Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Аналитическое решение задач оптимального проектирования элементов несущих конструкций (120

..pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
300.11 Кб
Скачать

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ления нагрузки, если задана масса, и для определения массы, если задана нагрузка;

4)определить оптимальные параметры проектируемого стержня по зависимостям, приведенным в подразд. 1.3;

5)рассчитать предельные значения нагрузок: по прочности — по формуле (39), общей устойчивости — по формуле (40), по местной устойчивости — по формуле (41). Сделать вывод о несущей способности спроектированной конструкции.

3.ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

3.1. Задача оптимального проектирования стержня из изотропного материала

при наличии ограничений

Исходные данные. Определить оптимальные параметры цилиндрического тонкостенного стержня длиной L = 1,4 м, предназначенного для восприятия сжимающей нагрузки P = 15 кН. Свойства материала: модуль упругости E = 70 ГПа, предельное напряжение при сжатии [σ] = 160 МПа, плотность ρ = 2800 кг/м3. Минимальная толщина hmin = 0,5 мм, максимальный радиус Rmax = 40 мм. Коэффициент устойчивости k = 0,2.

Ход и результаты решения. Задача оптимизации является двухмерной; искомые варьируемые параметры: толщина h и радиус R стержня;

 

1)

 

π

 

Eσ

 

=

3,14

 

2 ·70 · 10· 9

 

 

= 0,0301 м = 30,1 мм.

 

 

 

 

L

 

2[

]

 

 

1,4

 

 

 

 

160

 

 

106

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

образом, R

 

 

 

 

L

 

 

2[σ]

;

 

 

 

 

 

Таким

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

max

π

E

 

 

 

 

3

 

 

 

 

E

 

 

 

2πk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·70 · 10· 9

 

×

 

2)

 

 

2[σ]

 

2

 

 

3(1

ν2)

L =

 

2

160 106

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

23

·3(1,14− 00,,322)

 

· 1,4 = 5,69 · 10−4 м = 0,569 мм.

 

·

 

 

 

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

E

 

 

 

2πk

 

 

 

 

Таким образом, h

 

<

 

2[σ]

 

2

 

 

3(1 − ν2)

L.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Итак, решаемая задача является задачей второго типа;

 

3) G

 

 

 

= ρ

 

 

3(1 −

ν2)

 

 

 

1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

16

πkL5hmin4

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2800 ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

3

 

= 0,355 кг;

 

 

16 · 3,14 · 03,2

(1· 1,4

 

0·,325)· 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 L3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

(1

 

 

 

2)

[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G =

 

 

3 πk− ν

 

 

 

σ]

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 ·

 

 

 

 

3,14 · 0,2 · (70 · 10 )

· 1,4

 

· 2800

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0,422 кг;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

=

 

 

2πkEh2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

·

3,14

·

0,2

 

 

70

 

109

5

·

10−4

2

=

 

P

 

 

 

 

 

3(1 −

ν2) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3·

· (1·− 0,3·

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 13300

Н = 13,3 кН;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P = 4 3

 

 

 

 

 

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πk− ν

 

E] 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ·

3 14 · 0 2 ·

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

· 1,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

4 ·

 

 

(1 − 0,3

 

)

 

 

 

160 · 10

 

 

 

 

 

 

= 172000 Н = 17,2 кН.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

,

 

 

(70

 

 

 

 

 

9

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Граница предельных возможностей проектируемой конструк-

ции показана на рис. 22;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) для заданного участка справедливо равенство

 

 

 

 

G = 4P2L5ρπkE32(1 −

 

 

 

 

 

 

 

1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ν2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

4 · 150003,·14

 

 

0,·2

 

 

(70

 

·109)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0,385 кг;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

·

5

 

 

 

·

 

 

3

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,4

 

 

2800

 

 

 

 

 

 

 

 

3(1

 

 

 

0,3 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) oптимальные параметры проектируемого стержня:

 

 

 

h = 2

 

 

 

 

πkL5

ρ3

ν

 

 

 

1

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

G3

 

3(1

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 22. Граница предельных возможностей

= 2

 

3,14

 

0·,2 1·,45

28003

 

1

м = 0,531 мм;

 

= 5,31 · 10−4

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

4

 

 

1

 

0,385

3

(1

0,3 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

·

 

 

 

·

 

 

 

 

 

R =

G

1

 

=

 

 

 

0,385

 

=

 

2πLρ

 

h

 

2 · 3,14 · 1,4 · 2800 · 5,31 · 10−4

= 0,0295 м = 29,5 мм.

Полученное решение единственное;

6) предельная нагрузка по прочности

Pпр = 2π[σ]Rh = 2 · 3,14 · 160 · 106 · 0,0295 · 5,31 · 10–4 =

= 15700 Н = 15,7 кН; предельная нагрузка по общей (стержневой) устойчивости

Pуст(об) =

π3E

R3h =

3,143 · 70 · 109

·

0,02953

·

5,31

·

10−4

=

L2

 

 

1,42

 

 

 

 

= 15000 Н = 15,0 кН;

предельная нагрузка по местной (оболочечной) устойчивости

(м)

 

 

2πkE

Pуст

=

 

 

 

h2 =

 

 

 

3(1 − ν2)

= 2 · 3,14 · 0,2 · 70 · 109 · 5,31 · 10−4 2 = 15000 Н = 15,0 кН.

3(1 − 0,32)

33

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Несущая способность оптимальной конструкции определяется равноустойчивостью; по прочности имеется дополнительный запас.

3.2. Задача оптимального проектирования композитного стержня

с ортогонально армированной структурой

Исходные данные. Определить оптимальные параметры цилиндрического тонкостенного стержня длиной L = 1,4 м, предназначенного для восприятия сжимающей нагрузки P = 50 кН. Свойства однонаправленного материала: модуль упругости вдоль волокон E1 = 240 ГПа, предельное напряжение при сжатии вдоль волокон [σ] = 580 МПа, плотность ρ = 1500 кг/м3. Слои материала ориентированы вдоль оси стержня и в кольцевом направлении Коэффициент устойчивости k = 0,2.

Ход и результаты решения. Задача оптимизации является трехмерной; искомые варьируемые параметры: толщина h и радиус R стержня, а также относительная доля продольных слоев в

структуре композита ˜ ; h0

 

 

 

 

12

 

F

 

2 L3ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) G =

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kE2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

2

 

 

·

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 14 · 0 2 ·

 

 

 

 

 

· 1500

 

 

 

 

 

 

 

 

=

12 · 580

·

10

 

 

 

 

· 1,4

= 0,459

кг;

,

 

 

 

, (240

 

 

9

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

F

 

3 L2

 

 

9

 

 

580

 

 

106

3

 

1,42

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

=

3 14

 

0 2

 

 

 

 

·

9 2 = 95100 Н =

 

P =

 

 

 

 

2

 

 

 

 

,

 

·

 

,

·

 

(240

 

 

 

 

πkE

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

·

·

10 )

= 95,1 кН.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, P < P ;

2)граница предельных возможностей проектируемой конструкции показана на рис. 23;

3)нагрузка и масса на первом участке связаны зависимостью

P = 81

 

 

L5ρ3

,

 

E

 

 

3πkG3

34

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 23. Граница предельных возможностей

откуда

 

 

 

 

 

1

= 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

G = 4

3

πkEρ2

3 · 3,14 · 0·,2 · (240· · 109)2

 

=0,299 кг;

 

 

P

2L5 3

3

 

 

 

 

500002

1,45

15003

3

4) oптимальные параметры:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

,2993

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

h =

3

 

=

 

 

 

 

30·,02

 

 

 

 

=

16πkL5ρ3

16

·

3,14

·

1,45

·

15003

= 8,14 · 10–4 м = 0,814 мм;

 

 

 

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R =

 

 

1

 

3

 

3·,143

·

1500

1

= 0,0279 м = 27,9 мм.

3ρ =

 

 

 

 

 

kLG

4

 

0,2

1,4

 

0,299

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

˜

 

·

 

 

˜

 

 

 

 

 

Структурные параметры: h0

= 0,75, h90 = 0,25.

 

 

Полученное решение единственное.

Проверка: масса G = 2πLρRh = 2 · 3,14 · 1,4 · 1500 · 0,0279 ×

×8,14 · 10–4 = 0,299 кг;

5)предельная нагрузка по прочности

Pпр = 2

πFRhh˜

0

= 2

·

3,14

·

580

·

106

·

0,0279

·

8,14

·

10–4

·

0,75 =

= 61800 Н

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 61,8

кН;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

предельная нагрузка по общей (стержневой) устойчивости

 

3

3

˜

 

Pуст(об)

=

π

E1R hh0

=

 

L2

 

 

 

 

 

 

= 3,143 · 240 · 109 · 0,02793 · 8,14 · 10−4 · 0,75 =50000 Н =50,0 кН; 1,42

предельная нагрузка по местной (оболочечной) устойчивости

 

 

 

 

 

 

2πkE

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

h˜0

1 − h˜0

=

 

Pуст( ) =

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

3,14

 

0,2

 

240

 

109

·

(8,14

·

10−4)2

 

 

 

 

 

 

 

=

 

·

 

·

 

 

·

 

 

 

 

·

 

 

 

 

 

 

0,75 · (1 − 0,75) =

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

= 50000 Н = 50,0 кН.

Несущая способность оптимальной конструкции определяется равноустойчивостью; по прочности имеется дополнительный запас.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ЛИТЕРАТУРА

1.Смердов А.А. Основы оптимального проектирования композитных конструкций М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. 88 с.

2.Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. Строительная механика ракет: учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1984. 391 с.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Вводная часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1. Вывод расчетных зависимостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Основные подходы к оптимальному проектированию

 

конструкции, понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Задача оптимального проектирования стержня из

 

изотропного материала при наличии ограничений . . . . . . . .

7

1.3. Задача оптимального проектирования композитного стержня

 

с ортогонально армированной структурой . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2. Методика выполнения домашнего задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1. Задача оптимального проектирования стержня из

 

изотропного материала при наличии ограничений . . . . . . . .

28

2.2. Задача оптимального проектирования композитного стержня

 

с ортогонально армированной структурой . . . . . . . . . . . . . . .

30

3. Примеры выполнения домашнего задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.1. Задача оптимального проектирования стержня из

 

изотропного материала при наличии ограничений . . . . . . . .

31

3.2. Задача оптимального проектирования композитного стержня

 

с ортогонально армированной структурой . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Учебное издание

Смердов Андрей Анатольевич

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ НЕСУЩИХ КОНСТРУКЦИЙ

Редактор О.М. Королева Корректор Е.В. Авалова

Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 11.07.2011. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,33. Тираж 100 экз. Изд. № 76.

Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ДЛЯ ЗАМЕТОК

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]