Уравнения математической физики в системе MAPLE (110
..pdf
Norma := BesselI(0, μk )2 a ~2 BesselJ(0, μk )2
Решаем теперь второе уравнение:
>subs(_c[1]=lambda.eq2);
d 2 T (t) = −T (t)b4λ ~ dt 2
>res2:=dsolve(%,T(t));
res := T (t) = _ C1sin(
λ ~b2t) + _ C2 cos( 
λ ~b2t)
>T:=unapply( >subs(lambda^(l/2)=(mu[k]/a)^2, >_C1=C1(k),_C2=C2(k),rhs(res2)),k,t);
|
2 |
b |
2 |
t |
|
|
2 |
b |
2 |
t |
|
||
|
μk |
|
|
|
μk |
|
|
||||||
T := (k,t) → C1(k)sin |
a ~ |
2 |
|
|
+C2(k) cos |
a ~ |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, решение нашей задачи строим в виде ряда
>spr:=Sum(T(k,t)*ef(k,r),k=1..infinity);
∞ |
|
2 |
b |
2 |
t |
|
|
2 |
b |
2 |
t |
|
||
|
|
μk |
|
|
|
μk |
|
|
||||||
spr := ∑(C1(k)sin |
a ~ |
2 |
|
|
+C2(k) cos |
a ~ |
2 |
|
) |
|||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(−BesselJ(0, μak~r )BesselI(0, μk ) + BesselJ(0, μk )BesselI(0, μak~r ))
Для определения коэффициентов разложения мы имеем задачу
> e1:=value(subs(t=0,spr))=ic1;
∞ |
|
|
μk r |
|
|
|
|
|
μk r |
|
|
|
||
e1:= ∑C2(k)(−BesselJ(0, |
)BesselI(0, μk ) + BesselJ(0, μk )BesselI(0, |
)) = f (r) |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
k =1 |
|
|
a ~ |
|
|
|
|
a ~ |
|
|
||||
> diff(spr,t);e2:=value(subs(t=0,%))=ic2; |
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
C1(k)μk 2b2 (BesselJ (0. μk r )BesselI (0, μk ) + BesselJ (0, μk )BesselI (0, |
μk r )) |
|||||||||||
e2 := ∑ |
|
|
|
|
a ~ |
|
|
|
|
|
|
a ~ |
= |
|
|
|
|
|
|
a ~ |
2 |
|
|
|
|
|
|||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= g(r) |
|
|
|
|
|
|||
Откуда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
>C2:=unapply(int(ic1*r*ef(k,r),r=0..a)/Norma,k); |
|
|
||||||||||||
|
|
C2 := k → |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a ~2 BesselI (0, μk )2 BesselJ (0, μk )2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
a~ |
f (r)r(−BesselJ(0, μk r )BesselI(0, |
μk ) + BesselJ(0, μk )BesselI(0, |
μk r ))dr |
|
||||||||||
∫ |
|
|||||||||||||
0 |
|
a ~ |
|
|
|
a ~ |
|
|
||||||
>C1:=unapply( >Int(ic2*r*ef(k,r),r=0..a)*a^2/b^2/mu[k]^2/Norma,k);
21
|
C1:= k → |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b2 μk |
2 BesselI (0, μk )2 BesselJ (0, μk )2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
a~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μk r ))dr |
∫g(r)r(−BesselJ(0, μk r )BesselI(0, μk ) + BesselJ(0, μk )BesselI(0, |
||||||||||||||||||||||
0 |
a ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ~ |
|||
Окончательно получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
>sol:=spr; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
2b2t |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
a ~ |
2 |
|
|
|
||||||||
|
sol := ∑( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
2 |
BesselI(0, |
μk ) |
2 |
BesselJ (0, μk ) |
2 |
|
|
||||||||||||
|
k =1 b |
|
μk |
|
|
|
|
|||||||||||||||
a~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫g(r)r(−BesselJ(0, μk r )BesselI(0, μk ) + BesselJ(0, μk )BesselI(0, μk r ))dr + |
||||||||||||||||||||||
0 |
|
a ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ~ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μk |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
a ~ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a ~2 |
BesselI(0, μk )2 BesselJ (0, μk )2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
a~ |
f (r)r(−BesselJ(0, μk r )BesselI(0, μk ) + BesselJ(0, μk )BesselI(0, μk r ))dr) |
|||||||||||||||||||||
∫ |
||||||||||||||||||||||
0 |
|
a ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ~ |
||
(−BesselJ(0, μak~r )BesselI(0, μk ) + BesselJ(0, μk )BesselI(0, μak~r ))
Итак, решение нашей задачи имеет вид
|
1 |
∞ |
|
Rμn (r) |
|
|
||
u(r,t) = |
|
|
∑ |
|
|
|
cos |
|
a |
2 |
2 |
2 |
|
||||
|
|
n=1 |
I0 |
(μn )J0 |
(μn ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rμn (r)
μ |
2b2t a |
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
μ2b2t a |
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
(r)dr |
+ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
a |
2 |
∫rf (r)Rμn |
2 |
2 sin |
a |
2 |
∫ |
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
μn b |
|
|
|
|
|
0 |
|||
= I0 |
(μn )J0 |
|
μ |
n |
r |
|
− J 0 |
(μn )I0 |
|
μ |
n |
r |
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||
rg(r)Rμn (r)dr ,
где μn – положительные корни уравнения
I1 (μ)J0 (μ)+ J1 (μ)I0 (μ)= 0 .
Покажем теперь, как можно найти норму собственных функций. Значение интеграла
∫a rRμn 2 (r)dr
0
может быть найдено из соотношения
∫a rRμn
0
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
d |
|
Rμ |
n |
|
|
|
dRμ |
n d |
|
1 d |
|
dRμ |
n |
|
|
1 |
|
d |
|
Rμ |
|
|
d |
|
Rμ |
n |
|
dRμ |
n |
|
d |
|
Rμ |
n |
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 (r)dr = |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
r |
|
|
− |
|
|
|
|
n |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
|
dr 2 |
|
|
|
|
dr |
|
|
dr |
|
r dr |
dr |
|
|
|
|
μ |
n |
|
|
dr |
|
|
|
dr |
|
|
dr |
|
|
|
dr 3 |
|
|
|
x=a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое принимает вид
a |
2 |
|
a6 |
d 2 Rμn |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
||
∫rRμn |
|
(r)dr = |
|
|
|
|
|
= a |
|
I0 |
(μn )J0 |
(μn ) . |
|
4 |
dr |
2 |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Указанное соотношение может быть получено с использованием уравнения, которому удовлетворяют функции. Отметим, что, например, в системе аналитических вычислений Mathematica 4 норма наших собственных функций вычисляется.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Будак Б. М. Сборник задач по математической физике / Б. М. Будак, А. А. Самарский, А. Н. Тихонов. – М. : ГИТТЛ, 1956. – 684 с.
2.Дьяконов В. Maple 7 : учебный курс / В. Дьяконов. – СПб. : Питер, 2002. – 672 с.
3.Кошляков Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. – М. : Высш. шк., 1970. – 512 с.
4.Матросов А. В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики / А. В. Матросов. – СПб. : БХВ-Петербург, 2001. – 528 с.
5.Соболев С. Л. Уравнения математической физики / С. Л. Соболев. –
М. : Наука, 1966. – 444 с.
23
Учебное издание
Быкова Мария Игоревна, Шашкина Софья Александровна
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В СИСТЕМЕ MAPLE
Учебно-методическое пособие
Редактор А.Ю. Котлярова
Компьютерная верстка О.В. Шкуратько
Подп. в печ.10.10.2012. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 1,4. Тираж 25 экз. Заказ 661.
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс): +7 (473) 259-80-26 http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru
Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. +7 (473) 220-41-33 24