Материалы по дисциплине Геометрия и алгебра (90

Действия с линейными операторами. Ядро и образ, дефект и ранг оператора. Определение ранга и дефекта по матрице оператора. Обратимость и невырожденность. Изменение матрицы оператора при изменении базиса. Подобные матрицы. Инвариантные подпространства оператора. Определение, свойства и вычисление собственных значений и собственных векторов. Характеристический многочлен оператора. Собственные подпространства. Диагонализируемые операторы. Каноническая форма матрицы линейного оператора в комплексном линейном пространстве (жорданова нормальная форма матрицы).

Билинейные и квадратичные формы. Основные определения.

Матрица билинейной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методами Лагранжа и Якоби. Положительная определённость квадратичной формы, критерий Сильвестра. Закон инерции квадратичных форм. Индексы инерции, ранг и сигнатура квадратичной формы.

Евклидовы пространства. Определение и примеры. Определитель Грама. Длина и угол в евклидовом пространстве. Неравенство Коши – Буняковского и его частные виды. Ортогонализация Грама – Шмидта. Ортогональное дополнение к подпространству. Расстояние от точки до подпространства.

Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряжён-

ный оператор. Симметричные операторы и их свойства. Диагонализируемость симметричного оператора. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с использованием свойств симметричного оператора (метод собственных значений). Ортогональные операторы и их свойства. Каноническая форма матрицы ортогонального оператора.

Некоторые из тем второго семестра в настоящее время дополняются в третьем семестре. Это осуществляется в рамках дисциплины с тем же названием "Геометрия и алгебра" либо дисциплины "Курс по выбору". Результатом занятий является зачёт. Отметим здесь без полного уточнения возможные разделы программы третьего семестра.

-Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора.

-Линейные операторы в евклидовом пространстве.

-Линейное нормированное пространство.

-Норма линейного оператора.

-Итерационные методы решения систем линейных уравнений.

-Некоторые вопросы прикладной алгебры, и т. д.

11

15.Ориентация на прямой, на плоскости и в пространстве. Определение и свойства векторного произведения. Доказательство простейших свойств.

16.Дистрибутивность векторного умножения.

17.Выражение векторного произведения в декартовых координатах. Вычисление площади параллелограмма, построенного на данных векторах.

18.Определение, геометрический смысл и свойства смешанного произведения.

19.Выражение смешанного произведения в декартовых координатах. Вычисление площадей и объёмов с помощью определителей. Формула для смешанного произведения в аффинных координатах (без доказательства).

20.Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве.

21.Преобразование декартовых координат на плоскости. Сдвиг и

поворот.

22.Комплексное число как упорядоченная пара действительных чисел. Операции с комплексными числами, их свойства. Переход к алгебраической форме. Сопряжённое комплексное число, свойства сопряжения.

23.Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент, свойства модуля. Тригонометрическая форма комплексного числа, связь с алгебраической формой.

24.Действия с комплексными числами в тригонометрической форме (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

25.Различные виды уравнений линии на плоскости, поверхности

илинии в пространстве. Алгебраические и трансцендентные линии (поверхности). Независимость порядка алгебраической линии (поверхности) от выбора аффинной системы координат.

26.Различные виды уравнений прямой на плоскости: векторное, каноническое, параметрические, общее. Геометрический смысл коэффициентов уравнений. Переход от одних уравнений к другим.

27.Неполные уравнения прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Уравнение в отрезках. Угол между двумя прямыми. Параллельность и перпендикулярность двух прямых.

28.Нормальное уравнение прямой на плоскости. Отклонение точки от прямой. Расстояние от точки до прямой.

29.Различные виды уравнений плоскости: в векторной форме, параметрические, общее. Геометрический смысл коэффициентов уравнений, переход от одних уравнений к другим.

13

30.Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в от-

резках.

31.Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости, расстояние от точки до плоскости.

32.Различные виды уравнений прямой в пространстве. Геометрический смысл коэффициентов уравнений. Переход от одних уравнений

кдругим.

33.Углы между прямыми и плоскостями. Задачи на расположение точек, прямых и плоскостей.

34.Определение, каноническое уравнение и характеристики эл-

липса.

35.Исследование формы эллипса по его каноническому уравне-

нию.

36.Определение, каноническое уравнение и характеристики ги-

перболы.

37.Исследование формы гиперболы по её каноническому уравнению. Сопряжённая гипербола.

38.Определение, каноническое уравнение, характеристики и свойства параболы.

39.Директрисы линий второго порядка. Определение линии второго порядка через свойство фокуса и директрисы.

40.Собственные векторы и собственные значения действительных матриц второго порядка. Свойства собственных векторов и собственных значений симметричных матриц второго порядка.

41.Приведение квадратичной формы от двух переменных к каноническому виду методом собственных значений. Исследование поло-

жительной определённости квадратичной формы. Исследование линии с уравнением ax2 + 2bxy + cy2 = 1 .

42.Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Простейшие уравнения второго порядка и их геометрические образы.

43.Общее уравнение поверхности второго порядка. Эллипсоид. Каноническое уравнение и свойства.

44.Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение и

свойства.

45.Двуполостный гиперболоид. Каноническое уравнение и свой-

ства.

46.Эллиптический параболоид. Каноническое уравнение и свой-

ства.

47.Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение и

свойства.

14

48.Конус и цилиндры второго порядка. Канонические уравнения

исвойства.

49.Группа, кольцо, поле. Основные определения и примеры.

50.Кольцо и поле вычетов.

4. ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ВО ВТОРОМ СЕМЕСТРЕ

Изучаемые разделы: Многочлены. Определители. Линейные пространства, подпространства и ранг. Линейные операторы. Билинейные и квадратичные формы. Евклидовы пространства. Линейные операторы в евклидовом пространстве.

1.Перестановки и инверсии. Сопряжённые перестановки. Определитель порядка n .

2.Свойства определителя. Вычисление методом Гаусса.

3.Приложение определителей к анализу и решению систем линейных уравнений. Критерий определённости. Правило Крамера.

4.Миноры. Алгебраические дополнения. Вычисление определителя с нулевым углом.

5.Разложение определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа (формулировка).

6.Определитель Вандермонда и задача интерполяции многочле-

нами.

7.Теорема об определителе произведения двух матриц.

8.Обратная матрица. Теорема об обратной матрице. Способы вычисления A-1.

9.Многочлены над R и над С . Действия с ними. Кольцо много-

членов.

10.Делимость многочленов. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком.

11.НОД двух многочленов. Существование, единственность, свойства. Алгоритм Евклида и его обоснование.

12.Неприводимые многочлены. Разложение в произведение неприводимых. Неприводимые многочлены над R и над С .

13.Корень многочлена. Теорема Безу. Кратные корни и дифференцирование. Основная теорема алгебры (формулировка).

14.Существование и единственность интерполяционного многочлена. Формулы Лагранжа и Ньютона.

15

15.Определение и примеры линейных пространств. Следствия из

аксиом.

16.Линейная зависимость и независимость, их свойства.

17.Конечномерные и бесконечномерные пространства. Лемма о двух системах векторов. Максимальное число линейно независимых элементов пространства.

18.Базис, размерность, координаты. Характеризация конечномерных пространств в терминах базиса. Примеры.

19.Действия с векторами в координатах. Изоморфизм линейных пространств и его свойства. Теорема об изоморфизме. Примеры изоморфных пространств.

20.Матрица перехода от базиса к базису, её невырожденность. Изменение координат при изменении базиса.

21.Подпространства. Ранг и база системы векторов. Сумма и пересечение подпространств. Теорема о размерностях суммы и пересечения.

22.Прямая сумма подпространств. Теорема о прямой сумме.

Примеры.

23.Ранг матрицы. Теорема о ранге. Методы вычисления ранга

матрицы.

24.Применение понятия ранга к анализу систем линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли. Критерий определённости системы.

25.Размерность и базис подпространства Rn , задаваемого системой линейных однородных уравнений.

26.Определение и примеры линейных операторов и линейных функционалов в основных пространствах. Взаимно-однозначное соответствие между операторами и матрицами.

27.Матрица линейного оператора. Примеры. Применение матрицы оператора для нахождения координат образа вектора.

28.Действия с линейными операторами. Матрицы соответствующих операторов.

29.Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ранге и дефекте. Определение ранга и дефекта по матрице оператора.

30.Обратный оператор, его линейность. Обратимость и невырожденность. Другие критерии невырожденности оператора.

31.Изменение матрицы линейного оператора при изменении ба-

зиса.

32.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Простейшие свойства. Характеристический многочлен операто-

16

ра, независимость от базиса. Вычисление собственных значений и собственных векторов.

33.Собственное подпространство линейного оператора. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения, их соотношение. Прямая сумма собственных подпространств.

34.Операторы простой структуры. Критерий диагонализируемости. Понятие о жордановой нормальной форме матрицы оператора.

35.Определение и примеры евклидовых пространств. Линейная независимость ортогональной системы. Определитель Грама и его свойства.

36.Длина и угол в евклидовом пространстве. Неравенство Коши - Буняковского и его частные виды.

37.Ортогональный и ортонормированный базисы в евклидовом пространстве. Преимущества ортонормированного базиса. Ортогонализация Грама - Шмидта.

38.Ортогональное дополнение к подпространству евклидова про-

странства, его свойства. Две задачи о вычислении ортогонального дополнения в Rn.

39.Расстояние в евклидовом пространстве. Расстояние от точки до подпространства. Два способа вычисления ортогональной проекции

иортогональной составляющей.

40.Линейные операторы в евклидовых пространствах (сопряжённый, симметричный, ортогональный) и их основные свойства.

41.Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм.

42.Положительная определённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра.

5.СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература

1.Ильин, В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. –

М.: Наука,1981. – 232 с.

2.Ильин, В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М.: Наука,

1984. – 294 с.

3. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры / А.И. Кострикин. – М.: Физматлит, 2000. – 272 с.

17

4.Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра

/А.И. Кострикин. – М.: Физматлит, 2001. – 272 с.

5.Александров, П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / П.С. Александров. – М.: Наука, 1979. – 512 с.

6.Гельфанд, И.М. Лекции по линейной алгебре / И.М. Гельфанд. – М.:

Наука, 1971. – 272 с.

7.Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М.: Наука, 1975. – 431 с.

8.Невский, М.В. Лекции по дисциплине "Геометрия и алгебра". Части 1

– 2 / М.В. Невский. – Ярославль, 2001. – 112 с.

9.Невский, М.В. Лекции по дисциплине "Геометрия и алгебра". Часть 3

/М.В. Невский. – Ярославль, 2001. – 96 с.

10.Невский, М.В. Лекции по дисциплине "Геометрия и алгебра". Часть 4 / М.В. Невский. – Ярославль, 2001. – 84 с.

11.Невский, М.В. Лекции по алгебре / М.В. Невский. – Ярославль,

2002. – 265 с.

12. Проскуряков, И.В. Сборник задач по линейной алгебре

/ И.В. Проскуряков. – М.: Наука, 1974. – 384 с.

13.Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина. – М.:

Наука, 1987. – 352 с.

14. Моденов, П.С. Сборник задач по аналитической геометрии

/П.С. Моденов, А.С. Пархоменко. – М.: Наука, 1976. – 384 с.

Дополнительная литература

15.Кострикин, А.И. Введение в алгебру / А.И. Кострикин. – М.:

Наука, 1977. – 496 с.

16.Воеводин, В.В. Линейная алгебра / В.В. Воеводин. – М.: Наука,

1980. – 336 с.

17. Ефимов, Н.В. Краткий курс аналитической геометрии

/ Н.В. Ефимов. – М.: Наука, 1975. – 272 с.

18.Ноден, П. Алгебраичекая алгоритмика / П. Ноден, К. Китте. – М.:

Мир, 1999. – 720 с.

19.Акритас, А. Основы компьютерной алгебры с приложениями

/А. Акритас. – М.: Мир, 1994. – 544 с.

20.Стренг, Г. Линейная алгебра и её применения / Г. Стренг. – М.:

Мир, 1980. – 454 с.

21. Хорн, Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Мир,

1989. – 655 с.

18

22. Белов, Ю.А. Кольца, поля, многочлены / Ю.А. Белов, Л.С. Казарин. – Ярославль, 1981. – 77 с.

23.Икрамов, Х.Д. Задачник по линейной алгебре / Х.Д. Икрамов. –

М.: Наука, 1975. – 320 с.

24.Фаддеев, Д.К. Сборник задач по высшей алгебре / Д.К. Фаддеев, И.С. Соминский. – М.: Наука, 1977. – 288 с.

25.Цубербиллер, О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии / О.Н. Цубербиллер. – М.: Наука, 1970. – 336 с.

26.Невский, М.В. Упражнения к лекциям по курсу "Геометрия и алгебра". Часть 1 / М.В. Невский. – Ярославль, 1998. – 22 с.

27.Невский, М.В. Упражнения к лекциям по курсу "Геометрия и алгебра". Часть 2. Ярославль, 2001. 16 с.

28.Невский, М. В. Приведение к главным осям методом собственных значений / М.В. Невский. – Ярославль, 1997. – 21 с.

29.Невский, М.В. Линейные операторы в конечномерных пространствах. Основные понятия / М.В. Невский. – Ярославль, 1985. 29 с.

30. Невский, М.В. Комплексные числа и действия с ними

/ М.В. Невский. – Ярославль, 1988. – 23 с.

31.Невский, М.В. Комплексные числа. Задачи / М.В. Невский. – Ярославль, 1988. – 24 с.

32.Невский, М.В. Задачи по теме "Линейные операторы в конечномерных пространствах" / М.В. Невский, И.П. Иродова – Ярославль,

1997. – 20 с.

6.ТРЕБОВАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ НАВЫКАМ

ИУМЕНИЯМ СТУДЕНТОВ. ТЕМАТИКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ

Для успешной сдачи как зачёта, так и экзамена студент должен уметь решать задачи, которые соответствуют программе, приведённой в 3 и 4 пунктах. Однако нам кажется полезным дополнительно выделить тематику основных задач.

В первом семестре студент прежде всего должен хорошо освоить метод Гаусса решения систем линейных уравнений; к этой процедуре сводятся многие задачи курса. Требуется, далее, освоить простейшие операции с матрицами, умножение матриц, вычисление многочлена от матрицы.

По темам векторной алгебры нужно уметь решать задачи на линейную зависимость и независимость векторов; на основные действия с векторами, в том числе в координатах; на вычисление проекций вектора на ось и на плоскость; на скалярное, векторное и смешанное произведе-

19

ния. В частности, надо уметь определять ориентацию пар и троек векторов, находить площади параллелограммов и объёмы параллелепипедов, натянутых на векторы, по их координатам. Уметь решать задачи, связанные с делением отрезка в данном отношении.

Студент должен уметь составить равенства, связывающие координаты одной и той же точки в двух декартовых системах координат на плоскости (предполагается, что одна из них получается из другой с помощью последовательных поворота и параллельного переноса).

По темам "Прямая на плоскости", "Плоскость и прямая в пространстве" прежде всего надо освоить все виды уравнений прямой и плоскости, знать геометрический смысл коэффициентов уравнений, уметь их составлять, переходить от одних уравнений к другим. Отметим также основные задачи на взаимное расположение точек, прямых и плоскостей, задачи на вычисление проекций, расстояний и нахождение уравнений перпендикуляров. Следует обратить внимание на возможность решения этих задач с помощью компьютера.

По теме "Линии второго порядка" надо научиться составлять и использовать канонические и близкие к ним уравнения эллипса, гиперболы и параболы, определять характеристики этих линий, применять метод инвариантов для классификации линий второго порядка. Наконец, нужно освоить метод собственных значений приведения уравнения второго порядка к каноническому виду. Для этой цели надо уметь находить собственные векторы и собственные значения действительных матриц второго порядка, в том числе симметричных матриц второго порядка.

Во втором семестре метод Гаусса надо уметь применять для вычисления определителей, нахождения ранга матрицы и ранга системы векторов, вычисления обратной матрицы.

Из задач второго семестра отметим задачи на нахождение базиса и размерности конкретного подпространства линейного пространства, в частности, линейной оболочки данных векторов или подпространства решений однородной системы линейных уравнений. Нужно уметь решать задачи на определение размерностей и базисов суммы и пересечения двух подпространств.

Для данного линейного оператора требуется уметь находить его матрицу в данном базисе, знать соответствие между действиями с операторами и их матрицами. Знать, что изменение матрицы при изменении базиса описывается преобразованием подобия, и уметь применять свойства подобных матриц (например, для экономии вычислений). Требуется определять базисы и размерности ядра и образа оператора, находить собственные значения и собственные векторы,

20