Изучение фотонных кристаллов (120

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

Н.И. Юрасов

ИЗУЧЕНИЕ ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ

Методические указания к выполнению лабораторной работы ОКФ-1

по курсу общей физики

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2011

УДК 535.442 ББК 22.31

Ю64

Рецензент А.М. Голубев

Юрасов Н.И.

Ю64 Изучение фотонных кристаллов : метод. указания к выполнению лабораторной работы ОКФ-1 по курсу общей физики / Н.И. Юрасов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 15, [1] с. : ил.

Методические указания посвящены изучению нового объекта оптики — фотонных кристаллов из искусственного опала. Фотонные кристаллы открывают новые возможности для решения различных задач в видимой области спектра и являются перспективным оптическим материалом. Исследуемые кристаллы являются объектами новой области оптоэлектроники — нанофотоники, так как их элементарная ячейка имеет поперечный размер порядка 100 нм. В ходе лабораторной работы студенты знакомятся с важными общефизическими понятиями: зона Бриллюэна, фотонная запрещенная зона (или стоп-зона), закон дисперсии, брэгговское отражение. Студенты измеряют постоянную кристаллической решетки фотонного кристалла, параметры зонной структуры.

Для студентов 2-го курса всех специальностей.

УДК 535.442 ББК 22.31

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

2

Цель работы — ознакомление с оптическими свойствами фотонного кристалла, определение постоянной его кристаллической решетки и параметров зонной структуры.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Введение

Фотонными кристаллами называются периодические структуры, имеющие параметр решетки, соизмеримый с длиной волны электромагнитного излучения, квантами которого являются фотоны. Фотонным кристаллом может быть любая среда, в которой периодически изменяются электромагнитные характеристики, такие как диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость, показатель преломления.

Обычные кристаллы, например, кристаллы металлов, полупроводников, диэлектриков, имеют параметр решетки порядка 10–10 м и поэтому являются фотонными кристаллами для рентгеновского излучения.

Длины волн видимого света заполняют диапазон (3,8…7,8) 10–7 м. Фотонными кристаллами для этого диапазона электромагнитных волн являются среды спараметром решетки порядка 10–7 м.

В области инфракрасного излучения, где длины волн составляют 7,8 10–7…10–3 м, параметр решетки фотонного кристалла ра-

вен (1…100) 10–6 м.

Для области микроволн или сверхвысоких частот (СВЧ), где длины волн заполняют диапазон (1…1000) 10–3 м, параметр ре-

3

шетки фотонного кристалла составляет (1…100) 10–3 м. Нетривиальным примером такого фотонного кристалла является активная зона атомного реактора, где внутри замедлителя, которым может быт графит или тяжелая вода, периодически расположены блоки с ураном.

Продолжая увеличивать длину волны, т. е. переходя к электромагнитным волнам с длиной 1…10 м, мы должны рассматривать фотонный кристалл с параметром решетки такого же порядка. Эта область называется областью ультракоротких волн (УКВ). В ней работают практически все небольшие радиостанции и телевизионные станции. Для радиостанций, работающих на длинах волн 10…2000 м, параметр решетки фотонного кристалла заключен в диапазоне значений 10…10 000 м, т. е. по размеру сопоставим с элементами местности.

Однако если возможно образование периодических структур размера ядер атомов или субъядерных частиц (например, кварков), то возможно существование фотонных кристаллов с постоянной решетки порядка 10–15…10–13 м и меньше. Таким образом, понятие фотонного кристалла является очень широким и охватывает огромную область различных физических объектов с периодической структурой. Это 1D-, 2D- и 3D-фотонные кристаллы, т. е. среды с периодической структурой в одном, двух и трех измерениях.

В качестве хорошо известного в оптике 1D-фотонного кристалла можно упомянуть многослойные просветляющие покрытия, а также оптические волноводы с периодической продольной модуляцией физических параметров (профиля или коэффициента преломления).

Наконец, обычные штриховые дифракционные решетки — это пример 1D-фотонных структур. По аналогии с ними фотонные кристаллы называют трехмерными дифракционными решетками. Распространение излучения в таких решетках определяется условием максимума интерференции света, рассеянного в узлах, и зависит от угла между направлением волнового вектора и осями дифракционной решетки — фотонного кристалла. Это связано с дифракцией света на периодических структурах различной размерности. При рассеянии фотонов на 1D- и 2D-фотонных кристаллах всегда находятся такие направления распространения света, для которых условие максимума интерференции выполнено. В од-

4

номерном фотоном кристалле — нити — такие направления образуют конические поверхности, а в двумерном — совокупность отдельных, изолированных друг от друга лучей. Эти направления показаны на рис. 1.

Рис. 1. Дифракция света на одномерном (а), двумерном (б) и трехмерном (в) фотонных кристаллах

Трехмерный фотонный кристалл принципиально отличается от одномерного и двумерного тем, что условие максимума интерференции для заданной волны света может оказаться невыполнимым ни для одного из направлений в пространстве. Распространениефотонов с такими длинами волн в трехмерном кристалле невозможно, а соответствующиеимэнергии фотонов образуютзапрещенныезоны.

Исторически сложилось так, что теория рассеяния фотонов на трехмерных решетках начала интенсивно развиваться для области длин волн 0,01…1 нм, лежащих в рентгеновском диапазоне, где узлами фотонного кристалла являются сами атомы. В области СВЧ кристаллические решетки для фотонов можно собирать вручную из объектов макроскопического размера, например, проволочек и теннисных шариков. Первый фотонный кристалл для работы в диапазоне СВЧ был создан Э. Яблоновичем в 1990 г. фрезерованием куска пластмассы размером в несколько сантиметров. К подобным физическимобъектамможно отнести и фазированныеантенныерешетки.

Образование запрещенной зоны в электромагнитном спектре излучения

Выделяют два типа структуры трехмерных фотонных кристаллов (рис. 2). В первом случае (рис. 2, а) в узлы решетки фотонного кристалла помещены одинаковые диэлектрические частицы, на-

5

пример шары. Такой кристалл характеризуется диэлектрической проницаемостью ε1 вне и ε2 внутри шаров, векторами решетки и радиусом шаров. Во втором случае узлы решетки диэлектрика с проницаемостью ε1 связаны друг с другом цилиндрическими колоннами (рис. 2, а) с диэлектрической проницаемостью ε2. С небольшими поправками эта классификация применима и к двумерным фотонным кристаллам. Вследствие периодичности фотонного кристалла собственные электромагнитные состояния в нем являются блоховскими волнами, для описания которых применимы такие понятия, как квазиимпульс, закон дисперсии, обратное пространство, зоны Бриллюэна и т. д.

аб

Рис. 2. Два вида структуры фотонного кристалла:

а — глобулярная; б — цилиндрическая

Имея в виду структуры фотонных кристаллов, изображенные на рис. 2, проиллюстрируем образование фотонной зонной структуры в выделенном направлении внутри кристалла. Обратимся к рис. 3, который соответствует приближению почти свободных фотонов. В нулевом приближении рассмотрим свободные фотоны в квазиоднородной среде с диэлектрической проницаемостью ε. Они имеют закон дисперсии, соответствующий сплошной прямой линии на рис. 3:

Здесь ω — круговая частота электромагнитной волны; с — скорость света в вакууме; Q — волновой вектор; ω(Q) = ω(–Q).

6

Введение модуляции диэлектрической проницаемости с периодом d приводит к появлению зоны Бриллюэна, имеющей характерный размер π/d. На краях зоны Бриллюэна закон дисперсии фотонов отклоняется от (1), как показано на рис. 3, и мало отличается от диаграммы, описывающей возникновение запрещенных зон в приближении почти свободных электронов.

Рис. 3. Закон дисперсии фотонов в периодической структуре

Однако на самом деле в дисперсии блоховских фотонов и электронов имеются принципиальные различия:

•закон дисперсии свободных фотонов (1) является линейным,

азакон дисперсии свободных нерялятивистских электронов — параболическим:

ω(Q) = =2Q2 , 2m*

где ħ — постоянная Планка; m* — эффективная масса электрона в кристалле;

• характерный размер зоны Бриллюэна фотонного кристалла π/d намного меньше размера зоны Бриллюэна электронов в полу-

7

проводниках, поскольку период решетки фотонного кристалла d ≈ с/ω для видимой области спектра более чем в 103 раз превышает постоянную атомной решетки.

Нетрудно определить характерные точки на дисперсионной кривой блоховских электромагнитных волн, показанной справа на

рис. 3. В длинноволновом пределе, т. е. при d Qcω, длина волны

света λ = с/ω по определению больше, чем любой масштаб модуляции диэлектрической проницаемости. Для такой волны среда квазиоднородна, причем ее эффективная диэлектрическая проницаемость соответствует нулевому волновому вектору (Q → 0).

Как следствие, для предельно длинных электромагнитных волн в бесконечном фотонном кристалле с диэлектрической проницаемостью

где f — относительная доля объема, занимаемого средой с проницаемостью ε1 (ср. с рис. 2), справедлив закон дисперсии (1). В приближении почти свободных фотонов, когда разность │ε1 – ε2│ мала, выражение (1) можно экстраполировать в области длин волн, где Qd ≈1. Тогда круговую частоту фотонов

соответствующую центру первой запрещенной зоны, можно получить как точку пересечения графика закона дисперсии Q =ω ε / c

из (1) с границей Q1 = π/d главной зоны Бриллюэна (см. рис. 3). При этом для длины волны света в фотонном кристалле получаем выражение

описывающее условие брэгговского рассеяния фотонов на решетке с периодом d.

На рис. 3 видно, что на краях последующих зон Бриллюэна Qn = nπ/d также образуются запрещенные зоны спектра с центрами

8

на частотах ωn = dnπcε . Запрещенную зону для выделенного на-

правленияGв кристалле, которое можно задать вектором обратной решетки b , обычно называют стоп-зоной (stop-band). Очевидно, что стоп-зоны отсутствуют при условии ε1 = ε2, могут возникать при условии ε1 ≠ ε2, а их ширина должна расти с увеличением разности │ε1 – ε2│.

Хорошо известно, что каждый вектор b перпендикулярен некоторому множествуG плоскостей прямой решетки, а его абсолют-

ная величина │b │ обратно пропорциональна расстоянию между этими плоскостями. К чему это приводит, видно на рис. 3 слева, где дисперсионные ветви, соответствующие двум разным направлениям в пространстве (условно говоря, направлениям к точкам L и X зоны Бриллюэна), приведены к одной оси квазиволнового век-

тора. Поскольку разным векторам b соответствуют различные межплоскостные расстояния в прямой решетке, при заданном законе дисперсии (1) положение и ширина стоп-зон могут существенно зависеть от направления.

Очевидно, что наличие стоп-зон является необходимым, но не достаточным условием существования полной запрещенной зоны. Последняя может возникнуть, если только стоп-зоны для всех без исключения направлений в кристалле перекрываются, при этом ширина запрещенной зоны равна ширине спектральной области перекрытия всех стоп-зон.

Зонная теория фотонных кристаллов имеет отличия от электронной зонной теории. Самое важное из этих отличий состоит в том, что при решении векторной электромагнитной задачи необходимо учитывать ограничения в образовании запрещенных зон, а именно: фотонная запрещенная зона образуется не во всех типах кристаллических решеток, но ее существование возможно в гранецентрированной кубической (ГЦК) решетке. Поскольку зона Бриллюэна ГЦК структуры наиболее близка к сферической (так как эта структура имеет наиболее плотную упаковку), в ней повышается вероятность перекрытия стоп-зон для всех направлений в кристалле. Это относится и к решетке алмаза, которая представляет собой комбинацию двух ГЦК-решеток, вдвинутых одна в другую.

9

Из анализа рис. 3 можно получить формулы для энергии ширины запрещенной зоны W и энергии ее середины W . Предполагая, что закон дисперсии для первой фотонной зоны Бриллюэна имеет обычную для идеальной кристаллической решетки форму

где =ω0 = 2=εcd — минимальная энергия, соответствующая грани-

це первой зоны Бриллюэна.

Определим значение ω0. Рассмотрим длинноволновый предел

Вывод формул (6) – (8) основан на предположении об идеальности фотонного кристалла, т. е. об отсутствии дефектов как в структуре незаполненного фотонного кристалла, так и в заполнении пор. Для реального фотонного кристалла полученные формулы есть первое приближение, и они тем более точны, чем ближе кристалл к идеальному.

Формулы (6) –(8) применяются в экспериментальной части лабораторной работы. Следует иметь в виду указанное выше ограничение применимости формул. Другое ограничение связано с использованием показателя преломления с учетом пористости согласно формуле (2), т. е. эффективного показателя преломления.

10