Бескоалиционные игры (110

соответствующих элементов матрицы B. Имеем β21 = 2 < β23, β12 = 3 < β13, β33 = 0 < β32, и, следовательно, исходы (2, 1), (1, 2), (3, 3) не принадлежат множеству Z(Γ). Таким образом,

Z(Γ) = .

Определение 6. Стратегия xi Xi называется равновесной, если она входит хотя бы в одну ситуацию равновесия по Нэшу.

4.Оптимальность по Парето

В бескоалиционных играх существуют и другие принципы оптимальности, которые приводят к ситуациям, более выгодным обоим игрокам, чем в случае равновесных ситуаций. Таким принципом оптимальности является оптимальность по Парето.

Рассмотрим множество векторов {H(x)} = {(H1(x), . . . , Hn(x))}, где x

n

X, X = Xi, т. е. множество значений вектор-выигрышей игроков во всех

i=1

возможных ситуациях x X.

Определение 7. Ситуация x¯ в бескоалиционной игре Γ называется оптимальной по Парето, если не существует ситуации x X, для которой имеют место неравенства

Hi(x) Hi(¯x) для всех i N и

Hi0 (x) Hi0 (¯x) хотя бы для одного i0 N.

Множество всех ситуаций, оптимальных по Парето, будем обозначать через XP .

Содержательно это определение означает, что при отклонении одного из игроков от оптимальной по Парето ситуации, он может в некоторых случаях 11

Замечание 3. Если изобразить векторы выигрышей (αij, βij) в виде точек декартовой системы координат (H1, H2), где i {1, . . . , m}, j {1,

. . . , n}, H1, H2 - функции выигрышей первого и второго игроков соответственно, то в силу правила 2 можно утверждать, что в биматричной (m × n) - игре Γ(A, B) ситуация (i , j ) является оптимальной по Парето, если множество Li j = {(α, β)| (α αi j ) (β βi j )} не содержит ни одной точки множества всевозможных векторов выигрышей в игре Γ(A, B) кроме точки (αi j , βi j ).

Рассмотрим биматричную игру Γ(A, B) из задачи 2. Изобразим графически множество векторов выигрышей данной игры в системе координат (H1, H2).

Рис. 1: Пример графического поиска ситуаций, оптимальных по Парето.

Как видно из рисунка 1 ситуации, дающие векторы выигрышей (2, 7), (7, 0), (6, 2), являются оптимальными по Парето, то есть XP = {(2, 1), (2, 2), (3, 1)}. Действительно, множества L21, L22, L31 удовлетворяют условию оптимальности по Парето замечания 3, а, например, множество L33 содержит, кроме

(1, 1), точки (1, 5), (2, 7), (5, 2), (6, 2), (1, 5). Поэтому ситуация (3, 3) не яв13

Функция выигрыша i-го игрока в ситуации μ определяется формулой:

Ki(μ) = Hi(x) · μ(x) =

x X

=. . . Hi(x1, . . . , xn) × μ1(x1) × . . . × μn(xn),

Пусть μj - произвольная смешанная стратегия игрока j в игре Γ. Умножив

(2) на μj(xj) и просуммировав по всем xj Xj, получаем

Ki(μ xj) · μj(xj) = Ki(μ μj).

игроков, ¯ - множество смешанных стратегий игрока а функция выиг-

Xi i,

рыша определяется равенством (1), называется смешанным расширением игры Γ.

Рассмотрим смешанное расширение биматричной (m×n)-игры Γ(A, B). Множества смешанных стратегий X1, X2 первого и второго игроков принимают вид:

m

X1 = {x| x = (ξ1, ξ2, . . . , ξm) Rm; ξi 0, i = 1, m; ξi = 1},

i=1

n

X2 = {y| y = (η1, η2, . . . , ηn) Rn; ηj 0, j = 1, n; ηj = 1}.

j=1

Выигрыши игроков K1, K2 в ситуации (x, y) в смешанных стратегиях вычисляются по формулам:

K1(x, y) = x A y, K2(x, y) = x B y, x X1, y X2.

16

При исследовании смешанного расширения биматричной (m × n)-игры оказывается полезным понятие спектра смешанной стратегии.

Определение 11. Для биматричной игры Γ(A, B) множество Mx = {i| ξi > 0} (Ny = {j| ηj > 0}) называется спектром смешанной стратегии x = (ξ1, ξ2, . . . , ξm) первого игрока (y = (η1, η2, . . . , ηn) второго игрока).

В бескоалиционной игре n лиц спектр смешанной стратегии μi игрока i будем обозначать через [Xi]μi .

Определение 12. Стратегия x (y), для которой Mx = M, где M = {1, 2,

. . . , m} (Ny = N, где N = {1, 2, . . . , n}) называется вполне смешанной стратегией игрока 1 (игрока 2).

Ситуация (x, y), в которой обе стратегии x и y вполне смешанные, называется вполне смешанной. Теперь сформулируем определение ситуации равновесия для бескоалиционной игры n лиц.

Определение 13. Ситуация μ называется ситуацией равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях в игре Γ, если для любого игрока i и для любой его смешанной стратегии μi имеет место неравенство

Ki(μ μi) Ki(μ ), i = 1, . . . , n.

Рассмотрим условия существования ситуации равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях в конечной бескоалиционной игре. Начнем со случая биматричной игры.

Лемма 2. Пусть Γ(A, B) - биматричная (m × n)-игра. Тогда существуют смешанные стратегии x X и y Y игроков 1 и 2 соответственно, такие, что пара (x , y ), является ситуацией равновесия по Нэшу.

18

Данная лемма 2 может быть обобщена на случай конечной бескоалиционной игры n лиц.

Теорема 1. Любая конечная бескоалиционная игра имеет хотя бы одну ситуацию равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях.

Доказательство. Доказательство данной теоремы основано на известной теореме о неподвижной точке.

Теорема (о неподвижной точке). Пусть S - компактное выпуклое множество в Rn и ψ - многозначное отображение, переводящее точки S в компактные выпуклые подмножества S и удовлетворяющее условию: если xn S, xn → x, yn ψ(xn), yn → y, то y ψ(x).

Тогда существует такое x S, что x ψ(x ).

В силу замечания 5 имеем, что множества смешанных стратегий Xi, где i = 1, . . . , n, являются выпуклыми множествами в некоторых евклидовых пространствах. Следовательно, множество X = X1 × . . . × Xn является выпуклым множеством в декартовом произведении евклидовых пространств, которое также является евклидовым пространством. Теперь для точек μ = (μ1, . . . , μn) множества X, являющихся ситуациями в смешанных стратегиях игры Γ определим многозначное отображение f следующим образом

Из формулы 1 видно, что функции выигрышей Ki(μ) = Ki(μ1, . . . , μn) линейны по μi, где i = 1, . . . , n. Следовательно, каждая из функций Ki(μ), i = 1, . . . , n является выпуклой, а множество её максимумов выпукло и замкнуто. В результате имеем, что множества f(μ), для всех μ X являются компактными выпуклыми подмножествами X.

19

Рассмотрим теперь последовательность {μk} такую, что μk X, μk → μ0

k→∞

и последовательность {ωk} такую, что ωk f(μk), ωk → ω0. Так как ωk

k→∞

f(μk), то для любой ситуации μ = (μ1, . . . , μn) X выполняется неравенство

Ki(ωk) Ki(μk μi), для всех i = 1, . . . , n.

Так как для i = 1, . . . , n функции Ki непрерывны (в силу линейности), то вышеупомянутое неравенство выполняется и для μ0, ω0. В результате имеем ω0 f(μ0). Таким образом, выполнены все условия теоремы о неподвижной точке и существует ситуация μ = (μ1, . . . , μn) X, такая, что μ f(μ ), то есть для любой μ X

Следовательно, по определению 13 ситуация μ X является ситуацией равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях в игре Γ. Приведём свойства ситуаций равновесия, которые помогают находить решение конечной бескоалиционной игры n лиц.

Свойство 1. Для того чтобы ситуация μ = (μ1, . . . , μn) в смешанных стратегиях в игре Γ = (N, {Xi}i N , {Hi}i N ) была ситуацией равновесия по Нэшу, необходимо и достаточно, чтобы для всех чистых стратегий xi Xi игроков выполнялись следующие неравенства:

Ki(μ xi) Ki(μ ), i = 1, . . . , n.

Доказательство. Необходимость утверждения следует из того, что каждая чистая стратегия xi игрока i является частным случаем его смешанной стратегии μi, и в силу определения 13 выполнены неравенства

Ki(μ xi) Ki(μ ), для всех i = 1, . . . , n.

20