Материалы по дисциплине Геометрия и алгебра (90

алгебраические и геометрические кратности собственных значений, решать вопрос о диагонализируемости оператора.

Надо знать, что такое билинейные и квадратичные формы, как они записываются в координатах, как меняются их матрицы при изменении базиса. Нужно уметь приводить квадратичную форму к каноническому виду и ответить на вопрос о её положительной определённости (или принадлежности к другим классам знаковой определённости). Знать, что такое индексы инерции, ранг и сигнатура квадратичной формы, и уметь находить эти характеристики.

По теме "Евклидовы пространства" требуется хорошо освоить процесс ортогонализации, уметь находить ортонормированный базис подпространства и решать задачи в соответствующих координатах. Уметь находить базис ортогонального дополнения к подпространству, задавать ортогональное дополнение к подпространству как в виде множества решений системы линейных однородных уравнений, так и в виде линейной оболочки данных векторов. Для данного вектора требуется уметь находить его ортогональную проекцию на данное подпространство и ортогональную составляющую, а также вычислять расстояние до этого подпространства. Для заданной в евклидовом пространстве квадратичной формы нужно уметь находить ортонормированный базис, в котором эта квадратичная форма имеет канонический вид.

7. ТЕМЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ

ТЕМА 1: "КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА"

Содержание

Определение комплексных чисел. Комплексное число как упорядоченная пара действительных чисел. Действительная и мнимая части комплексного числа. Переход к алгебраической форме. Действия в алгебраической форме, их свойства. Совокупность комплексных чисел как поле.

Сопряжённое число. Свойство операции сопряжения. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргу-

мент. Свойства модуля. Тригонометрическая форма комплексного числа, связь с алгебраической.

Умножение, деление, возведение в степень в тригонометрической форме. Извлечение корня натуральной степени в тригонометрической форме.

Корни из 1 натуральной степени, их свойства.

21

Литература

1. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры

/А.И. Кострикин. – М.: Физматлит, 2000. – 272 с.

2.Невский, М.В. Лекции по алгебре / М.В. Невский. – Ярославль, 2002.

– 265 с.

3.Невский, М.В. Лекции по дисциплине "Геометрия и алгебра". Часть 4

/М.В. Невский. – Ярославль, 2001. – 84 с.

4.Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М.: Наука, 1975. – 431 с.

5.Белов, Ю.А. Кольца, поля, многочлены / Ю.А. Белов, Л.С. Казарин. – Ярославль, 1981. – 77 с.

6.Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина. – М.: Наука,

1987. – 352 с.

7. Невский, М.В. Комплексные числа и действия с ними

/М.В. Невский. – Ярославль, 1988. 23 с.

8.Невский, М.В. Комплексные числа. Задачи / М.В. Невский. – Яро-

славль, 1988. – 24 с.

Задачи

Выполнить индивидуальную работу по сборнику [8] (по дополнительному согласованию с преподавателем, ведущим практические занятия). Уметь решать следующие задачи из задачника [6]:

6.1.1 - 6.1.11, 6.2.1 - 6.2.8, 6.2.10 - 6.2.12, 6.3.1 - 6.3.4, 6.3.6 - 6.3.8, 6.4.1 - 6.4.3 (a, б, в).

Формы контроля

Отчёты на практических занятиях. Коллоквиум или письменная работа, включающая теоретические вопросы и задачи.

ТЕМА 2: "МНОГОЧЛЕНЫ"

Содержание

Многочлены над R и над С . Действия с ними. Степень многочлена. Совокупность многочленов как кольцо.

Делимость многочленов. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком.

Наибольший общий делитель двух многочленов. Существование, единственность, свойства. Алгоритм Евклида и его обоснование.

Неприводимые многочлены. Теорема о разложении в произведение неприводимых. Неприводимые многочлены над R и над С .

22

Корень многочлена. Теорема Безу. Кратные корни и дифференцирование. Основная теорема алгебры (без доказательства). Локализация корней. Правило знаков Декарта, определение числа корней в данном интервале (без доказательств).

Постановка задачи интерполяции многочленами. Существование

иединственность интерполяционного многочлена. Формулы Лагранжа

иНьютона.

Литература

1.Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры

/А.И. Кострикин. – М.: Физматлит, 2000. – 272 с.

2.Невский, М.В. Лекции по алгебре / М.В. Невский. – Ярославль, 2002.

–265 с.

3.Невский, М.В. Лекции по дисциплине "Геометрия и алгебра".

Часть 4/ М.В. Невский. – Ярославль, 2001. – 84 с.

4.Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М.: Наука, 1975. – 431 с.

5.Белов, Ю.А. Кольца, поля, многочлены / Ю.А. Белов, Л.С. Казарин. –

Ярославль, 1981. – 77 с.

6.Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина. – М.: Наука,

1987. – 352 с.

Задачи

Уметь решать следующие задачи из задачника [6]:

7.1.1 - 7.1.8, 7.2.3, 7.2.4, 7.5.1, 7.6.1 - 7.6.3.

Формы контроля

Коллоквиум или письменная работа, включающая теоретические вопросы и задачи.

23

Структура курсовой работы

Курсовая работа включает в себя следующие структурные элементы:

-титульный лист;

-содержание;

-введение;

-основную часть;

-заключение;

-список литературы;

-приложения.

Образец титульного листа курсовой работы по дисциплине "Геометрия и алгебра" приводится в приложении 3.

В содержании даются точные наименования всех разделов работы (так, как они именуются в тексте) и указываются страницы, на которых начинаются разделы (начиная со введения и заканчивая приложениями).

Во введении даётся краткая характеристика работы в целом. Говорится о том, какой вопрос исследуется в работе, в чём цель работы, каковы исходные данные работы, то есть те библиографические источники, на которых базируется дальнейшее изложение. Описываются основные результаты работы и обязательно подчёркивается, что конкретно сделано самим студентом, в чём именно состоит его вклад и какие именно результаты являются новыми (если таковые имеются). Кроме того, во введении целесообразно описать структуру работы более полно по сравнению с содержанием. Введение составляется таким образом, чтобы неискушённый читатель мог по нему получить достаточно ясное представление о том, что же сделано в работе. Несмотря на то, что введение располагается в самом начале работы, автор настоящих методических указаний советует писать его в последнюю очередь, когда у студента будет возможность посмотреть на всю работу в целом. Эти первые 1 - 3 страницы вашей работы являются очень важными.

В основной части приводятся все результаты работы с их обоснованием и анализом. Этот раздел не именуется в тексте и содержании "Основная часть", а состоит из отдельных пунктов и, возможно, подпунктов, каждый из которых имеет своё наименование. Простейшая система деления и нумерации пунктов и подпунктов состоит в следующем: пункты 1 (введение), 2, 3 и т. д., подпункты 2.1, 2.2, 2.3 и т. д., при необходимости подподпункты 2.1.1, 2.1.2 и т. д. Например, пусть фрагмент содержания работы (после введения и до заключения) имеет вид:

25

2.Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.

2.1. Метод Лагранжа.

2. 2. Метод Якоби.

2. 3. Метод собственных значений.

3.Положительная определённость квадратичной формы.

4.Описание программ.

5.Результаты счёта.

Здесь основная часть состоит из пунктов 2 - 5, а пункт 2 дополнительно разбит на три подпункта.

В заключении кратко формулируются основные выводы работы, могут быть описаны трудности при выполнении работы, открытые вопросы и т.д.

Список литературы содержит наименования всех библиографических источников (учебников, книг, статей, диссертаций и т.д.), которые использовались при написании работы. Автор придерживается того мнения, что, с одной стороны, каждый использованный источник должен быть включён в список литературы и, с другой стороны, на каждый источник из списка должна иметься хотя бы одна ссылка в тексте работы, начиная со введения. Образец списка литературы даётся в приложении 4.

Ссылки в тексте даются в соответствии со списком литературы с использованием квадратных скобок. Они оформляются следующим образом:

"как отмечено в работе [5], см. там замечание 3"; "это утверждение доказано в [3, теорема 6]";

"по поводу свойств определителя см. [2, c. 73 - 76]";

"при написании курсовой работы существенно использовалась книга П. Нодена, К. Китте [10]";

"в этом пункте мы опишем результаты статей [3 - 6]", и т. д.

Вквадратных скобках указываются номера источников в вашем

списке.

Начиная с первых шагов в учёбе и науке, следует научиться отделять известные факты, утверждения и рассуждения от результатов, полученных лично вами. Если ссылка в тексте работы отсутствует, то это может означать, что на авторство приведённых результатов претендует автор работы. К этому следует относиться очень внимательно.

Вприложении могут быть даны тексты программ, рисунки, гра-

фики, результаты счёта, фрагменты доказательств и пр. Каждое приложение имеет свой порядковый номер: приложение 1, приложение 2 и т.д., и начинается с нового листа.

26

Оформление курсовой работы

Текст работы должен быть напечатан на одной стороне листа на белой бумаге формата A4 на принтере с использованием Microsoft Word или издательской системы TEX, через 1.5 межстрочных интервала. Размер полей (не менее): левое - 3 см, правое - 1.5 см, верхнее - 2 см, нижнее - 2.5 см. Размер шрифта - 14 или 12 пунктов. Заголовки набираются жирным шрифтом или курсивом, то же относится к наименованиям элементов текстовой математической структуры (теорема, доказательство, лемма, следствие, замечание, алгоритм и т.д.). Для удобства чтения следует избегать большого разнообразия шрифтов. Все страницы нумеруются вверху или внизу арабскими цифрами. Номер на титульном листе не ставится, следующий за ним лист имеет номер 2. Формулы следует распологать свободно, чтобы их было удобно читать. Формулы могут нумероваться двумя числами (N. M), где N - номер пункта, M - порядковый номер формулы внутри пункта. Например, формула (3.8) - это восьмая по порядку формула в третьем пункте. Номер ставится у края формулы с её правой стороны. Однако следует нумеровать лишь те формулы, на которые даются ссылки в тексте (например, "из формулы (3.8) следует, что …"). Аналогичным образом могут нумероваться теоремы, алгоритмы и т.д.

Изложение материала должно быть ясным, связным и грамматически правильным. Уже на первых курсах студенты должны научиться составлять связный математический текст. Все математические понятия, результаты, формулы должны включаться в текст по правилам

русского языка. Например, вместо записи "A : L1 → L2 " следует пред-

почесть: "Пусть A : L1 → L2 " или даже более развёрнуто: "Пусть линейный оператор A действует из пространства L1 в пространство L2 ".

Примерные темы курсовой работы по дисциплине "Геометрия и алгебра"

1.Уравнения линий и поверхностей в комплексной форме.

2.Оптические свойства линий второго порядка.

3.Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

4.Окружности Аполлония и круговое свойство дробно-линейных отображений.

5.Геометрическое место точек, равноудалённых от двух прямых.

6.Приведение уравнений поверхностей второго порядка к каноническому виду методом собственных значений.

7.Матрицы Адамара.

8.Алгоритм Штрассена и его приложения.

27

9.Числа Каталана и задача о расстановке скобок.

10.Метод рекуррентных соотношений вычисления определителя порядка n.

11.Определители из нулей и единиц.

12.Теорема Лапласа о разложении определителя.

13.Линейная и билинейная интерполяция функций двух переменных.

14.Локализация корней многочленов.

15.Круги Гершгорина.

16.Нахождение корней многочленов методом Лобачевского.

17.Многочлены Чебышёва.

18.Многочлены Лежандра.

19.Формула Ньютона для интерполяционного многочлена.

20.Линейные пространства многочленов многих переменных.

21.Линейная независимость некоторых функциональных систем.

22.Прямая сумма k линейных подпространств.

23.Проекторы и их свойства.

24.Сравнение различных методов ортогонализации.

25.Комплексное евклидово пространство.

26.Разложение С[0,1] в прямую сумму двух подпространств.

27.Линейные нормированные пространства.

28.Rn как линейное нормированное пространство.

29.Теорема Гамильтона - Кэли.

30.Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

31.Индексы инерции, ранг и сигнатура некоторых квадратичных

форм.

32.Метод собственных значений приведения квадратичной формы к каноническому виду.

33.Группы перестановок.

34.Классификация алгебраических систем.

35.Конечные кольца и поля.

36.Кватернионы Гамильтона.

37.Реализация на компьютере и сравнение различных методов решения систем линейных уравнений.

38.Реализация на компьютере и сравнение различных методов вычисления ранга матрицы.

39.Вычисление собственных значений и собственных векторов на компьютере.

40.Итерационные методы решения систем линейных уравнений.

28

9.ДИСЦИПЛИНА "ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА"

ВИТОГОВОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ АТТЕСТАЦИИ

Итоговая государственная аттестация студентов 5 курса, обучающихся на математическом факультете по специальности "Прикладная математика и информатика", включает в себя два этапа – государственный экзамен по указанной специальности и защиту выпускной квалификационной работы. В свою очередь государственный экзамен в настоящее время состоит из двух этапов – первого, письменного и второго, устного. На письменном этапе студенты выполняют работу, включающую в себя порядка 10 задач по материалам основных дисциплин за весь период обучения. На устном этапе студенты должны продемонстрировать знание основных теоретических вопросов из этих дисциплин. Программа устного экзамена содержит обширное количество вопросов (около 80) по математическому анализу, геометрии и алгебре, информатике, дифференциальным уравнениям, дискретной математике, теории вероятностей и математической статистике, уравнениям математической физики, языкам программирования и методам трансляции, методам оптимизации, методам вычислений, теории игр и исследованию операций, базам данных и экспертным системам.

В этом пункте содержится информация о той части программы государственного экзамена, которая связана с дисциплиной "Геометрия и алгебра". Сначала приводится список вопросов для устной части экзамена. Сохраняется нумерация всей программы экзамена. Затем приводятся образцы задач по этой дисциплине, предлагавшихся на письменном этапе.

Материал первой части этого пункта взят из методических указаний В.Г. Дурнева, Н.Л. Майоровой, М.В. Невского "Материалы к итоговой государственной аттестации выпускников по специальности "010200 – Прикладная математика и информатика" (Ярославский гос. ун-т. Ярославль, 2002. 52 c.).

Вопросы по дисциплине "Геометрия и алгебра" из программы для устной части государственного экзамена

18. Матрицы и действия с ними. Определитель, его свойства и вычисление. Обратная матрица и её вычисление.

19. Системы линейных уравнений, их решение методом Гаусса. Правило Крамера.

20. Векторная алгебра. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства и выражения в координатах. Вычисление площадей и объёмов с помощью определителей 2-го и 3-го порядка.

29

21. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве. Различные виды уравнений и основные задачи.

22.Линии и поверхности 2-го порядка, их канонические уравнения и свойства.

23.Группа, кольцо, поле. Основные определения и примеры.

24.Комплексные числа и действия с ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

25.Многочлены и действия с ними. Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов. Основная теорема алгебры для многочленов над полем комплексных чисел. Задача интерполяции многочленами.

26.Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность. Примеры конечномерных и бесконечномерных пространств. Изоморфизм линейных пространств.

27.Евклидовы пространства. Расстояния и углы. Ортогонализация. Ортогональное дополнение к подпространству. Вычисление ортогональной проекции и ортогональной составляющей.

28.Линейные операторы и их матрицы. Действия с операторами. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их вычисление. Диагонализируемые операторы.

29.Квадратичные формы, приведение их к каноническому виду. Закон инерции. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы.

30.Симметричные операторы в евклидовом пространстве. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом собственных значений (приведение к главным осям).

Примеры заданий из письменной части государственного экза-

мена

1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного опреатора A, определённого в пространстве многочленов с рациональными коэффициентами степени не больше 5 равенством

A(f) = 2f + 3f' - 4f'' ,

где f' – производная многочлена f.

2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного опреатора A, определённого в пространстве многочленов с рациональными коэффициентами степени не больше 5 равенством

A(f) = 3f - 2f' + 4f''' ,

где f' – производная многочлена f.

30