ^ISLO

res

f(z) =

f(z)dz,

GDE

{ L@BOJ KONTUR,

ODIN RAZ

2 i I

z=1

(KROME z = 1). eSLI f(z) =

X;1

Cn(z ; z0)n

1

{ LORANOWSKOE

n=

RAZLOVENIE FUNKCII W OBLASTI, LEVA]EJ WNE ,

TO res =

;

C

;

1:

z=1

eSLI z = 1 { USTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA DLQ f(z), TO

res f(z) =

C

1 =

~

(0):

;

;

f0

z=1

;

eSLI z = 1 { POL@S PORQDKA k DLQ f(z), TO

d

k+1

~

k

res f(z) =

lim

f(p)p

:

(k + 1)!!

z=1

; p!0 dpk+1

I

m

X

f(z)dz = 2 i

res f(z):

k=1 z=zk