Оптимальные цены для выборочной функции спроса

Таблица 2.

p0, руб.	pопт.1, руб.
10	200
30	200
90	200
110	200
200	290
250	400

Рассмотренный пример построен на использовании тех значений цен, которые были названы при опросе. Пока мы не знаем, какой будет спрос при других значениях цены. Может быть, и оптимальная цена будет находиться вне названных при опросе значений.

Поэтому целесообразно восстановить функцию спроса при всех возможных значениях цены, а затем использовать эту восстановленную зависимость для расчета оптимальной цены при различных значениях издержек.

Восстановить зависимость можно с помощью метода наименьших квадратов.

2. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов относится к важному разделу организационно-экономического моделирования и прикладной статистики - многомерному статистическому анализу. В многомерном статистическом анализе исходные данные - это как минимум пара чисел (ti, Xi) (а не одно число).

Предполагается, что переменная X линейно зависит от переменной t, т.е.

X(t) = a (t – tср.) + b -

Это - теоретическая модель, а практически известны исходные данные – набор пар чисел (ti, Xi), i = 1, 2, 3, …, n, где:

ti – независимая переменная (например, время, а в случае определения выборочной функции спроса - цена pi),

Xi – зависимая переменная (например, индекс инфляции, курс доллара, а в случае определения выборочной функции спроса это будет спрос D(pi)).

Предполагается, что переменные связаны линейной зависимостью:

Xi = a(ti – tср.) + b +ei , i = 1, 2, 3, …, n.

Это - реальная зависимость, учитывающая погрешности (ei), искажающие зависимость, параметры a и b нам неизвестны и подлежат оцениванию, а

tср.=

Обычно параметры a и b оценивают методом наименьших квадратов.

Согласно этому методу для расчета наилучшей функции, приближающей линейным образом зависимость X от t, следует рассмотреть функцию двух переменных:

f(a,b) = -a(t_i – t_ср) – b]².

Фактически – это есть сумма квадратов разностей между реальными значениями функции и теоретически определенными значениями функции от независимой переменной.

Оценки метода наименьших квадратов – это такие значения a и b, при которых функция f(a,b) достигает минимума по всем значениям аргументов. Чтобы найти эти оценки, надо вычислить частные производные от функции f(a,b) по аргументам a и b, , т.е. и, и приравнять их к 0.

Из полученных уравнений путем внутриматематических преобразований получим оценки:

_,

Следовательно, восстановленная функция, с помощью которой можно прогнозировать, имеет вид:

Это – восстановленная функция, в которой вместо параметров подставлены их оценки, что позволяет проводить прогнозирование на какой-то интервал независимой переменной t вперед, а также интерполировать эти данные на моменты между наблюдениями.

Если взять другие обозначения, то линейная зависимость может выглядеть так:

i= 1, 2, 3, …. ,n.

Сравнивая выражения:

X_i = a(t_i – t_ср.) + b +e_i = at_i – at_ср. + b +e_i

и (1), легко перейти от одного к другому:

c =a, d = b – at_ср.

Аналогичные соотношения справедливы и для оценок:

c^* = a^*, d^* = b^* -a^*t_ср,

X_i^* = c^*t_i + d^*.

Оценкой погрешности (невязки) e_i является кажущаяся невязка

X_i - X_i^*.

Возникает вопрос, насколько точно оценивается зависимость. Чтобы ответить на него, надо ввести модель порождения данных:

,

где e_1, e₂……e_n - независимые, одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием 0 и дисперсией .

Таким образом, модель описывается тремя параметрами: c, d и . Параметрыc и d мы умеем оценивать, а для оценки ² используется следующая формула:

= ,

где SS - так называемая остаточная сумма квадратов, - оценка дисперсии.

Доверительные интервалы для прогностической функции записываются следующим образом (см. п.3.1 главы 3 настоящего учебника):

,

где ,

U() –квантиль стандартного нормального распределения порядка. При доверительной вероятности= 0,95 находим из таблицU() = 1,96, при= 0,99 имеемU() = 2,58, иU() = 1,64 при= 0,9.

Предполагается, что спрос D(p) линейно зависит от цены p, т.е.

D(p) = ap + b

Это - теоретическая модель, а практически известны исходные данные – набор пар чисел (p_i, D(p_i)), i = 1, 2, 3, …, n, где: p_i – независимая переменная (цена), D(p_i) – зависимая переменная (спрос).

На основе приведенных выше формул рассчитаем прогностическую функцию спроса и оптимальную цену при различных уровнях оптовой цены. Для этого составим табл.3. При этом следует учесть, что мы берем сгруппированные данные. Тогда формулы, необходимые для вычисления прогностической функции необходимо домножить на частоту повторений N_i:

Восстановленная функция спроса, с помощью которой можно прогнозировать, имеет вид:

D*(p_i) = a*p + b*.