Бескоалиционные игры (110

Докажем теперь достаточность утверждения. Пусть для всех xi Xi, i = 1, . . . , n, справедливы неравенства

Ki(μ xi) Ki(μ ).

Перейдем в этих неравенствах к смешанным стратегиям. Для этого возьмём для каждого игрока i стратегию μi Xi, умножим каждое из неравенств на соответствующие μi (xi) и просуммируем по всем xi Xi. В результате имеем

Ki(μ xi) μi (xi)

xi Xi xi Xi

Ki(μ μi) Ki(μ ), для любой стратегии μi Xi,

где i = 1, . . . , n. Таким образом, в силу определения 13 ситуация μ является ситуацией равновесия в смешанных стратегиях в игре Γ. Свойство 1 доказано.

Следующее свойство позволяет найти ситуацию равновесия в смешанных стратегиях в конечной бескоалиционной игре n лиц, зная спектры всех смешанных стратегий, образующих данный исход.

Свойство 2. Пусть Γ = (N, {Xi}i N , {Hi}i N ) - конечная бескоалиционная игра n лиц и пусть μ = (μ1, . . . , μn) Z(Γ) - ситуация равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях. Тогда справедлива следующая система равенств:

Пусть хотя бы одно из этих неравенств строгое, то есть

Ki(μ x0i ) < Ki(μ ).

Заметим, что так как x0i [Xi]μi , то μi(x0i ) > 0. Переходя к смешанным стратегиям в неравенствах (3), имеем

Ki(μ ) = Ki(μi xi) μi(xi) =

Утверждение свойства 2 доказано. Очевидно, что система равенств свойства 2 может быть представлена в виде:

xi [Xi]μi

(в качестве переменных выступают вероятности, приписываемые каждой чи-

стой стратегии игрока i). Следовательно, система (4) даёт (|[Xi]μi | − 1)

i N

уравнений. Решая систему (4) относительно неизвестных μi Xi, где i = 1, . . . , n, мы можем найти ситуацию равновесия в смешанных стратегиях

μ = (μ1, . . . , μn).

Следующее свойство позволяет вычислить вполне смешанное равновесие по Нэшу в произвольной биматричной (m × n)-игре. Предположим, что (x, y) - вполне смешанная ситуация равновесия в игре Γ(A, B). Тогда система (4) представляется в виде:

Свойство 3. Пусть Γ(A, B) - биматричная (m × n) - игра и матрицы A, B - невырожденные. Если игра Γ имеет вполне смешанную ситуацию равновесия, то она единственная и вычисляется по формулам:

Обратно, если для векторов x, y Rm, определяемых вышеуказанными равенствами, справедливо x 0, y 0, то пара (x, y) образует ситуацию равновесия в смешанных стратегиях в игре Γ(A, B) с вектором равновесных выигрышей (v1, v2).

Доказательство. Пусть (x, y) - вполне смешанная ситуация равновесия по Нэшу. Тогда стратегии x, y удовлетворяют системе (5). Умножая первое равенство в системе (5) слева на A−1, а второе - справа на B−1 получаем выражения для x, y (6). Осталось найти v1, v2. Так как x uT = 1 и y uT = 1, то, умножая первое из равенств (6) справа на uT , а второе - слева на u получаем

1 = x u = v2 u B−1 uT , 1 = u y = v1 u A−1 uT

или

v1 = 1/(u A−1 uT ), v2 = 1/(u B−1 uT ).

Единственность ситуации (x, y) следует из единственности решения системы (5).

Теперь докажем обратное утверждение. Так как векторы x, y Rm определяются равенствами (6), то, подставляя в эти равенства выражения для 23

v1, v2, имеем x uT = 1 и y uT = 1. В силу полученных равенств и условия x 0, y 0 пара (x, y) является ситуацией в смешанных стратегиях в биматричной (m × n)-игре Γ(A, B).

Для того, чтобы ситуация (x, y) была равновесной по Нэщу в смешанных стратегиях в игре Γ(A, B), учитывая свойство 1, достаточно выполнения неравенств

uB−1 B

x B = u B−1 uT =

u(u B−1B) (A−1 uT )

=u (u B−1 u) (A−1 uT ) =

Задача 3. Построить множество всевозможных векторов выигрышей в смешанных стратегиях в игре «семейный спор» с матрицей:

Рис. 2: Множество всевозможных векторов выигрышей в смешанном расширении игры «Семейный спор».

Часто встречаются утверждения для случая «общего положения», то есть верные почти для всех игр.

Определение 15. Будем говорить, что некоторое свойство P выполнено почти для всех биматричных (m × n)-игр Γ(A, B), если множество

{(A, B) Rmn × Rmn| для игры Γ(A, B) не выполнено P }

имеет меру Лебега, равную нулю и содержится в некотором замкнутом подмножестве без внутренних точек пространства Rmn × Rmn.

Замечание 6. Для произвольного конечного множества I через |I| будем обозначать количество элементов, содержащихся в этом множестве.

В следующих двух теоремах сформулированы и доказаны свойства, характерные почти для всех биматричных (m × n)-игр.

Теорема 2. Пусть Γ(A, B) - биматричная (m × n) - игра. Тогда почти для всех (m × n) - игр справедливо следующее утверждение:

множество равновесий по Нэшу в смешанных стратегиях конечно и для любого равновесного по Нэшу исхода игры в смешанных стратегиях (x, y) Z(Γ) множества Mx и Ny состоят из одинакового числа элементов.

28

Доказательство. Напомним, что система из k векторов {e1, . . . , ek} пространства Rn называется аффинно независимой , если система из k − 1 векторов {e1 − ek, . . . , ek−1 − ek} линейно независима в Rn.

Рассмотрим произвольные множества I1 {1, . . . , m} и I2 {1, . . . , n}. Будем говорить, что игра регулярна, если выполнены следующие условия:

1)Для любого множества I1 система из |I1| векторов aIi2 = (αij)j I2 , где i I1, имеет максимальный аффинный ранг в R|I2|.

2)Для любого множества I2 система из |I2| векторов bIj1 = (βij)i I1 , где j I2, имеет максимальный аффинный ранг в R|I1|.

Ясно, что почти все биматричные (m × n)-игры являются регулярными в смысле сформулированных выше условий.

Пусть игра Γ(A, B) регулярна и (x, y) Z(Γ) - равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях. Если зафиксировать произвольную чистую стратегию j0 Ny, то в силу свойства 2 ситуации равновесия выполнено

j Ny : K2(x, j) = K2(x, j0),

же гиперплоскости пространства R|Mx|. Так как игра Γ(A, B) регулярна, то система из |Ny| − 1 векторов bMj x − bMj0 x , j Ny\{j0} имеет максимальный линейный ранг, равный |Ny| − 1. Так как векторы этой системы принадлежат пространству RMx , то получаем неравенство |Ny| − 1 |Mx|. Аналогично показывается справедливость неравенства |Mx| − 1 |Ny|. В результате имеем

|Ny| − 1 |Mx| |Ny| + 1.

Так как |Mx|, |Ny| - целые числа, то |Mx| = |Ny|. 29