Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы математической физики сб. задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

307.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

4.3.6. Концы струны x=0 и x=l закреплены жестко; начальное отклонение задано равенством u(x,0) = Asin πlx при 0<x<l, начальные скорости равны

нулю. Найти отклонения u(x,t) при t>0. Задачу решить двумя методамиметодом Фурье и методом Даламбера.

4.3.7.utt=16uxx, u(x,0)=2;ut=0; u(0,t)=0, u(l,t)=0, u(x,t)-?

4.3.8.utt=4uxx, u(x,0)=2x;ut=5; u(0,t)=0, u(l,t)=0, u(x,t)-?

4.3.9.utt=uxx, u(x,0)=A;ut=B; u(0,t)=0, u(l,t)=0, u(x,t)-?

4.3.10.utt=9uxx, u(x,0)=0;ut=Bsin(πx); u(0,t)=0, u(l,t)=0, u(x,t)-?

4.3.11.utt=a2uxx, u(x,0)=0;ut=Bx; u(0,t)=0, u(l,t)=0, u(x,t)-?

5. Уравнение теплопроводности

Если тело является стержнем, направленным по оси OX, то уравнение теплопроводности имеет вид ut = a2uxx .

1. Для случая неограниченного стержня ставится задача о нахождении решения уравнения ut = a2uxx , удовлетворяющего начальному условию

u(0,t)=ϕ(x).				Решение			поставленной	задачи	имеет	вид
	1		∞		(ξ−x)2
u(x,t) =			∫ϕ(ξ)e−			dξ .
					4a2t
					4a2t
	2a	πt −∞

2. Случай стержня, ограниченного с одной стороны. Решение уравнения ut = a2uxx , удовлетворяющего начальному условию u(0,t)=ϕ(x) и краевому

условию

u(0,t)=ϕ(x),

выражается

формулой

∞

−

(ξ−x)2

−

(ξ+x)2

−

4a2 (t −η)

u(x,t) =

∫

ϕ(ξ) e

−e

dξ +

∫ϕ(η) e

(t −η)

dη .

πt 0

3. Случай

стержня,

ограниченного

обоих концов x=0, x=l. Найти

решение уравнения

= a2u

c начальным условием u(0,t)=ϕ(x) и двум

краевым условиям u(0,t)=0, u(l,t)=0. Частное решение ищется в идее ряда

∞

πnx )e−

n2π

2 2

nπx

u(x,t) = ∑bn

sin(

t , где bn =

l ϕ(x)sin

dx .

n=1

l ∫0

Задачи

5.1.Решить

уравнение

u = a2u

если

начальное распределение

равенством u(x,0)=f(x)=u0, если

температуры

стержня

определяется

x1<x<x2, u(x,0)=0, если x<x1, x>x2.

удовлетворяющее начальному

5.2. Найти

решение

уравнения

= a2u

условию u(x,0)=f(x)=u0 и краевому условию u(0,t)=0.

5.3. Найти

решение

уравнения

ut = uxx

(0<x<l),t>0, удовлетворяющее

начальным условиям:

u(x,0)=f(x)=x, если 0 < x ≤ 2l , f(x)=l-x, если 2l ≤ x < 0 и краевым условиям

u(0,t)=u,u(l,t)=0.

5.4. Найти стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на концах стержня

u(0,t)=u0, u(l,t)=ul.

6. Задача Дирихле для круга

Пусть дан круг радиуса R с центром в полюсе О полярной системы координат. Будем искать функцию u(r,θ), гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию u(r=R)=f(θ), где f(θ)- заданная функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна

удовлетворять в круге уравнению Лапласа	r2 ∂2u	+ r	∂u	+	∂2u	= 0 . Решение
			∂r		∂θ2
	∂r2

сформулированной задачи Дирихле для круга определяется интегралом Пуассона

u(r,θ) =	1	π∫ f (τ)			R2 − r2		dτ
			R	2	− 2Rr cos(τ −θ) + r	2
	2π −π

Задачи

1.Найти стационарное распределение температуры на однородной круглой пластинке радиуса R, верхняя половина которой поддерживается при температуре 1, а нижняя –при температуре 0.

2.Найти решение уравнения Лапласа для внутренней части кольца 1 ≤ r ≤ 2 , удовлетворяющего краевым условиям u(r=1)=0, u(r=2)=y.

7. Специальные функции

7.1. Гамма функция

Гамма функция - обобщенная факториальная функция, которая

представляется интегралом Г(n) = ∞∫xn−1e−x dx, n>0 . Она не относится к

разряду специальных функции, которые определяют решения дифференциальных уравнений определенного вида. Гамма функцию можно считать вспомогательной функцией, которая используется при построении широкого класса специальных функций, в частности функций Бесселя. Некоторые свойства Гамма функции: Г(n+1)=nГ(n), Г(n+1)=n!,

Г(n)=Г(n+1)/n, Г(1/2)= π , Г(-1/2)=-2 π ,

Г(-3/2)= 43 π …

Задачи

7.1.1. Доказать равенство Г(n+1)=n! 7.1.2. Показать, что ∞∫xn e−xz dx = Г(n +1) / zn+1 .

			0
7.1.3. Получить равенство Г(1/2)=						π .
7.1.4. Используя			формулу Г(n+1)=n!				, показать, что Бета функция
B(m, n) = ∫1	xm−1 (1− x)n−1 dx			определяется через				Гамма функцию	следующим
0
соотношением B(m, n) =				Г(m)Г(n)		m>0, n>0 .
					,
				Г(m + n)	,
				7.2. Функции Бесселя
Уравнение		x2 d 2 y	+ x dy +(x2 −n2 ) y = 0 ,				где	n-постоянная	называются
		dx2	dx

дифференциальными уравнениями Бесселя. Существует ряд методов для

их решения.

Предполагая, что

x=0

–сингулярная

точка,

будем искать

∞

решение y

в виде

y = ∑am xm+k .

Общее решение для уравнения Бесселя

m=0

∞

(−1)m a xn+2m

y = ∑

запишется

виде

. При

a0=1/2 Г(n+1)

m!(n +1)(n + 2) (n + m)

m=0 2

частное

решение

стандартных

обозначениях принимает вид

∞

(−1)

(x / 2)

n+2m

Jn (x) = ∑

m!Г(n + m +1)

m=0

Задачи

7.2.1.

Показать, что

заменаy =

уравнении

Бесселя

приводит к

дифференциальному уравнению u +{1− n2

−1/ 4)u = 0 .

7.2.2.

Убедиться,

что

y = xJn (ax)

является

решением уравнения

y+{1− n2 −1/ 4) y = 0 . x2

7.2.3. Показать, что y=xnJn(x) является решением уравнения y′′+1−x2n y′+ y = 0 .

7.2.4. Доказать, что дифференциальное уравнение 4x2 y′′+ 4xy′+ (4x2 −1) y = 0 является уравнением Бесселя и его решения имеют вид

J1/ 2 (x) =		2	sin x, J−1/ 2 (x) =	2	cos x.
	π x			π x

Ответы

1.1.а) rr , б) 2r, в) f ′(r) rr .

1.2.с.

1.3.2r (c c)-2c (r c).

1.4.xm-1yn-1(my grad x + nx grad y)

1.5. a) divr=3, rotr=0, б) div(rc) = r rc , rot(rc )= r ×r c .

		′						′
в) div( f (r)c )=		f (r)		(cr), rot( f (r)c )=				f (r)	c ×r .
в) div( f (r)c )=				(cr), rot( f (r)c )=					c ×r .
		r						r
1.6. divgradU =	∂2U2		+		∂2U2	+	∂2U2 ; rotgradU = 0 .
	∂x				∂y		∂z

1.7. 3а.

1.9.ϕ div a+gradϕa.

1.10.а) a b, б) 4r a. 1.11.div v=0, div w=-2ω2.

1.12.ψ = rC3 , где С- произвольная постоянная.

1.13.a.


1.14. a) 3a, б)				.
1.14. a) 3a, б)			r	.
1.15. 2a b
1.16. −	e	r .
1.16. −	3	r .
	r				r ×a
1.18.a) ϕ rota + gradϕ×a , б)					r ×a	, в) b ×a .
1.18.a) ϕ rota + gradϕ×a , б)					r	, в) b ×a .
1.20. a ×gradϕ =-rot(ϕa).
1.21. diva.

2.1.Является, нелинейное, однородное.

2.2.Не является.

2.3.Не является.

2.4.Не является.

2.5.Является, линейное, неоднородное.

2.6.Является, линейное, неоднородное.

2.7.Не является.

2.8.Не является.

2.9.Не является.

2.10.Не является.

2.11.Гиперболический.

2.12.Эллиптический.

2.13.Параболический.

2.14.Гиперболический.

2.15.Эллиптический.

2.16.Гиперболический.

2.17.Гиперболический.

2.18.Эллиптический.

2.19.Гиперболический.

2.20.при l < 14 , x<x1, x>x2 уравнение гиперболично, при x1<x<x2 оно

эллиптично, прямые x=x1, x=x2, y=0 состоят из точек параболичности. При

l = 1 область эллиптичности исчезает, т.к. при этом x

= x

= − 1

; прямая

1 состоит из точек параболичности. При l >

x = −

уравнение

гиперболично всюду.

2.21.

∂2u

−

∂u

= 0 .

∂ξ∂η

2ξ ∂η

2.22.

∂2u

= 0 .

∂η2

2.23.

∂2u

0 .

∂ξ2

∂η2

4.1.1. x2+t2. 4.1.2. xt.

4.1.3. 1a sin(x) cos(at) . 4.1.4. x(1-t).

4.1.5. e2 x sh(4t) .

4.1.6.sin(2x) cos(8t) + 18 sin(8t) cos(2x) .

4.1.7.e2xch(3t).

4.1.8.x+1.

4.1.9.u = 2πa .

4.1.10.u=-sin(x).

4.1.11. sin(x)cos(t).

4.1.12. sin(x)cos(t)+

1 ln

(x +t)2

(x −t)2

4.1.13. x+sin(x)sin(t).

4.1.14. x+cos(x)sin(t).

4.1.15. e−x ch(t) +

1 ln

(x +t)2

(x −t)2

4.1.16. см. [1], задача 52, с.22.

x2 + a2t2 +

−

cos(2x)sin(2at),t ≤

4.2.1.

a .

u(x,t) =

2axt +

(2x

−sin(2x) cos(2at)),t

1 sin(x)sin(at),t ≤

4.2.2.

u(x,t) = a

(1−cos(x) cos(at)),t >

(x + at)2

(x − at)2

,t ≤

+ (x + at)

+ (x − at)

4.2.3.

u(x,t) =

(x + at)2

(at − x)2

−

,t >

> 0

+ (x + at)

+ (at − x)

(x + at)2

(x − at)2

,t ≤

1+ (x + at)2

+ (x + at)

+ (x − at)

4.2.4. u(x,t) =

1+ (x − at)2

(x + at)2

(x − at)2

−

,t >

> 0

+(x + at)

+(x −at)

4.2.5. u(x,t) =

1+ (x + at)2

1+ (x − at)2

1 sin(x)sin(at),t ≤

) ch(axt) +

4.2.6. u(x,t) = e−( x

(1−cos(x) cos(at)),t >

> 0

4.2.7. см. [1], задача 59, с.24.

− 4t

,t ≤

4.2.8. u(x,t) =

1 ln

x + 2t

,t >

> 0

x − 2t

cos(x)sin(t),t ≤

4.2.9. u(x,t) =

sin(x) cos(t)),t >

> 0

323h

∞

(2n +1)πat

sin (2n +1)π x .

4.3.1. u(x,t) =

∑

cos

(2n +1)

n=1

∞

kπ

kπ x

kπat

4.3.2. u(x,t) =

∑

sin

cos

k =1 k

4v l

∞

kπ

kπh

kπat

kπx

4.3.3. u(x,t) =

∑

sin

k =1

965h

∞

4.3.4. u(x,t) =

∑

cos(2k +1)πat sin(2k +1)π x

(2k +1)

k =1

4hl2

∞

sin kπ cos kπh sin kπat sin kπx .

4.3.5. u(x,t) =

∑

− k

)

π a

k =1 k

∞

πxn) cos(

πnat ) .

4.3.6. u(x,t) = A∑sin(

n=1

∞

(−1)

π xn) cos(4πnt ) .

4.3.7. u(x,t) =

∑1−

sin(

n=1

∞

(−1)

2πnt

sin( 2πnt ))sin(

πnx) .

4.3.8. u(x,t) =

∑1−

(4cos(

) +

πn

n=1

∞

(−1)

(Acos(πnt ) +

sin(πnt ))sin(πnx)

4.3.9. u(x,t) =

∑1−

n=1

πn

∞

)3 sin(πnat ))sin(πnx) .

4.3.10. u(x,t) =

∑(

πn

n=1

∞

πnat ))sin(πnx) .

4.3.11. u(x,t) =

∑(

(1−(−1)n )sin(

πn

n=1

5.1. u(x,t) =

x − x

− x

−μ2

d μ .

Ф(

) −Ф(

)

,Ф(z) =

π ∫0

2a t

5.2. u(x,t) = u0Ф(

) .

∞

−(2n+1)2 π2t

(2n +1)π x

5.3.u(x,t) =

∑(−1)

sin

2n +

n=0

5.4. u =

−u0

x +u0 .

− r2

u =1−

arctg

(0 <θ <π)

2Rr sinθ

6.1.

− r2

u = −

arctg

(π <θ < 2π)

2Rr sinθ

6.2. u(r,θ) =

8 sh(ln r)sinθ .

ЛИТЕРАТУРА

1.Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов. Сборник задач по математической физике. - М.: Физматлит, 2003. -688 c.

2.А. Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики.- М.: Гос.изд. технико-теоретической литературы, 1953.- 679 с.

3.Н. Е. Кочин. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. -

М.: Наука, 1965.-426 с.

4.Задачи и упражнения по математическому анализу: Для ВТУЗов / Б.П. Демидович, - М.: Наука, 1974.- 427 с.

5.А.Б. Бицадзе, Д.Ф. Калиниченко. Сборник задач по уравнениям математической физики. - М.: Наука, 1985 - 310 с.

6.И.А. Гольдфайн. Векторный анализ и теория поля. - М.: Физматгиз, 1962.- 132 с.

7.П.Е. Данко, А.Г. Попов. Высшая математика в упражнениях и задачах,

ч.3.- М.: Высшая школа, 1971 - 287 с.

8.Сборник задач по математике для ВТУЗов. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных / А.В. Ефимов.- М.: Наука, 1990-303 с.

9.D.E. Johnson, J.R. Johnson. Mathematical methods in engineering and physics, by Prentice-Hall. Inc., Englewood Cliffs, N.J. 07632.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………… 3

1.Элементы теории поля………………………………………….. 4

2.Вводные понятия. Классификация уравнений

с частными производными. Приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными……….. 5

3.Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач…………… 6

4.Уравнение колебаний струны

4.1.Метод Даламбера…………………………………………… 7

4.2.Задачи для бесконечной струны…………………………… 8

4.3.Задачи для полубесконечной струны……………………… 9

4.4.Задачи для конечного отрезка струны.

Решение уравнения колебания струны методом Фурье……… 9

5. Уравнение теплопроводности…………………………………. 11

6. Задача Дирихле для круга……………………………………… 12

7.Специальные функции

7.1.Гамма-функция……………………………………………. 12

7.2.Функция Бесселя…………………………………………… 13

Ответы……………………………………………………………….. 14

Литература…………………………………………………………… 18

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Сборник задач

Составитель:

Зухра Владимировна Гареева

Лиц. на издат. деят. Б848421 от 03.11.2000 г. Подписано в печать 16.10.2005. Формат 60Х84/16. Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman.

Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. – 1,5. Уч.-изд. л. – 1,3. Тираж 100 экз. Заказ №

Издательство БГПУ 450000, г.Уфа, ул. Октябрьской революции, 3а

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]