МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

11

a b a b ab a b Ø

Этот способ введения нового понятия называют конкретно-

индуктивным.

2. Введение понятия абстрактно-дедуктивным методом.

При введении понятий органически связанных с уже известными учащимся понятиями можно применить другой путь, называемый аб-

страктно-дедуктивным.

Так, например, понятие квадратного уравнения можно ввести следу-

ющий его термин (наибольший показатель степени неизвестного равен двум; уравнение содержит квадрат неизвестного).

12

2) Рассмотреть частные (и особые) случаи выражения этого понятия

( x2 px c 0 , ax2 c 0 , ax2 bx 0 , ax2 0 ).

Привести некоторые контрпримеры этого понятия (спросить, например, учащихся, будет ли уравнение вида bx c 0 неполным квадратным

решении текстовых задач).

Конкретно-индуктивный метод находит большее применение в младших классах; в старших классах чаще применяют абстрактнодедуктивный метод.

З а д а н и е 4 . Провести доказательство, используя один из следу-

ющих методов: метод полной индукции, метод «от противного», метод, основанный на законе контрапозиции, метод контрпримера, метод математической индукции.

1. Доказать методом полной индукции, что при любом натуральном n число n (n 1)2 (n 2) делится на 12.

Полная индукция – это метод доказательства, при котором истин-

ность утверждения общего характера следует из истинности его во всех частных случаях.

Таким образом, данное утверждение будет доказано, если мы установим его истинность для любого натурального n.

13

Д о к а з а т е л ь с т в о . Число 12 можно представить в виде 3 22 .

Для того, чтобы доказать, что число n (n 1)2 (n 2) при любом нату-

ральном n делится на 12, достаточно доказать, что оно делится на 3 и 22 .

Перепишем число n (n 1)2 (n 2) в виде n (n 1) (n 2) (n 1) . Числа

n, (n 1) , (n 2) – три непосредственно следующих одно за другим нату-

ральных числа. Поэтому одно из них обязательно делится на 3. Так как хотя бы один из множителей делится на 3, то и все произведение

n (n 1)2 (n 2) делится на 3. Если n – четное число, то n делится на 2 и

5n2 m2 (*). Так как левая часть равенства (*) делится на 5, то и правая делится на 5. То есть, m 2 делится на 5. А это значит, что m делится на 5. Поэтому m можно представить в виде 5k , где k N . Подставим получен-

ное выражение для m в равенство (*). Получим 5n2 25k 2 . Разделим обе части последнего равенства на 5. Будем иметь n2 5k 2 . Так как правая

14

часть равенства делится на 5, то и левая делится на 5. То есть, n2 делится на 5. А это значит, что n делится на 5. Мы пришли к противоречию. Так

как дробь mn несократима, ее числитель и знаменатель не могут иметь об-

щий делитель 5. Полученное противоречие с условием говорит о том, что

нами было сделано неверное предположение. Итак, 5 – иррациональное число.

3. Доказать методом «от противного», что при любом натуральном n

число вида 4n 1 не является квадратом натурального числа.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что существует а ( a N ) та-

кое, что a2 4n 1. а не кратно 4. В противном случае левая часть равенства делится на 4, а правая – нет. Значит, а нельзя представить в виде 4k , где k N . Тогда a 4k 1 или a 4k 2, или a 4k 3, где k N . Если

a 4k 1, то (4k 1)2 4n 1. 16k 2 8k 1 4n 1.

16k 2 8k 4n 2 . 4(4k 2 2k n) 2. Левая часть последнего ра-

венства делится на 4, а правая – нет. Значит, а не может равняться 4k 1.

Левая часть равенства делится на 4, а правая – нет. Значит, а не может быть равно 4k 2.

делится на 4, а правая – нет. Значит, а не может быть равно 4k 3. Сде-

ланное нами предположение привело к противоречию с заведомо истинным утверждением: из четырех непосредственно следующих друг за другом натуральных чисел одно обязательно делится на 4. Противоречие доказывает, что наше предположение неверно. Итак, не существует такого

15

натурального числа, квадрат которого равен 4n 1.

4.Доказать методом «от противного», что любой треугольник имеет хотя бы два острых угла.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что есть треугольники, у которых два или три угла не острые. В первом случае сумма двух не острых углов будет больше или равна 180º, так как каждый из них больше или равен 90º. Но это невозможно, потому что сумма всех углов треугольника равна 180º. Во втором случае сумма трех не острых углов треугольника больше или равна 270º. Это тоже невозможно. Полученные противоречия доказывают, что наше предположение неверно. Значит, любой треугольник имеет хотя бы два острых угла.

5.Доказать теорему, используя метод, основанный на законе контрапозиции.

Т е о р е м а . Если прямая, проходящая через конец радиуса, лежащий на окружности, не является касательной, то она не перпендикулярна к этому радиусу.

Р е ш е н и е . Примем эту теорему за прямую, выделим условие и заключение.

Условие теоремы: А – прямая, проходящая через конец радиуса, лежащий на окружности, не является касательной.

Заключение теоремы: В – прямая, проходящая через конец радиуса,

лежащий на окружности, не перпендикулярна к этому радиусу.

На зыке логики эту теорему можно записать следующим образом: A B . По закону контрапозиции эта теорема эквивалентна теореме обратной к противоположной, которая на языке логики записывается так:

B A . Сформулируем и докажем эту теорему.

Т е о р е м а . Если прямая, проходящая через конец радиуса, лежащий на окружности, перпендикулярна к этому радиусу, то она является ка-

сательной.

16

квадратов n первых натуральных чисел равна n (n 1) (2n 1) . 6

Р е ш е н и е . Нам нужно доказать, что для любого натурального чис-

17

ла n будет истинно равенство (*): 12 22 33 ... n2 n (n 1) (2n 1) . 6

Проведем доказательство методом математической индукции. Метод (принцип) математической индукции обычно формулируется

в школе в виде следующей теоремы.

Если какое-либо утверждение, сформулированное для натурального числа n, проверено для n 1 и из допущения его истинности для некоторого значения n k следует (может быть логически выведена) его истинность для значения n k 1, то утверждение верно для любого натураль-

ного n.

Во-первых, проверим выполнимость равенства для n 1. При n 1 равенство (*) будет иметь вид

12 1 (1 1) (2 1 1) . 6

Это равенство верно.

Во-вторых, предположим, что равенство (*) верно при n k , и, исходя из этого, попытаемся доказать, что оно верно при n k 1.

При n k равенство (*) примет вид

18

Все условия теоремы, в которой формулируется метод (принцип) математической индукции, выполнены.

Значит, формула (*) истинна для любого натурального n.

19

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. В данной теореме выделить условие, заключение и разъяснительную часть. Сформулировать утверждения: обратное для данного, противоположное для данного, обратное для противоположного. Доказать данную теорему, а также истинность или ложность каждого сформулированного утверждения.

Вариант 1

Теорема. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Вариант 2

Теорема. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.

Вариант 3

Теорема. Противоположные стороны параллелограмма равны.

Вариант 4

Теорема. Диагональ делит параллелограмм на два равных треуголь-

ника.

Вариант 5

Теорема. Если две плоскости параллельны, то существует прямая, перпендикулярная каждой из них.

Вариант 6

Теорема. Если точка, лежащая внутри неразвернутого угла, принадлежит его биссектрисе, то она равноудалена от сторон угла.

Вариант 7

Теорема. Если один из внешних углов треугольника в два раза больше угла треугольника, не смежного с ним, то треугольник – равнобедренный.

Вариант 8

Теорема. Если луч является биссектрисой внешнего угла при вер-

шине равнобедренного треугольника, то он параллелен основанию.

20