Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уравнения математической физики в системе MAPLE (110

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

458.71 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА

Цилиндрические функции обладают простыми асимптотическими представлениями, удобными для аппроксимации этих функций при больших по модулю значениях z и фиксированном значении индекса v. Главные члены этих формул можно получить, исходя из дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют рассматриваемые функции. Более точные выражения можно получить исходя из интегральных представлений. Мы здесь не будем рассматривать строгий вывод асимптотических представлений, а ограничимся следующими интуитивными соображениями.

Рассмотрим уравнение Бесселя (1)

′′

′

= 0 .

+ 1 −

Сделаем подстановку

′

′′

′

3ω

z −

u =

−

2 z3

z3 +

4 z5 .

Уравнение Бесселя примет вид

−v

ω′′

+ 1 +

ω = 0 .

(17)

z 2

Если v ограничено, | z |→ ∞ , то вместо уравнения (17) можно рассмат-

ривать уравнение

ω′′+ω 0 .

Откуда

ω Acos(z) + Bsin(z) = Ceiz + De−iz

u Acos(z) + Bsin(z)

= Ceiz + De−iz

| z |→ ∞ .

Коэффициенты А, В, С, D зависят от индекса v, а также от вида рассматриваемой цилиндрической функции.

Можно получить следующие асимптотические формулы:

		2			π					1
(1)		2		i( z−(2v+1)		)				1
H v	(z) =	πz	e		4			+O							,
H v	(z) =		e		4			+O			3		2		,
									z				2
									z

		2				π					1
(2)		2		−i( z−(2v+1)			)				1					,
H v	(z) =	πz	e			4		+O
H v	(z) =		e			4		+O				3		2
									z					2
									z

при этом | z |→ ∞ , | arg z | ≤π −δ , v ограничено.

Из определения функций Ханкеля следует

Jv (z) =		H v(1) (z) + H v(2) (z)			, Yv (z) =			H v(1) (z) − H v(2) (z)								.
Jv (z) =					, Yv (z) =											.
Тогда			2										2
Тогда
			2			π				1
			2			π				1					,		(18)
Jv	(z) =		πz	cos z −(2v +1)			+O
Jv	(z) =			cos z −(2v +1)			+O				3	2
						4			z			2
									z
			2			π					1
			2			π					1
Yv (z) =			πz	sin z −(2v +1)			+O							.			(19)
Yv (z) =				sin z −(2v +1)			+O				3		2	.			(19)
						4			z				2
									z

Таким образом, если функции Ханкеля на бесконечности имеют экспоненциальный характер, то функции Jv(z) и Yv(z) на бесконечности описываются формулами (18) и (19). В частности, для вещественных z = х и v = 0

		2			π			1
J0	(x) =		cos x −
		πz			4	+O			3		.
							x			2
Далее J1 (x) = −J 0′(x) , следовательно,				нули функции J1 (x) совпадают с

экстремумами функции J0(x). Отсюда, в частности, вытекает, что уравнение J0 (x) = 0 имеет бесчисленное множество корней. На рис. 1 представлены

графики Бесселевых функций, полученные в Maple.

>р0:=

>plots[textplot]([l,l,'J[0](x),'],align={ABOVE,RIGHT});

>p1:=

>piots[textplot]([5,1,'J[1](x),'],a1ign={ABOVE,RIGHT});

>p:=piots[textplot]([23.5,0.05,'x'],align={ABOVE,RIGHT});

>pp0:=

>plot(Bessel J(0, x), x= 4.. 25, color=black, labels=[","],

>tickmarks=[10,10],legend='J[0](x)');

>pp1:=plot(BesselJ(l,x),x= 4..25,color=blue,linestyle=4,

>labels=[","],tickmarks=[10,10],legend='J[1](x)');

>plots[display]({p,р0,p1,pp0,pp1});

Рис. 1. Бесселевы функции J0 (x) , J1 (x)

На рис. 2 представлена поверхность зывает, как изменяются функции Jv (x), менные х и v.

z = f(x,v) = Jv(x), которая покаесли непрерывно изменять пере-

>Plot3d(BesselJ(nu,x),nu=0..150,x=0..25,numpoints=1200);

Рис. 2. Поверхность z = f(x,v) = Jv(x)

Для v = 0 функция J0 (x) равна единице при х									= 0. Это единственная
функция Бесселя, имеющая при х =						0 конечное значение, не равное нулю.
Для v > 0 все функции Jv (x) равны нулю при х = 0.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Пример 1. Разложить функцию						f (x) =1 −	x2	на отрезке [0, b] в ряд по
							b2

собственным функциям	yn (x) = J		α		n	x		–	п-й по величине нуль
		0				, где αn
функции J0 (x) .				b

Решение. Функции	yn (x) = J0	α		n	x
						являются собственными функциями
			b

краевой задачи (Штурма – Лиувилля):

d			dR				, 0 < r < a ,
		r		+ λrR	= 0

dr			dr
R	r =0		= O(1) , R			r =a	= 0 .

(20)

(21)

Эти функции ортогональны на отрезке [0, b]

с весом ρ(x) = x , причем,

как известно, квадрат нормы

2 b

(x)

b2 2

(αn ) .

= ∫xJ 0

Находим коэффициенты разложения

∞

f (x)

−

= ∑Cn J0

n=1

по формуле

Сn =

∫xf (x)J0

dx .

(αn )

После вычисления интеграла, стоящего в правой части последней формулы, будем иметь

Сn =	8	,
	αn 3 J1 (αn )

и, следовательно,

1 − x2 b2

∞J0 αn x

=8∑ b .

αn3 J1 (αn )n=1

Продемонстрируем, какэтотпримеррешаетсявMaple. Задаемуравнение:

>eq:=diff(x*diff(y(x),x),x)+lambda*x*y(x)=0;

	d			d 2
eq :=		y(x)					+ λxy(x) = 0
					2
			+ x			y(x)
dx			dx

Находим общее решение этого уравнения:

>res:=dsolve(eq,y(x));

res := y(x) = _ C1BesselJ (0, λx) + _ C2BesselY (0, λx)

Так как ограниченной в нуле является только функция Бесселя первого рода, то полагаем в найденном решении _С2 = 0:

>subs(_C2=0,rhs(res));

_ C1BesselJ (0, λx)

Таким образом, уравнение для определения собственных значений будет иметь вид

>eq1:=%/_Cl=0;

eq1:= BesselJ (0, λx) = 0

Пусть αn ,n =1, 2, ... — последовательные положительные корни уравнения

J0 (x) = 0 , тогда собственные значения будут		α		2
J0 (x) = 0 , тогда собственные значения будут	λn =		n , n =1, 2, .... Таким обра-
		b

зом, основноеуравнениедляопределениясобственныхзначенийприметвид

>eq1:=subs(lambda^(l/2)*x=alpha,eq1); eq1:= BesselJ (0,α) = 0

Определяем теперь собственные функции:

>Yn:=(x,n) >BesselJ(0,alpha[n]*x/b);

Yn := (x, n) → BesselJ (0, αbn x )

Сделаем проверку. Проверяем дифференциальное уравнение:

>у:='у';Yn(x,n); >simplify(subs(lambda=(alpha[n]/b)^2,y(x)=%,eq));

y := y

BesselJ (0, αbn x)

0 = 0

Проверяем граничное условие:

> subs(alpha=alpha[n],eq1);simplify(Yn(b,n),{%})=0;

BesselJ (0,αn ) = 0

0 = 0

Все в порядке.

Проверим ортогональность собственных функций на отрезке [0,b] с весом ρ(x) = x :

>assume(n,posint);assume(m,posint);

>Int(x*Yn(x,n)*Yn(x,m),x=0..b);

>intJ:=simplify(value(%));

b	α		x			α		x
∫xBesselJ (0,	α	n~	x		0,	α	m~	x
∫xBesselJ (0,		n~		)BesselJ	0,		m~	dx
0		b					b

int J := b2 (αm~ BesselJ (0,αn~ )BesselJ (1,αm~ ) −αn~ BesselJ (1,αn~ )BesselJ (0,αm~ ))

−αn~ 2 +αm~ 2

Упростим результат с учетом характеристического уравнения:

>e1:=subs(alpha=alpha[n],eq1);

>e2:=subs(alpha=alpha[m],eq1);simplify(intJ,{e1,е2});

e1:= BesselJ (0,αn~ ) = 0

e2 := BesselJ (0,αm~ ) = 0

Вычисляем норму собственных функций:

>Norma:=Int(x*Yn(x,n)^2,x=0..b);

>Norma:=simplify(value(Norma),{e1});

b		α	n~	x	2
		α		x
Norma := ∫xBesselJ 0,				dx
0			b
	15

Norma := 12 b2 BesselJ (1,αn~ )2

Приступим теперь к разложению заданной функции на отрезке [0, b]. Определим функцию в Maple:

>f:=x >l x^2/b^2;

f := x →1− x2 b2

Вычислим коэффициенты разложения:

>Cn:=Int(x*f(x)*Yn(x,n),х=0..b)/Norma;

αn~ x

Сn :=

−

BesselJ (1,αn~ )

∫x 1

BesselJ 0,

>Cn:=simplify(value(Cn),{e1});

Сn :=

BesselJ (1,αn~ )αn~

>C:=unapply(Cn,n);

С := n ~→

BesselJ (1,αn~ )αn~

И наконец, запишем формулу разложения в виде суммы первых N членов ряда:

>F:=(x,N,alpha) >sum(C(n)*Yn(x,n),n=1..N);

F := (x, N,α) → ∑C(n)Yn(x, n)

n=1

Проверим на численном примере полученный результат. Вычислим, например, первые десять корней функции Бесселя:

>N:=10;alpha:=array(1..N);

>s:=BesselJZeros(0, 1..N);evalf(s);

>seq(a1pha[i]=%[i],i=1..N);assign(%);

α1	=2.404825558, α2	= 5.520078110, α3	=8.653727913, α4	= 11.79153444,
α5	=14.93091771, α6	= 18.07106397, α7	= 21.21163663, α8	=24.35247153,
α9	=27.49347913, α10	=30.63460647

Зададим интервал разложения, например,

>b:=3;

b := 3

Построим графики функций:

>p1:=plot(f(x),x=0..b,color=black,lеgеnd='функция f(x)');

>p2:=plot(F(x,N,alpha),х=0..b,color=black,style=point,

>legend=cat('сумма при N=',convert(N,string)));

>plots[display]({p1,p2});

Пример 2. Исследовать упругие поперечные колебания круглой плиты радиуса a с закрепленным краем при произвольных начальных условиях.

u		= f (r) , ∂u	= g(r) .


	t=0	∂t	t =0
	t=0

Решение. Задача сводится к интегрированию уравнения колебаний плиты в полярных координатах

∂

∂u

1 ∂2u

= 0 , b =

, 0

≤ r < a , t > 0

∂t

ρh

r ∂r

∂r r

∂r

с заданными начальными условиями и с краевыми условиями

u		= 0 , ∂u
			= 0 .

	r=a	∂t	r=a

Здесь D – цилиндрическая жесткость плиты, ρ – плотность материала

плиты, h – толщина плиты.

Для решения задачи используем систему Maple.

> restart;with(linalg);

Задаемуравнениепоперечныхколебанийплитывполярныхкоординатах:

>eq:=collect

>(laplacian(laplacian(u(r,t),[r,phi],coords=polar),

>[r,phi],coords=polar),r)+diff(u(r,t),t,t)/b^4;

∂3

∂

∂4

∂r 3

u(r,t)

∂r

u(r,t)

∂r

(r,t)

∂t

u(r,t)

= 0

−

eq :=

∂r

u(r,t)

Задаем начальные и граничные условия:

>init_c:=u(r,0)=f(r),D[2](u)(r,0)=g(r);

init _ c := u(r,0) = f (r) , D2 (u)(r,0) = g(r)

>bound_c:=u(a,t)=O,D[1](u)(a,t)=0;

bound _ c := u(a,t) = 0 , D1 (u)(a,t) = 0 17

>ic1:=rhs(init_c[1]);ic2:=rhs(init_c[2]);dp:=rhs(eq); ic1:= f (r)

ic2 := g(r) dp := 0

Разделяем переменные в исходном уравнении:

>pde_sol:=pdsolve(eq,u(r,t),HINT=R(r)*T(t));

pde _ sol


					d 4
d 2	T (t) = −T (t)b	4	_ c1	,		R(r)

					dr 4
dt 2

⎣

:=| (u(r,t) = R(r)T (t)) & where

R(r)

R(r) r

−

R(r) r +

= R(r) _ c1 −

r 3

⎭

>eq1:=op(1,op(1,op(2,pde_sol)));

>eq2:=op(2,op(1,op(2,pde_sol)));

R(r)

R(r) r

−

R(r) r +

eq1:=

R(r) = R(r) _ c

−

dr 4

r 3

eq2 := d 2 T (t) = −T (t)b4 _ c1 dt 2

Формулируем соответствующую задачу Штурма – Лиувилля:

> eq1:=subs(_c[1]=lambda,eq1);s1:=R(a)=0;s2:=D(R)(a)=0;

R(r)

−

R(r)

r +

R(r)

eq1:=

R(r) = R(r)λ −

dr 4

r 3

s1:= R(a) = 0 s2 := D(R)(a) = 0

Решаем эту задачу. Сначала находим общее решение уравнения Штурма – Лиувилля:

>assume(lambda>0);res1:=dsolve(eq1,R(r));

res1:= R(r) = _ C1BesselJ (0, λ ~(14) r) + _ C2BesselY (0,λ ~(14) r) + _ C3BesselI (0, λ ~(14) r) + + _ C4BesselK(0, λ ~(14) r)

Выбираем ограниченное в нуле решение:

>R:=unapply(subs(_С2=0,_С4=0,rhs(res1)),г);

R := r → _ C1BesselJ (0, λ ~(14) r) + _ C3BesselI (0, λ ~(14) r)

Формируем систему пограничных уравнений и находим ее определитель:

> Sist:={s1.s2};

sist :={_ C1BesselJ (0, λ ~(14) a) + _ C3BesselI (0, λ ~(14) a) = 0 ,

−_ C1BesselJ (1, λ ~(14) a)λ ~(14) +_ C3BesselI (1, λ ~(14) a)λ(14) = 0}

>Genmatrix(sist,{_C1,_C3});

		(1 4)	a	~)λ ~	(1 4)	BesselI (1,λ ~	(1 4)	a ~)λ ~	(1 4)
− BesselJ (1, λ ~
	BesselJ (0, λ ~(1 4) a ~)					BesselI (0, λ ~(1 4) a ~)

>Delta:=det(%);

:= −BesselJ (1, λ ~(14) a ~)λ ~(14) BesselI (0,λ ~(14) a ~) − − BesselI (1, λ ~(14) a ~)λ ~(14) BesselJ (0, λ ~(14) a ~)

Пусть μk – положительные корни уравнения = 0 . Найдем соответствующие собственные функции:

>sist[1];_C3:=solve(sist[1],_C3);

_ C1BesselJ (0, λ ~(14) a) + _ C3BesselI (0, λ ~(14) a) = 0

_ C3 := −	_ C1`BesselJ (0, λ ~(1 4) a)
	BesselI (0, λ ~(1 4) a)

>simplify( R(r));

_ C1(`BesselJ (0, λ ~(14) r)BesselI (0, λ ~(14) a) + BesselJ (0, λ ~(14) a)BesselI (0, λ ~(14) r))

BesselI (0, λ ~(14) a)

>subs(lambda^(1/4)=mu[k]/a,op(2,%));

− BesselJ (0, μak r )BesselI (0, μk ) + BesselJ (0, μk )BesselI (0, μak r )

Таким образом, собственные функции и собственные значения задачи Штурма – Лиувилля есть

>ef:=unapply( %,k,r);ev:=k >(mu[k]/a)^4;

ef := (k, r) → BesselJ (0, μak r )BesselI (0, μk ) − BesselJ (0, μk )BesselI (0, μak r )

ev := k → μk 4 a4

Определим норму собственных функций:

>assume(a>0); >Norma:=int(r*ef(k,r)^2,r=0..a);

Norma := a∫~r(BesselJ (0,	μk r )BesselI (0,	μk ) − BesselJ (0,	μk )BesselI (0,	μk r ))2 dr
0	a ~			a ~

К сожалению, Maple не справился с вычислением этого интеграла. Попробуем упростить наши вычисления. Разобьем подынтегральную функцию на отдельные слагаемые и попытаемся вычислить интегралы от этих сла-

гаемых по отдельности. Выпишем характеристическое уравнение (с его помощью мы будем упрощать вычисления):

>subs(lambda^(l/4)=mu[k]/a,Delta); >q1:=simplify( %*a/mu[k])=0;

−	BesselJ (1.μk )μk BesselI (0, μk )	−	BesselI (1, μk )μk BesselJ (0, μk )
	a ~		a ~

q1:= BesselJ (1, μk )BesselI (0, μk ) + BesselI (1, μk )BesselJ (0, μk ) = 0

Раскрываем теперь выражение для квадрата собственной функции:

>z: expand(ef(k,r)^2);

z := BesselJ(0, μak~r )2 BesselI(0, μk )2 − 2BesselJ(0, μak~r )BesselI(0, μk )BesselJ(0, μk )BesselI(0, μak~r ) +

+ BesselJ(0, μk )2 BesselI(0, μak~r )2

Вычисляем интегралы от полученных трех слагаемых по отдельности:

>N1:int(r*op(1,z),r=0..a);

>N2:int(r*op(2,z),r=0..a);

>N3:int(r*op(3,z),r=0..a);

N1:=	1	a ~ 2 BesselI (0.μk )2 ( π μk			2 BesselJ (0, μk )2 +			π μk	2 BesselJ (1, μk )2 )
N1:=	2				μ	2	π
						k
N 2 := a∫~− 2rBesselJ (0,				μk r )BesselI (0, μk )BesselJ (0, μk )BesselI (0, μk r )dr
		0		a ~					a ~
N3 := −	1	Ia ~ 2	BesselJ (0.μk )2 ( π μk BesselI (0, μk )2 I −					π μk BesselI (1, μk )2 I )
N3 := −	2					μk	π

Второй интеграл опять не удалось вычислить. Упростим полученные интегралы с учетом характеристического уравнения:

>N1:=simplify(N1,{q1});

N1:= 12 BesselI(0, μk )2 a ~ 2 BesselJ(0, μk )2 + 12 a ~ 2 BesselI(1, μk )2 BesselJ(0, μk )2

>N3:=simplify(N3,{q1});

N3 :=	1	BesselI(0, μk )2 a ~2 BesselJ(0, μk )2		− 1 a ~2	BesselI(1, μk )2 BesselJ(0, μk )2
	2			2
>simplify(N1+N3,{q1});
		BesselI(0, μk )2 a ~2		BesselJ(0, μk )2
>N2:=simplify(N2/BesselI(0,mu[k])/BesselJ(0,mu[k])/2);
		N 2 := −a∫~rBesselJ (0,	μk r )BesselI (0, μk r )dr
		0	a ~		a ~

Второй интеграл по-прежнему неизвестен. Можно доказать, что этот интеграл будет равен нулю. Таким образом, норма определяется по формуле:

>Norma:=simplify(N1+N3,{q1});

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]