Аналитическое решение задач оптимального проектирования элементов несущих конструкций (120

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 3. Границы области допустимых решений в соответствии с условиями (4)

условиями (4). Второе из этих условий показано на рис. 3, а, первое же с учетом формулы (13) для стержня фиксированной массы может быть записано в виде

Условие (15) показано на рис. 3, б, в отличие от рис. 3, а на этом графике при изменении массы граница допустимой области сдвигается.

Возможные варианты пересечения кривых, определяемых зависимостями (14), показаны на рис. 4.

Рис. 4. Возможные варианты области несущей способности в случае

отсутствия ограничений

11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

В первом случае (рис. 4, а) максимум несущей способности соответствует точке A — точке равноустойчивости, причем реализуется этот максимум при единственном значении толщины hA. Во втором случае (рис. 4, б) существует множество решений (зона от hC до hB), причем всем этим оптимальным решениям соответствует одно и то же значение несущей способности, равное Pпр (см. формулу (14)). Координаты указанных на рис. 4 точек A, B,

C.

Следует обратить внимание на то, что во всех случаях рост значения max Pпред невозможен без увеличения массы конструкции G, что подтверждает сделанное допущение (12).

При наличии ограничений, показанных на рис. 3, возможные конфигурации затемненных зон определяются взаимным расположением точек A, B (см. рис. 4) и точек пересечения границ, показанных на рис. 3, с кривой общей устойчивости, изображенной на рис. 2, б, т. е. взаимным расположением последовательности величин hA, hB, hR и hmin (см. рис. 3 и 4). Фактически положение максимума несущей способности в допустимой области определяется тем, какая из этих четырех величин оказывается больше остальных при текущем значении массы конструкции. Величины hA и hB вычисляются по формулам (17) и (19), hR — по формуле (16), а hmin является заданной константой.

12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

На рис. 5 показаны зависимости этих характерных толщин от массы конструкции.

Рис. 5. К определению типа текущей задачи оптимизации

Анализируя рис. 5, можно сделать следующие выводы:

1)зависимости hB(G) и hR(G) линейны, поэтому их взаимное расположение определяется только директивными параметрами задачи и остается постоянным при любом изменении массы G;

2)в случае, если hB > hR (рис. 5, а), решение задачи оптимиза-

ции определяется соотношением между величиной hmin и координатой точки пересечения кривых hA(G) и hB(G) — величиной hD; 3) в случае, если hB < hR (рис. 5, б), решение задачи оптимизации определяется соотношением между величиной hmin и координатой точки пересечения кривых hA(G) и hR(G) — величиной hF . Соотношения между величинами hB и hR, hmin и hD, hmin и hF можно выразить через директивные параметры и вычислить

до начала решения задачи. Таким образом, задача оптимального проектирования при наличии ограничений распадается на четыре типа задач:

1)hB > hR, hmin > hD;

2)hB > hR, hmin < hD;

3)hB < hR, hmin > hF ;

4)hB < hR, hmin < hF .

Задача оптимизации первого типа имеет место тогда, когда выполняются неравенства

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 8. Граница предельных возможностей в задаче оптимизации первого типа

подставить h = hmin. Во втором варианте (см. рис. 7, б) для максимальной несущей способности справедлива формула (20).

Результат решения задачи оптимизации первого типа показан на рис. 8.

Граница предельных возможностей построена в координатах требований «минимум массы — максимум несущей способности». Область под кривой (выделенной жирным на рис. 8) соответствует достижимым уровням требований к свойствам конструкции. При оптимальном проектировании связь между доступными значениями массы и предельной нагрузки соответствует границе этой области. Точки, находящиеся вне этой области, не могут быть достигнуты при проектировании. Поскольку величины Pпред и G всегда связаны взаимно однозначной зависимостью, построенный график может быть использован как в случае, когда надо спроектировать стержень заданной массы под максимальную нагрузку, так и тогда, когда задана нагрузка и нужно минимизировать массу [1].

Критическому значению массы (см. формулу (22)) соответствует нагрузка

P(1) = 2[σ]Lhmin 2E[σ]. (23)

Задача оптимизации второго типа возникает, если справедливы неравенства

15

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Для этой задачи взаимное расположение характерных толщин в зависимости от массы конструкции показано на рис. 9. При различных значениях массы возможны три варианта положения максимума несущей способности (рис. 10). Первый вариант (рис. 10, а) соответствует малым значениям массы, когда толщина hmin оказывается больше остальных характерных толщин; вто-

взаимное расположение толщин hR и hmin не имеет значения).

Рис. 10. К решению задачи оптимизации второго типа

Критические значения массы, разделяющие эти три варианта, определяются зависимостями

16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

В первом варианте (см. рис. 10, а) максимум несущей способности определяется вторым выражением из (14), в которое следует подставить h = hmin. Во втором варианте (см. рис. 10, б) массу и максимальную несущую способность связывает формула (18). В третьем варианте (см. рис. 10, в) следует использовать зависимость (20). Нагрузки, соответствующие критическим значениям массы (25) и (26), равны

Результат решения задачи оптимизации второго типа показан на рис. 11.

Рис. 11. Граница предельных возможностей в задаче оптимизации второго типа

Задача оптимизации третьего типа имеет место тогда, когда выполняются неравенства

Взаимное расположение характерных толщин в зависимости от массы конструкции показано на рис. 12. При различных массах

17

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

возможны два варианта положения максимума несущей способности (рис. 13). Первый вариант (рис. 13, а) соответствует малым значениям массы, когда толщина hmin оказывается больше остальных характерных толщин; второй вариант (рис. 13, б) реализуется при таких значениях массы, когда наибольшей из четырех толщин является hR, при этом соотношения величин hmin, hA и hB

несущественны.

Критическое значение массы, разделяющее эти варианты, равно значению массы конструкции, у которой оба варьируемых параметра равны своим предельным значениям:

(см. рис. 13, б) — этим же выражением, при условии R = Rmax (или, что то же самое, при h = hR).

Рис. 13. К решению задачи оптимизации третьего типа

Результат решения задачи оптимизации третьего типа показан на рис. 14.

18

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 14. Граница предельных возможностей в задаче оптимизации третьего типа

Критической массе (30) соответствует нагрузка

ющие эти варианты, определяются зависимостями (25) и зависимостью

19

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 16. К решению задачи оптимизации четвертого типа

В первом варианте (см. рис. 16, а) максимум несущей способности определяется вторым выражением из (14), в которое следует подставить h = hmin. Во втором варианте (см. рис. 16, б) массу и максимальную несущую способность связывает формула (16). В третьем варианте (см. рис. 16, в) опять следует использовать вторую зависимость (14), но при условии h = hR (что соответствует

R = Rmax).

Результат решения задачи оптимизации, четвертого типа показан на рис. 17.

Рис. 17. Граница предельных возможностей в задаче оптимизации четвертого типа

20