Бескоалиционные игры (110

Доказательство. Предположим, что ситуация (x, y) Z(Γ). Покажем, что ситуация (x, y) не является оптимальной по Парето в игре Γ(A, B). Пусть игра Γ(A, B) регулярна. Тогда в силу теоремы 2 имеем |Mx| = |Ny|. Вычеркнем из матриц A и B все строки, индексы которых не попадают в спектр Mx, и все столбцы, индексы которых не попадают в спектр Ny. Оче-

Пусть x = (ξi, i Mx) - вектор строка, а y = (ηj, j Ny)T - вектор-столбец. Пусть также u = (1, . . . , 1) R - вектор-строка, а uT - вектор-столбец. В силу свойства 2 имеем

i Mx : K(i, y) = K(x, y) и j Ny : K(x, j) = K(x, y).

Так как

K1(x, y) = x A y =

j=1

=αij ηj = K1(i, y), i M (в частности i Mx),

31

Таким образом, ситуация (x, y) не является оптимальной по Парето в игре Γ(A, B). При этом, мы предполагали, что исходная игра Γ(A, B) регулярна

обратимы и удовлетворяют условию (11).

В самом деле, так как игра Γ(A, B) - регулярна, то система |Mx| векторов = (αij)j Ny , где i Mx имеет максимальный аффинный ранг в R|Mx|,

33

то есть для произвольного i0 Mx система |Mx| − 1 векторов (aNi y − aNi0y ),

Зафиксируем произвольные i0 Mx, j0 Ny. Тогда для любых i Mx\{i0}

Так как векторы x = (ξi, i Mx), y = (ηj, j Ny), то получаем равенство

x˜ (aNi y − aNi0y ) = 0,

i Mx\{i0}

в левой части которого представлена нетривиальная линейная комбинация векторов (aNi y − aNi0y ), i Mx\{i0}. Следовательно, система векторов (aNi y − aNi0y ), i Mx\{i0} линейно зависима, что противоречит условию регулярности биматричной игры Γ(A, B). Аналогичные рассуждения можно провести для доказательства второго условия в (11).

Пусть Ω - множество регулярных игр таких, что при I1 X1 и I2 X2 (|I1| = |I2| > 1) сужения функций H1, H2 на I1 × I2 являются невырожденными матрицами, удовлетворяющими условию (11). Тогда множество Ω открыто и всюду плотно. Его дополнение имеет меру, равную нулю. Таким образом, утверждение теоремы справедливо почти для всех биматричных игр Γ(A, B). Теорема 3 доказана.

34

Список литературы

[1]Теория игр : Учебное пособие для студ. ун-тов, обуч. по спец. "Математика"/ Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич, Е. А. Семина.— М. : Университет : Высш. шк., 1998.— 299 с.

[2]Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин, В.Г. Суздаль; под ред. Н.Н. Воробьева .— М. : Наука, 1981.— 336 с.

[3]Теория игр с примерами из математической экономики / Мулен Э.; пер. с франц.— М. : Мир, 1985.— 200 с.

[4]Теория игр / Оуэн Г.; пер. с англ.— М. : Мир, 1971.— 232 с.

[5]Математическая теория игр и приложения / Мазалов В. В. — СПб. : Лань, 2010.— 446 с.

[6]Теория игр / Петросян Л., Зенкевич Н., Шевкопляс Е.— СПб.: БХВПетербург, 2011.— 432 с.

35