Пересечение геометрических тел плоскостью. Развертки наклонных поверхностей (110

Выполнить: 1) построить линию пересечения пирамиды плоскостью; 2) определить натуральную величину сечения пирамиды плоскостью; 3) построить развертку прямой пирамиды с нанесением на ней линии сечения.

Порядок выполнения:

1. Способом замены плоскостей проекций преобразуют плоскость α (AB||CD) из общего положения в частное — проецирующее, где αП4 (A4B4 ≡ C4D4) — про-

ецирующий след плоскости. В плоскости α (AB || CD) выстраивают горизонталь h плоскости и определяют проекции горизонтали h1 и h2. Новую плоскость П4 проводят перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1. В результате построений плоскость α (AB || CD) проецируется на плоскость П4 в след αΠ4 (A4B4 ≡ C4D4). Затем в плоскости П4 выстраивают проекцию пи-

рамиды.

2. След αΠ4 (A4B4 ≡ C4D4) проецирующей плоскости обладает собира-

тельным свойством. Следовательно, пересечение проецирующего следа αΠ4 (A4B4 ≡ C4D4) с ребрами пирамиды образует проекцию сечения геомет-

рического тела плоскостью — 14243444.

3. Горизонтальную (11213141) и фронтальную (12223242) проекции сечения геометрического тела плоскостью определяют из условия принадлежности точки прямой (ребру пирамиды). Таким образом, горизонтальные проекции точек (11214131) сечения пирамиды плоскостью α (AB || CD) определяют в проекционной связи с плоскости П4 на соответствующее ребро пирамиды в плоскости П1, фронтальные проекции точек (12224232) сечения определяют в проекционной связи с плоскости П1 на соответствующее ребро призмы в плоскости П2, при этом превышение проекций точек (12223242) в плоскости П2 должно соответствовать превышению проекций точек (14243444) в плоскости П4.

4. Натуральную величину сечения поверхности плоскостью в данной задаче определяют способом замены плоскостей проекций. Для этого параллельно следу плоскости αΠ4 (A4B4 ≡ C4D4) выстраивают новую плос-

кость П5.

Из проекций точек (14243444) проводят проекционные связи, вдоль которых от оси x4,5 откладывают величины равные расстоянию от оси x1,4 до горизонтальных проекций точек (11213141). Таким образом, определяют положение точек 15253545, соединяя которые отдельными прямыми линиями, получают натуральную величину сечения пирамиды плоскостью

α(AB || CD).

5.Развертку прямой пирамиды выстраивают методом треугольников (метод триангуляции) (рис. 5). Основание пирамиды (I, II, III, IV) в приведенном примере является горизонтальной плоскостью уровня и следова-

тельно проецируется на плоскость П1 в натуральную величину. Ребра пирамиды являются прямыми общего положения. Для определения натуральных величин ребер пирамиды применяют способ вращения вокруг оси

i П1 в точке S. Методом треугольников выстраивают последовательно грани пирамиды. Также методом треугольников в развертке пирамиды

11

прочерчивают основание, используя ее диагональ. Затем выстраивают точки (1,2,3,4) сечения пирамиды плоскостью, при этом превышение каждой точки берут с натуральных величин ребер пирамиды. Соединяют точки последовательно между собой отдельными прямыми линиями.

S

З а д а ч а 4

Дано: наклонная трехгранная пирамида ABCS с вершиной в точке S и плоскость общего положения α (рис. 6).

Выполнить: 1) построить линию пересечения пирамиды плоскостью; 2) определить натуральную величину сечения пирамиды плоскостью; 3) построить развертку наклонной пирамиды с нанесением на ней линии сечения.

Порядок выполнения:

1. Способом замены плоскостей проекций преобразуют плоскость α из общего положения в частное — проецирующее, где αΠ4 — проецирующий

след плоскости. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу плоскости αΠ1 выстраивают новую плоскость П4. На фронтальном следе плоскости

αΠ2 произвольно берут точку N и определяют ее проекции N2, N1 и N4. Соеди-

няя точку схода следов αx c проекцией точки N4, выстраивают след плоскости

αП4 . Затем в плоскости П4 выстраивают проекцию пирамиды (A4B4C4 S4).

2. След плоскости αΠ4 обладает собирательным свойством. Следовательно, пересечение следа αΠ4 с ребрами пирамиды образует проекцию сечения геометрического тела плоскостью — 14243444.

12

3. Горизонтальную (11214131) и фронтальную (12224232) проекции сечения геометрического тела плоскостью определяют из условия принадлежности точки прямой (ребру призмы). Таким образом, горизонтальные проекции точек (11214131) сечения пирамиды плоскостью определяют в проекционной связи с плоскостью П4 на соответствующее ребро пирамиды в плоскости П1, фронтальные проекции точек (12224232) сечения определяют в проекционной связи с плоскости П1 на соответствующее ребро призмы в плоскости П2, при этом превышение проекций точек 12 и 22 в плоскости П2 должно соответствовать превышению проекций точек 14 и 24 в плоскости П4. Точки 3 и 4 проецируются в основание пирамиды.

13

4. Натуральную величину сечения поверхности плоскостью в данной задаче определяют способом замены плоскостей проекций. Для этого параллельно следу плоскости αΠ4 выстраивают новую плоскость П5. Из проекций

точек (14243444) проводят проекционные связи, вдоль которых от оси x4,5 откладывают величины, равные расстоянию от оси x1,4 до горизонтальных проекций точек (11213141). Таким образом, определяют положение точек 15253545, соединяя которые отдельными прямыми линиями, получают натуральную величину сечения пирамиды плоскостью α.

5. Развертку наклонной пирамиды выстраивают методом треугольников (метод триангуляции) (рис. 7). Основание пирамиды ABC в приведенном примере является горизонтальной плоскостью уровня и, следовательно, проецируется на плоскость П1 в натуральную величину. Ребра пирамиды AS, BS и CS являются прямыми общего положения. Для определения натуральных величин этих ребер пирамиды применяют способ вращения вокруг оси i П1 в точке S. Методом треугольников выстраивают последовательно грани пирамиды: SAC, SCB, SBA. Также методом треугольников в развертке пирамиды прочерчивают ее основание. Затем выстраивают точки (1,2,3,4) сечения пирамиды плоскостью, при этом превышение точек 1 и 2 берут с натуральных величин ребер пирамиды, а заложение точек 3 и 4 берут с основания пирамиды в плоскости П1. Соединяют точки последовательно между собой отдельными прямыми линиями.

S

1

А

2 4 С

4

В

3 А

3

А

Рис. 7. Развертка наклонной пирамиды

14

СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЯМИОБЩЕГОПОЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЕЧЕНИЯ. РАЗВЕРТКИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Сечением тел вращения плоскостью является плоская кривая линия. При этом в зависимости от вида поверхности вращения и положения секущей плоскости сечение может принимать различные геометрические фигуры.

Построение линии пересечения тел вращения плоскостью сводится к многократному решению задачи на определение точек пересечения образующих кривой поверхности с секущей плоскостью.

Рассмотрим некоторые примеры.

2) определить натуральную величину сечения цилиндра плоскостью; 3) построитьразверткупрямогоцилиндраснанесениемнанейлиниисечения.

Порядок выполнения:

1. Способом замены плоскостей проекций преобразуют плоскость α (AB∩BC) из общего положения в частное — проецирующее, где αΠ4 (A4B4 ≡ B4C4) — проецирующий след плоскости. В плоскости α (AB ∩ BC)

отрезок AB является горизонталью h плоскости, и новую плоскость П4 проводят перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1 (A1B1). В результате построений плоскость α (AB∩BC) проецируется на плоскость П4 в след αΠ4 (A4B4 ≡ B4C4). Затем в плоскости П4 выстраивают проекцию цилиндра.

2. След αΠ4 (A4B4 ≡ B4C4) проецирующей плоскости обладает собиратель-

ным свойством. Следовательно, пересечение проецирующего следа αΠ4 (A4B4 ≡ B4C4) с поверхностью цилиндра образует проекцию сечения гео-

метрического тела плоскостью — 1424344 454.

3. Горизонтальную (1121314151) и фронтальную (1222324252) проекции сечения геометрического тела плоскостью определяют из условия принадлежности точки прямой (образующей цилиндра). Таким образом, горизонтальные проекции точек (112141314151) сечения определяют в проекционной связи с плоскостью П4 в очерке цилиндра в плоскости П1, фронтальные проекции точек (122242324252) сечения определяют в проекционной связи с плоскостью П1 на соответствующую образующую цилиндра в плоскости П2, при этом превышение каждой проекции точки берут с плоскости П4. Особое внимание следует обратить на точки E и F. Эти точки изначально задаются на образующих цилиндра и должны проецироваться на эти образующие, т. к. именно они определяют видимость сечения конуса плоскостью.

15

4. Натуральную величину сечения поверхности плоскостью в данной задаче определяют способом вращения. Ось вращения выбирают перпендикулярно плоскости П4 в точке 5 : i П4 (54). Из этой точки параллельно оси x1,4 выстраивают вспомогательную прямую, на которую разворачивают проекции точек 14 — 44, получая точки 1′42′43′44′4. Согласно способу вращения, если одна из проекций точек вращается по дуге окружности, вторая ее проекция перемещается по прямой параллельной оси x1,4. На пересечении прямых определяют точки 1′— 51, соединяя которые отдельными кривыми линиями, получают натуральную величину сечения призмы плоскостью α (AB∩BC).

5. Развертку прямого цилиндра выстраивают методом раскатки (рис. 9). Основания цилиндра в рассматриваемом примере являются горизонтальными плоскостями уровня и проецируются на горизонтальную плоскость проекций П1 в натуральную величину. Образующие цилиндра являются горизонтальнопроецирующими прямыми и проецируются на фронтальную П2 и профильную П3 плоскости проекций также в натуральную величину. Следовательно, для построения развертки данной геометрической фигуры дополнительные

16

построения не требуются. Основание цилиндра (окружность) с помощью циркуля разбивается на двенадцать равных частей (хорд). Прочерчивают две взаимно перпендикулярные прямые. На вертикальной прямой откладывают высоту цилиндра, на горизонтальной — величины, равные хордам основания, взятые с плоскости П1. Соединяя полученные отрезки по вертикали и по горизонтали между собой прямыми линиями, получают развертку прямого цилиндра. Затем прочерчивают основания развертки цилиндра (окружности) и выстраивают точки сечения цилиндра плоскостью (1, 2, 3, 4, 5), при этом превышение каждой точки берут с плоскости П2, а заложение — с плоскости П1. Соединяют точки последовательно между собой отдельными кривыми линиями.

Рис. 9. Развертка прямого кругового цилиндра

З а д а ч а 6

Дано: наклонный цилиндр и плоскость общего положения α (рис. 10). Выполнить: 1) построить линию пересечения цилиндра плоскостью;

2) определить натуральную величину сечения цилиндра плоскостью; 3) построить развертку наклонного цилиндра с нанесением на ней линии сечения.

Порядок выполнения:

1. Способом замены плоскостей проекций преобразуют плоскость α из общего положения в частное — проецирующее, где αΠ4 — проецирующий

след плоскости. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу плоско-

17

3.Горизонтальную (11213141516171) и фронтальную (12223242526272) проекции сечения геометрического тела плоскостью определяют из условия принадлежности точки прямой (образующей цилиндра), при этом превышение

проекций точек (12223242526272) в плоскости П2 должно соответствовать превышению проекций точек (14243444546474) в плоскости П4.

4.Натуральную величину сечения поверхности плоскостью в данной задаче определяют способом замены плоскостей проекций. Для этого параллельно следу плоскости αΠ4 выстраивают новую плоскость П5. Из проекций

18

точек (14243444546474) проводят проекционные связи, вдоль которых откладывают величины, равные расстоянию от оси x1,4 до горизонтальных проекций точек (11213141516171).

Рис. 11. Развертка наклонного цилиндра

Таким образом, определяют положение точек 15—75, соединяя которые отдельными кривыми линиями, получают натуральную величину сечения пирамиды плоскостью α.

5. Развертку наклонного цилиндра выстраивают методом раскатки (рис. 11). Основания цилиндра в нашем примере являются горизонтальными плоскостями уровня и проецируются на плоскость П1 в натуральную величину. Образующие наклонного цилиндра в результате преобразования чертежа проецируются на плоскость П4 в натуральную величину. В том случае, если основания и образующие цилиндра не занимают частное положение

19

относительно плоскостей проекций, необходимо определить их натуральные величины, применив любой из известных способов преобразования чертежа. В нашем примере для построения развертки данной геометрической фигуры дополнительные построения не требуются. Поэтому перпендикулярно проекциям образующих цилиндра из точек его оснований, через которые проходят образующие, проводят вспомогательные прямые, на которых откладывают отрезки, равные по величине хорде — кратчайшему расстоянию между двумя точками основания. Соединяя данные отрезки между собой плавными линиями, получают развертку наклонного цилиндра. Затем прочерчивают основания развертки цилиндра (окружности) и в проекционной связи выстраивают точки (1,2,3,4,5,6,7) сечения цилиндра плоскостью, при этом каждая точка принадлежит соответствующей образующей цилиндра. Соединяют точки последовательно между собой отдельными кривыми линиями.

З а д а ч а 7

Дано: прямой конус и плоскость общего положения α (рис. 12). Выполнить: 1) построить линию пересечения конуса плоскостью;

2) определить натуральную величину сечения конуса плоскостью; 3) построить развертку прямого конуса с нанесением на ней линии сечения.

(A5D5 ≡ C5B5) — проецирующий след плоскости. В плоскости α (AD || CB) отрезки являются фронталями f плоскости и новую плоскость П4 проводят перпендикулярно одной фронтальной проекции фронтали f2 (A2D2). В результате построений плоскость α (AD || CB) проецируется на плоскость П4 в след αΠ5 (A5D5 ≡ C5B5). Затем в плоскости П5 выстраивают проекцию конуса.

2. След αΠ5 (A5D5 ≡ C5B5) проецирующей плоскости обладает собирательным свойством. Следовательно, пересечение проецирующего следа αΠ5

(A5D5 ≡ C5B5) с поверхностью конуса образует проекцию сечения геометрического тела плоскостью — 1525354555.

3. Фронтальную (1222324252) и горизонтальную (1121314151) проекции сечения геометрического тела плоскостью определяют из условия принадлежности точки прямой (образующей конуса). Таким образом, фронтальные проекции точек (122242324252) сечения конуса плоскостью α (AD || CB) определяют в проекционной связи с плоскости П5 на соответствующую образующую конуса в плоскости П2, горизонтальные проекции точек (112141314151) сечения определяют в проекционной связи с плоскостью П2 на соответствующую образующую конуса в плоскости П1, при этом превышение проекций точек (112141314151) в плоскости П1 должно соответствовать превышению проекций точек (1525354555) в плоскости П5.

20