Определенный интеграл

Пусть функцияопределена на отрезке.Разделим отрезок [a,b] наnпроизвольных частей точкамиa=x₀ <x₁ <x₂ ……<x_n-1<x_n =b, выберем на каждом элементарном отрезке [x_k-1,x_k] произвольную точку_k и найдём длину каждого такого отрезка:x_k=x_k-x_k-1. Тогда интегральной суммой для функцииf(x)на отрезке [a,b] называется суммавида

Эта сумма имеет конечный предел J, если для любого, сколь угодно малого положительного числа>0 найдётся такое число>0, что как только длина наибольшего из элементарных отрезков станет меньше чем(то есть выполнится неравенствоmaxx_k<) неравенствоJ<будет выполняться при любом выборе точек_k внутри элементарных отрезков[x_k-1,x_k].

Определённым интегралом от функцииf(x)на отрезке [a,b] (или в пределах отaдоb) называется числоJ, являющееся пределом интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (maxx_k) стремится к нулю:

_{b n}

J= f(x) dx= lim  = lim f(_k ) x_k

^{a max Xk0 max Xk0 k=1}

Теорема. Если функцияf(x)непрерывна (кусочно-непрерывна) на [a,b], то предел интегральной суммы приmaxx_k0 существует и не зависит ни от способа разбиения [a,b] на элементарные отрезки, ни от выбора точек_k.

Числа aиbназываютсянижнимиверхнимпределами интегрирования.

Основные свойства определённого интеграла :

_{b а}

1.  f(x) dx = - f(x) dx

^{a b}

_a

2.  f(x) dx=0

^a

_{b c b}

3.  f(x) dx=  f(x) dx +  f(x) dx

^{a a c}

_{b b b}

4.  [f₁(x)f₂(x)]dx=  f₁(x) dx   f₂(x) dx

^{a a a}

_{b b}

5.  C f(x) dx=C f(x) dx

^{a a}

6. Оценка определённого интеграла: если mf(x)Mна [a,b], то

_b

m(b-a)< f(x) dx<M(b-a).

^a

Приемы вычисления определённого интеграла

1. Формула Ньютона-Лейбница:

_b

f(x)dx=F(b) -F(a), гдеF(x) любая первообразная дляf(x), т.е.F(x)=f(x).

^a

2. Интегрирование по частям

_{b b b}

UdV=UV-VdU, гдеU=U(x) иU=U(x) - дифференцируемые на отрезке

^{a a a}

[a,b] функции.

3. Замена переменной :

_{b }

f(x)dx=f[(t)](t)dt, гдеx=(t) - функция, непрерывная вместе со своей

^{a }

производной на отрезке t,=а,=b,f[t)] - непрерывная на [,.

_a

4. а) Если f(x) - нечетная функция, т.е. f(-x) = -f(x), тоf(x)dx=0

^-a

б) Если f(x) - четная функция, т.е.f(-x)=f(x), то f(x)dx= 2 f(x)dx

Примеры:

_{________}