4. Нелинейные зависимости

Как проводить анализ данных, если функция спроса не является линейной? Есть два подхода – параметрический и непараметрический.

В первом случае подбираем подходящее семейство функций и по результатам измерения (опроса) оцениваем параметры. Пример: степенное семейство:

D(p) = cp^.

При этом полезно преобразование переменных, приводящее задачу к линейному виду. В случае степенного семейства необходимо прологарифмировать обе части последнего равенства. Тогда получим:

ln D(p) = ln c + ln p.

Затем обозначим:

У= ln D(p), X = ln p, b =ln c.

Исходя из введенных обозначений, имеем линейное уравнение:

Y= b+X

Задача оценивания параметров степенной зависимости сведена к ранее рассмотренной задаче оценивания параметров линейной функции с помощью метода наименьших квадратов. Оценки параметров α^* и b^*:

;

b* =Y_cp – X_ср..

Тогда восстановленная линейная функция имеет вид:

Y = α*X + b^*

Зная, что b =ln c, находим параметр c^":

c^* = e^b*

Тогда восстановленная степенная зависимость имеет вид:

D**(p) = c^*p^α*

Для начала необходимо составить таблицу исходных данных – пар чисел (X = ln p, Y = ln D(p)) также в порядке возрастания значений параметра X (табл. 5 на следующей странице). Далее рассчитаем прогностическую степенную функцию. При этом следует учесть, что мы берем сгруппированные данные. Тогда формулы, необходимые для вычисления прогностической функции необходимо домножить на частоту повторений N_i.

Оценивание функции спроса методом степенной аппроксимации Таблица 5.

i	Цена Xi=ln(pi)	Ni	Xi Ni	Спрос Y(Xi)= lnD(pi)	Y(Xi)Ni	Xi2Ni	Y(Xi)XiNi
1	4,50	3	13,5	3,91	11,73	60,74	52,81
2	4,60	4	18,4	3,85	15,4	84,83	70,92
3	4,79	3	14,37	3,76	11,28	68,76	54,02
4	5,01	7	35,07	3,69	25,83	175,75	129,39
5	5,14	3	15,42	3,50	10,5	79,13	53,87
6	5,30	13	68,9	3,40	44,2	364,94	234,27
7	5,52	6	33,12	2,83	16,98	182,92	93,86
8	5,67	2	11,34	2,40	4,8	64,30	27,19
9	5,70	5	28,5	2,20	11	162,67	62,66
10	5,99	2	11,98	1,39	2,78	71,80	16,61
11	6,21	2	12,42	0,69	1,38	77,24	8,62
		50	263,04		155,89	1393,07	804,22
			5,26		3,12

Примечание. Здесь n = 50 – число ответов участников опроса.

Перейдем к расчету восстановленной функции спроса:

Y^*(X_i) = α*X + b*

Необходимо найти оценки параметров α* и b*:

= (804,22-(1/50)*263,04*155,89)/(1393,07-50*5,26²)= - 1,72

d* = = 3,12;

b* = d* - α*p_ср.= 3,12 – (- 1,72)*5,26 = 12,16.

Допустим, получили выражение:

у^* = (- 1,72)x + 12,16,

тогда, подставляя выражение исходных величин через логарифмы, получим

ln D^*(p) = (-1,72) ln p + 12,16.

Далее проводим потенцирование выражения:

e^{ln D(p)} = e^{-1,72ln p +12,16} = e^{- 1,72ln p} e^12,16 = e^12,16 (e^{ln p})^-1,72=190291,21p^{- 1,72},

т.е.

D^**(p) = 190291,21p^{- 1,72}.