ВОПРОСЫ_МСС_Ч1

Скаляры, векторы и тензоры как инвариантные объекты. Операции над векторами и тензорами. Индексная форма записи.

Преобразование координат тензора. Матрица перехода к новому реперу. Эйлеровы углы.

Операции над тензорами. Символ Кронекера. Символ Леви-Чивиты. Инварианты тензоров.

Дифференциальный оператор Гамильтона. Градиент скалярного поля. Градиент, дивергенция и ротор векторного поля. Теорема Остроградского – Гаусса.

Переход к ортогональным криволинейным координатам. Коэффициенты Ламе. Дифференциальный оператор Гамильтона в ортогональных криволинейных координатах. Цилиндрические и сферические координаты.

Конфигурация сплошной среды. Деформирование. Способы описания среды. Взаимная однозначность связи между эйлеровыми и лагранжевыми координатами. Вектор перемещения. Траектории и линии тока.

Материальный и пространственный градиенты деформации. Тензоры деформации Коши и Грина и их геометрический смысл. Тензоры конечной деформации Грина и Альманзи и их геометрический смысл.

Выражение тензоров конечной деформации Грина и Альманзи через материальный и пространственный градиенты перемещения. Тензор скоростей и тензор завихренности. Вектор завихренности. Условия движения тела как абсолютно твердого.

Тензор бесконечно малой деформации. Разложение поля скоростей частиц тела в сумму постоянной составляющей, потенциальной составляющей и скорости вращения вокруг некоторой фиксированной точки. Логарифмическая деформация и ее геометрический смысл.

Лагранжев и эйлеров тензоры скоростей конечной деформации. Тензор малой деформации. Его компоненты в декартовых прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах. Соотношения Коши (совместности деформаций). Геометрический смысл компонентов тензора малой деформации.

Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности в дивергентной форме. Несжимаемая среда. Условие несжимаемости. Уравнение неразрывности для смесей.

Внешние массовые и поверхностные силы. Вектор напряжения. Безмоментная сплошная среда. Напряженное состояние. Тензор напряжений Коши. Нормальные и касательные напряжения. Определение напряженного состояния через векторы напряжения на трех взаимно-перпендикулярных площадках. Силовые граничные условия.

Тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа. Связь между тензорами напряжений Коши и Пиолы – Кирхгофа. Главные напряжения. Нормальное и касательное октаэдрическое напряжение, их связь с инвариантами тензора напряжений и его девиатором.

Определение наибольшего касательного напряжения и ориентация соответствующей площадки.

Количество движения и момент количества движения. Закон сохранения количества движения. Уравнения движения сплошной среды в декартовых прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах. Уравнения движения в дивергентной форме. Закон сохранения момента количества движения. Симметрия тензора напряжений Коши.

Основные понятия термодинамики: термодинамическая система (открытая, закрытая, изолированная), параметры термодинамического состояния, термодинамическое равновесия (устойчивое, неустойчивое),термодинамический процесс (равновесный, неравновесный). Обратимые и необратимые процессы, диссипация энергии. Внутренние параметры термодинамического состояния, учитывающие внутреннюю структуру сплошной среды. Принципы рациональной термодинамики.

Термомеханический процесс. Внутренняя энергия. Интегральная и дифференциальная формулировки закона сохранения энергии (уравнения переноса энергии, первого закона термодинамики). Полная энергия. Дивергентная форма закона сохранения энергии.

Абсолютная температура. Энтропия и массовая плотность энтропии. Второй закон термодинамики в форме неравенства Клазиуса – Дюгема. Простой термодинамический процесс и неравенство Клазиуса – Дюгема (в том числе в дивергентной форме) для него.

Преобразование Лежандра. Термодинамические потенциалы: плотность внутренней энергии, плотность свободной энергии (по Гельмгольцу), термодинамический потенциал Гиббса. Диссипативная функция. Общее диссипативное неравенство.

Поверхности сильного и слабого разрыва. Ударные волны. Получение условий на поверхности разрыва из уравнений сохранения массы, количества движения и момента количества движения, а также второго закона термодинамики в форме неравенства Клазиуса – Дюгема. Различные подходы к построению математических моделей термодинамических процессов: среды с внутренними параметрами состояния, среды с памятью, среды скоростного типа.