Вычисление объёмов тел вращения с помощью определённого интеграла

Объём тела, полученного от вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой, определяемой уравнением y=f(x)0, осью Ох и прямымиx=aиx=b, вычисляется по формуле

_b

V=y² dx (1)

^a

Объём тела, полученного от вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой, определяемой уравнением х=(у)0, осью Оу и прямыми у=с иx=d, вычисляется по формуле

_d

V=x² dy (2)

^c

Пример Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиямиy²= 4x,x=3, вокруг оси Ох.

Решение:Построим параболу у²=4х и прямую х=3.

УПределы интегрирования а=0,b=3.

A Объём тела, полученного при вращении фигуры

ОАВ вокруг оси Ох найдём по формуле (1):

X=3_{3 3}

0Х V=4xdx=4=18(куб.ед.)

^{0 0}

By²= 4x

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Несобственными интеграламипервого рода называют интегралы от ограниченных функций с одним или двумя бесконечными пределами. Несобственный интеграл от функцииf(x) в пределах отaдо +определяется равенством

_{ b}

f(x) dx = lim f(x) dx

^{a b a}

_{b b}

f(x) dx = lim f(x) dx

^{ a  a}

_{ b}

и f(x) dx = lim f(x) dx

^{ a a}

^{b}

Если предел в правой части равенства существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует или бесконечен- расходящимся.

Несобственные интегралы второго родаэто интегралы на конечном отрезке от функций, котрые терпят бесконечный разрыв.

Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точкесотрезка [a,b] и непрерывна приaxcиcxb, то по определению полагают

_{b c- b}

f(x) dx = lim f(x) dx + lim f(x) dx

^{a  a  c+}

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры.

_

1. Вычислить  dx

¹ _{ b b}

По определению  dx=limdx=lim(-) =lim(-+1)=1,

^{1 b 1 b 1 b}

т.е. искомый несобственный интеграл равен 1.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, можно убедиться, что

_

 dx

¹

является сходящимся к еслиm>1 и расходящимся, еслиm1.

Геометрический смысл этого результата состоит в том, что среди всех кривых вида y= гиперболаy= является своеобразным “порогом”.

y

y=(m1)

1 y=

1 x

_

2. Вычислить (или установить расходимость)cosxdx

⁰

По определению имеем

_{ b b}

cosx dx = lim cosx dx = lim (sinx)= lim (sinb-sin0)=lim sinb,

^{0 b 0 b 0 b b}

Последний предел не существует. Следовательно, несобственный интеграл расходится.

_

3. Найти dx

^ _{ }

Подынтегральная функция четная, поэтому dx =2dx

_{+ b} ^ _b ⁰

Тогда  dx= lim 1/(1+x²) dx= lim arctg x = lim arctg b=

⁰ _ ^{b 0 b 0 b}

Т.о., dx= сходится.

^

_

4. Найти xe^x dx.

_ ⁰ _{b b}

Имеем  xe^x dx=lim[- e^x d(-x²)]=lim[e^-x]= lim[-e^-b+]=,

^{0 b 0 0 b}

₁

5. Найти 1/x dx.

⁰

Подынтегральная функция f(x)=1/x в точкеx=0 неограничена. Поэтому:

_{1 1 1}

dx= lim  dx= lim(lnx)=lim(ln(1)-ln(a))=+

^{0 a0 a a0 a}

Несобственный интеграл расходится.