Определенный интеграл

Пусть функция определена на отрезке . Разделим отрезок [a,b] на n произвольных частей точками a=x₀ <x₁ <x₂ ……<x_n-1<x_n =b, выберем на каждом элементарном отрезке [x_k-1,x_k] произвольную точку _k и найдём длину каждого такого отрезка: x_k=x_k-x_k-1. Тогда интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a,b] называется сумма вида

Эта сумма имеет конечный предел J, если для любого, сколь угодно малого положительного числа >0 найдётся такое число >0, что как только длина наибольшего из элементарных отрезков станет меньше чем  (то есть выполнится неравенство max x_k<) неравенство J< будет выполняться при любом выборе точек _k внутри элементарных отрезков[x_k-1,x_k].

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] (или в пределах от a до b) называется число J, являющееся пределом интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (max x_k) стремится к нулю:

_{b n}

J= f(x) dx= lim  = lim f(_k ) x_k

^{a max Xk0 max Xk0 k=1}

Теорема. Если функция f(x) непрерывна (кусочно-непрерывна) на [a,b], то предел интегральной суммы при max x_k 0 существует и не зависит ни от способа разбиения [a,b] на элементарные отрезки, ни от выбора точек _k.

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Основные свойства определённого интеграла :

_{b а}

1.  f(x) dx = - f(x) dx

^{a b}

_a

2.  f(x) dx=0

^a

_{b c b}

3.  f(x) dx=  f(x) dx +  f(x) dx

^{a a c}

_{b b b}

4.  [f₁(x)f₂(x)]dx=  f₁(x) dx   f₂(x) dx

^{a a a}

_{b b}

5.  C f(x) dx=C f(x) dx

^{a a}

6. Оценка определённого интеграла: если mf(x)M на [a,b], то

_b

m(b-a)< f(x) dx<M(b-a).

^a

Приемы вычисления определённого интеграла

1. Формула Ньютона-Лейбница:

_b

f(x)dx = F(b) - F(a), где F(x) любая первообразная для f(x), т.е. F(x)=f(x).

^a

2. Интегрирование по частям

_{b b b}

UdV = UV - VdU, где U=U(x) и U=U(x) - дифференцируемые на отрезке

^{a a a}

[a,b] функции.

3. Замена переменной :

_{b }

f(x)dx = f[(t)](t)dt, где x=(t) - функция, непрерывная вместе со своей

^{a }

производной на отрезке t, =а, =b, f[t)] - непрерывная на [,.

_a

4. а) Если f(x) - нечетная функция, т.е. f(-x) = -f(x), то f(x) dx=0

^-a

б) Если f(x) - четная функция, т.е. f(-x)=f(x), то f(x)dx = 2 f(x) dx

Примеры:

_{________}