Поле на границе раздела диэлектриков.

Рассмотрим поле на плоской границе раздела (в случае неплоской границы достаточно рассмотреть малый участок).

Воспользуемся теоремой о циркуляции вектора напряжённости в интегральной форме:

.

В качестве контура интегрирования выберем прямоугольник ABCD размером Lh, расположенный таким образом, что одна его сторона DA находится в первом диэлектрике, вторая сторона BC – во втором, а граница делит прямоугольник пополам.

.

При устремлении h0 значения второго и четвёртого интегралов стремятся к нулю.

Но , где E_t – касательная составляющая вектора напряжённости.

Поэтому .

В результате получаем:

На границе раздела диэлектриков величина касательной составляющей вектора напряжённости электрического поля не меняется.

Теперь применим теорему Гаусса в веществе:

.

В качестве поверхности интегрирования выберем прямой цилиндр высотой h, основания которого (площадью S каждое) параллельны границе раздела. Пусть граница раздела делит пополам цилиндр. Тогда получим:

.

Учтем, что , где D_n – нормальная составляющая вектора смещения. Если высота цилиндра стремится к нулю: h0, то интеграл по боковой поверхности цилиндра стремится к нулю, поэтому

.

В пределе, получаем:

.

Изменение величины нормальной составляющей вектора смещения на границе раздела диэлектриков равно плотности стороннего заряда на границе.

Если на границе нет сторонних зарядов (=0), то нормальная составляющая вектора смещения не меняется: .

Если рассмотреть теорему Гаусса для вектора поляризованности в интегральной форме:

,

то можно, по аналогии, записать:

.

Изменение величины нормальной составляющей вектора поляризованности на границе раздела диэлектриков равно с обратным знаком поверхностной плотности связанного заряда.

Соотношения на границе раздела диэлектриков (при отсутствии сторонних зарядов) можно переписать в виде: , . Если ввести угол отклонения силовой линии от нормали к границе раздела: , то для углов по разные стороны от границы получим:

.

При ₂ > ₁ получаем ₂ > ₁ – в диэлектрике с большей относительной проницаемостью силовые линии больше отклоняются от вертикального направления.

Т.е. в диэлектрике силовые линии электрического поля сгущаются. Говорят, что диэлектрик «накапливает силовые линии».