3. Обработка данных опроса с помощью метода наименьших квадратов

Теперь перейдем к обработке данных опроса с помощью метода наименьших квадратов. Для начала необходимо составить таблицу исходных данных – пар чисел (p, D(p)) также в порядке возрастания значений параметра p. На основе приведенных данных рассчитаем прогностическую функцию и оптимальную цену при различных уровнях издержек.

Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов (линейная аппроксимация)

Таблица 3.

i	Цена pi	Ni	pi Ni	Спрос D(pi)	D(pi)Ni	Pi2Ni	D(pi)piNi	D*(pi)	Ni[D(pi) – D*(pi)]	Ni[D(pi)-D*(pi)]2
1	90	3	270	50	150	24300	13500	45,69	12,93	55,77
2	100	4	400	47	188	40000	18800	44,26	10,96	30,04
3	120	3	360	43	129	43200	15480	41,40	4,80	7,67
4	150	7	1050	40	280	157500	42000	37,11	20,20	58,29
5	170	3	510	33	99	86700	16830	34,26	-3,77	4,73
6	200	13	2600	30	390	520000	78000	29,97	0,40	0,01
7	250	6	1500	17	102	375000	25500	22,82	-34,94	203,51
8	290	2	580	11	22	168200	6380	17,11	-12,22	74,61
9	300	5	1500	9	45	450000	13500	15,68	-33,39	223,03
10	400	2	800	4	8	320000	3200	1,39	5,22	13,64
11	500	2	1000	2	4	500000	2000	-12,90	29,80	444,13
		50	10570		1417	2684900	235190		-0,00000000000029842795	1115,44
			211,4		28,34					SS

Примечание. Здесь n = 50 – число ответов участников опроса.

Перейдем к расчету восстановленной функции спроса:

D^*(p_i) = a*p + b*.

Необходимо найти оценки параметров a* и b*:

=(235190-(1/50)*10570*1417)/(2684900-50*211,4²)=-0,14

b* =(D_i(p) N_i)_cp - a*p_ср.= 28,34– (- 0,14)* 211,4= 58,55.

Таким образом, восстановленная функция спроса имеет вид:

D*(p) = (- 0,14)p + 58,55.

Из табл.3 видно, что остаточная сумма квадратов SS = 1115,44. Исходя из этого, найдем оценку среднего к вадратического отклонения:

= (1115,44/50)^(1/2) = 4,72

Затем найдем доверительные границы для функции спроса:

D^*(p)_{верхн.\нижн.} =a*p+*±U(γ)σ* = (-0,14)p + 58,551,96 =

= (-0,14)p + 58,551,96*4,72(1/n + (p-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 =

= (-0,14)p + 58,551,96*4,72 (1/50 + (p-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 .

при p = 90

D^*(90) _верхн. = (-0,14)90 + 58,55 ₊1,96*4,72 ((1/50) + (90-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 45,95+2,12= 48,07;

D^*(90)_нижн. = (-0,14)90 + 58,55 _-1,96*4,72 (( 1/50) + (90-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 45,95-2,12= 43,83;

при p = 100

D^*(100) _верхн. = (-0,14)100 + 58,55 ₊1,96*4,72 ((1/50) + (100-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 44,55+2,02= 46,57;

D^*(100)_нижн. = (-0,14)100 + 58,55 _-1,96*4,72 (( 1/50) + (100-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 44,55-2,02= 42,53;

при p = 120

D^*(120) _верхн. = (-0,14)120 + 58,55 ₊1,96*4,72 ((1/50) + (120-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 41,75+1,81= 43,57;

D^*(120)_нижн. = (-0,14)120 + 58,55 _-1,96*4,72 (( 1/50) + (120-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 41,75-1,81= 39,95;

при p = 150

D^*(150) _верхн. = (-0,14)150 + 58,55 ₊1,96*4,72 ((1/50) + (150-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 37,55+1,57= 39,11;

D^*(150)_нижн. = (-0,14)150 + 58,55 _-1,96*4,72 (( 1/50) + (150-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 37,55-1,57= 35,97;

при p = 170

D^*(170) _верхн. = (-0,14)170 + 58,55 ₊1,96*4,72 ((1/50) + (170-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 34,75+1,43= 36,18;

D^*(170)_нижн. = (-0,14)170 + 58,55 _-1,96*4,72 (( 1/50) + (170-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 34,75-1,43= 33,32;

при p = 200

D^*(200) _верхн. = (-0,14)200 + 58,55 ₊1,96*4,72 ((1/50) + (200-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 30,55+0,14=30,69 ;

D^*(200)_нижн. = (-0,14)200 + 58,55 _-1,96*4,72 (( 1/50) + (200-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 30,55-0,14= 30,41;

при p = 250

D^*(250) _верхн. = (-0,14)250 + 58,55 ₊1,96*4,72 (1/50 + (250-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 23,55+1,41= 24,96;

D^*(250)_нижн. = (-0,14)250 + 58,55 _-1,96*4,72 (1/50 + (250-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 23,55-1,41= 22,14;

при p = 290

D^*(290) _верхн. = (-0,14)290 + 58,55 ₊1,96*4,72 ((1/50) + (290-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 17,95+1,69= 19,65;

D^*(290)_нижн. = (-0,14)290 + 58,55 _-1,96*4,72 (( 1/50) + (290-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 17,95-1,69= 16,26;

при p = 300

D^*(300) _верхн. = (-0,14)300 + 58,55 ₊1,96*4,72 ((1/50) + (300-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 16,55+1,79= 18,34;

D^*(300)_нижн. = (-0,14)300 + 58,55 _-1,96*4,72 (( 1/50) + (300-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 16,55-1,79= 14,76;

при p = 290

D^*(400) _верхн. = (-0,14)400 + 58,55 ₊1,96*4,72 ((1/50) + (400-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 2,55+2,91= 5,46;

D^*(400)_нижн. = (-0,14)400 + 58,55 _-1,96*4,72 (( 1/50) + (400-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = 2,55-2,91= -0,36;

при p = 290

D^*(500) _верхн. = (-0,14)500 + 58,55 ₊1,96*4,72 ((1/50) + (500-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = -11,45+4,19= -7,26;

D^*(500)_нижн. = (-0,14)500 + 58,55 _-1,96*4,72 (( 1/50) + (500-211,4)² /(2684900-50*211,4²))^1/2 = -11,45-4,19= -15,64;

Таким образом,

при цене 90 руб. товар купят 49-44 человек

при цене 100 руб. товар купят 47-43 человек

при цене 120 руб. товар купят 40-44 человек

при цене 150 руб. товар купят 36-40 человек

при цене 170 руб. товар купят 34-37 человек

при цене 200 руб. товар купят 31 человек

при цене 250 руб. товар купят 23-25 человек

при цене 290 руб. товар купят 17-20 человек

при цене 300 руб. товар купят 15-19 человек

при цене 400 руб. товар купят 0-6 человек

при цене 500 руб. товар купят 0 человек.

Теперь перейдем к расчету оптимальной цены при различных уровнях издержек p₀. Для этого мы должны максимизировать прибыль:

(p - p_0.) D^*(p) = (p_. – p_0.)(a*p + d*).

Продифференцируем это выражение по p и приравняем 0 производную:

,

2a*p_опт. – а*р₀ +d* = 0,

p_опт. = .

Поскольку a* = -0,14, a d* = 58,55,то

p_опт. = p₀ /2 – 58,55/(-2*0,14)= p₀ /2 + 209,11

Как видно из последней формулы, при возрастании издержек оптимальная розничная цена также возрастает, но вдвое медленнее.

Сравним (табл.4) оптимальные цены, найденные с помощью метода наименьших квадратов (p_опт.2) и рассчитанные ранее с помощью первого метода (p_опт.1).

Сравнение методов расчета оптимальной цены Таблица 4.

p0	pопт. 2	pопт. 1
10	214,11	200
30	224,11	200
90	254,11	200
110	264,11	200
200	309,11	290
250	384,11	400

Проанализируем результаты, представленные в табл. 2 и 3.

Согласно табл.2, при расчете восстановленной функции D*(p) при p = 500 получаем отрицательную величину (-12,90), что не имеет смысла, т.к. спрос не может быть отрицательным. Рассмотри ситуацию подробнее. Функция спроса убывает, коэффициент a* отрицателен, поэтому рано или поздно прямая уйдет в отрицательную область. Это значит, что приближение функции спроса линейной зависимостью может быть корректно лишь на некотором отрезке, а не на всей прямой. Выясним, при какой цене спрос достигает 0:

D*(p) = (- 0,14)p + 58,55= 0,

p = 58,55/0,14 = 418,21

Т.е. корректное приближение функции спроса линейной зависимостью может быть при цене p меньшей, чем 418,21 рублей.

Общепринятых простых методов, позволяющих избежать отрицательных оценок функции спроса, нет. Если получаем отрицательные величины, то должны указать область, в которой линейная зависимость дает корректную оценку, что и сделали выше, когда D*(p) приравняли к 0.

Рассмотрим теперь табл.3. Здесь видим разницу между расчетной оптимальной ценой p_опт.2, полученной с помощью метода наименьших квадратов, и расчетной ценой p_опт.1, найденной исходя только из данных опроса. Это связано с тем, что потребитель всегда склонен к круглым числам (например, большинство назовет 200 руб., а не 205 руб. 20 коп.). Мы же при применении метода наименьших квадратов ищем максимум не только среди названных опрощенными значений, а по более обширному множеству.

Рис. 2. График восстановленной и выборочной функций спроса (линейная аппроксимация).

Вывод: на графике видно, что:

• в ценовом промежутке от 90 руб. до 100 руб. значения выборочной и восстановленной функций спроса приблизительно одинаковые;

• в ценовом промежутке от 200 руб. до 400 руб. значения восстановленной функции спроса больше, чем значения выборочной функции спроса.

• в ценовом промежутке от 400 руб. до 500 руб. значения восстановленной функции спроса меньше, чем значения выборочной функции спроса.