Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца учебно-методическое пособие

x = α(x′ + vt′), y = y′, z = z′,

Эти преобразования впервые были представлены голландским физиком Хенриком Лоренцем и носят его имя.

Отметим, что х-компонента объемной плотности тока и объемная плотность заряда преобразуются точно так же, как х-координата и время. Выражения

r2 − c2t2 = r′2 − c2t′2 , *

j2 − c2ρ2 = j′2 − c2ρ′2 .

образуют инварианты этих преобразований.

Формулы преобразования компонент электромагнитного поля мож- но представить следующим образом. Введем поперечные векторы

Ητ = H y j + Hz k, Eτ = Ey j + Ez k.

Тогда

Hτ = α ( Hτ′ + vε0 i × Eτ′ ), Eτ = α ( Eτ′ − vμ0 i × Hτ′ ).

Нетрудно убедиться, что эти преобразования имеют такие инва- рианты:

EH = E′H ′,

E2 − Z02 H 2 = E′2 − Z02 H ′2 ,

где

Z = μ0 = 120 π

0 ε0

называется волновым сопротивлением вакуума.

Следствием этих же преобразований является и такое соотношение:

________

* r обозначает радиус-вектор точки в трехмерном пространстве.

11

в котором Пх и П′х обозначают х-компоненты соответствующих век-

торов Пойнтинга:

П = E × H, П′ = E′ × H ′.

Принимая во внимание, что выражения ε0 E2 2 и μ0 H 2 2 пред-

ставляют собой плотности энергии соответственно электрического и магнитного полей, вышенаписанному соотношению можно пытаться придать некий физический смысл. Но этот вопрос, как нам представ- ляется, лучше пока оставить открытым.

12

3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ВЫВОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА

Пусть дано некоторое двумерное пространство. Предположим, что оно однородно и изотропно. Это значит, что в нем можно ввести бесконечно много совершенно равноправных и ничем не отличимых друг от друга систем отсчета. При этом координаты произвольной точки пространства, измеряемые относительно двух любых из этих систем отсчета, связаны линейными преобразованиями. То есть если (х1, х2) – координаты какой-то точки в одной системе, а (х′1, х′2) – ко- ординаты этой же точки в другой, то

Постоянство коэффициентов в этих преобразованиях отражает однородность пространства. Свойство изотропности пространства характеризуется тем, что коэффициенты преобразований, обратных (15), должны отличаться от коэффициентов α, β, γ, δ лишь знаками у разноименных координат. Так как обратные преобразования осуще- ствляются по формулам

то должно быть

α = δ, = α2 − βγ = 1.

Еще одно соотношение, связывающее коэффициенты преобразо- ваний (15), можно вывести из следующего рассуждения.

Зафиксируем третью систему отсчета, относительно которой ко- ординаты той же точки пространства будем помечать двумя штриха- ми. Тогда

причем для штрихованных коэффициентов должны выполняться те же условия:

13

α′ = δ′, ′ = α′2 − β′γ′ = 1.

Внося (5.15) в (5.16), получим преобразования

Откуда, в силу равноправности всех систем отсчета, имеем

γβ′ = βγ′

или

β′ = β = λ. γ′ γ

Здесь λ следует признать универсальной постоянной для данного типа пространства.

Таким образом, преобразования (15) приобретают вид

причем коэффициенты α и γ связаны равенством

α2 − λγ 2 = 1.

Поэтому в формулах (17) лишь один коэффициент произволен. Он определяет взаимное расположение соответствующих систем отсчета.

Прямым вычислением легко убедиться, что выражение

s2 = x12 − λx22

не зависит от выбора системы отсчета, то есть является инвариантом преобразований (17).

В зависимости от знака, который имеет универсальная постоянная λ, нужно различить два типа пространств:

1. Если λ < 0 и координаты х1 и х2 имеют одинаковые размерности и равные масштабные единицы измерения, то следует положить λ = – 1, в результате чего мы приходим к привычному евклидовому простран- ству. В самом деле, ничто не препятствует задать коэффициенты α и γ так:

α= cosϕ, γ = − sin ϕ

иинтерпретировать преобразования (17) как поворот осей прямо- угольной системы координат на угол ϕ против часовой стрелки.

2.Если λ = с2 > 0, то мы имеем так называемое псевдоевклидово пространство (или, по другой терминологии, пространство Минков- ского), в котором принято считать х1 = х обычной пространственной

14

координатой, измеряемой в метрах, а х2 = t – временнóй координатой, измеряемой в секундах.

Вводя в преобразования (17) новый параметр v по формуле v = −c2 αγ ,

получим стандартную форму записи преобразований Лоренца. А именно

x′ = α(x − vt),

1 − v2 c2

Параметр v и универсальная постоянная с имеют размерность [м/с], т.е. – скорости. При этом очевидно, что параметр v представля- ет собой величину скорости движения пространственных осей Ох и О′х′ относительно друг друга. Для любых двух систем отсчета вели- чина этой скорости должна оставаться меньше с. Следовательно, универсальная постоянная с имеет смысл предельно большой скоро- сти. Придать ей какой-либо физический смысл приведенные здесь алгебраические выкладки, конечно, не могут. Однако, привлекая электродинамические рассуждения из предыдущего пункта, ее есте- ственно отождествить со скоростью распространения электромаг- нитных волн в вакууме.

15

4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНЫ ПО ДЛИННОЙ ЛИНИИ

Для определенности рассмотрим процесс разряда конденсатора че- рез длинную линию на активное сопротивление нагрузки. Соответст- вующая электрическая схема изображена на рис. 1.

Рис. 1

Функции напряжения и тока в данной линии с распределенными параметрами определяются системой телеграфных уравнений

и условием, задающим напряжение на конденсаторе С0 в момент его подключения t = 0 к линии

Будем искать решение поставленной задачи в виде спектральных разложений Фурье:

16

где

∞

U (x,iω) = ∫ u(x,t)e−iωt dt,

0

∞

J (x,iω) = ∫ j(x,t)e−iωt dt.

0

Спектральные плотности производных по времени выражаются следующим образом:

= −u(x,o) + iωU (x,iω).

Аналогично

∞ ∂j e−iωt dt j(x,0) i J (x,i ).

∫0 ∂t = − + ω ω

Система телеграфных уравнений (18) в совокупности с начальны- ми условиями (20) для спектральных плотностей U(x, iω), J(x, iω) да- ет систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Из граничных условий (19) с учетом начального условия (21) по- лучаются граничные условия для спектральных плотностей:

где β = ω LC – коэффициент распространения; W = L – волновое

C

сопротивление линии.

Отношение амплитуд A2 принято называть коэффициентом от-

A1

ражения и обозначать буквой Г. Из второго условия (24) нетрудно вывести выражение

17

Подставляя (25) и (26) в первое из условий (24) и учитывая (27), найдем выражение для амплитуды А1:

Примем следующие обозначения: τ0 = WC0 – постоянная времени цепи; v = (LC)− 12 – скорость распространения волны в линии. Тогда

β = ω v . Подставляя спектральную плотность (25) с введенными

здесь обозначениями в первый из интегралов Фурье (22), получим функцию, описывающую распространение волн напряжения в длин- ной линии в виде

Говорят, что линия находится в режиме согласования, если сопро- тивление нагрузки R равно волновому сопротивлению W и, соответ- ственно, коэффициент отражения Г равен нулю. В этом случае инте- гральное представление (28) приобретает наиболее простую форму:

18

Видим, что фронт волны, располагающийся в сечении линии с ко- ординатой х′ = vt, перемещается вдоль линии от конденсатора к на-

грузке со скоростью v = (LC)− 12 . Разряд конденсатора в сечении х = 0 происходит точно по тому же закону, по которому происходил бы

разряд на чисто активное сопротивление величины R = W = (L C )12 ,

т.е. согласованная линия по отношению к заряженному конденсатору ведет себя как сосредоточенная резистивная нагрузка.

19

5. ВОЛНОВОЙ ФРОНТ И УРАВНЕНИЕ ЛУЧА

Рассмотрим пространственное волновое уравнение

рактеризующий неоднородную среду и имеющий смысл скорости распространения волн.

Представим решение волнового уравнения (30) в виде сложной функции W = W(f), где f = f (x, y, z, t), тогда

Если для функции f(x, y, z, t) потребовать выполнения условия

(grad f )2 − 1 ∂f 2 = 0 , c2 ∂t

то она предстает в виде суммы пространственной и временной час- тей, т.е.

При этом для пространственной части ϕ (х, y, z) получается ста-

известное под названием уравнения эйканала. Выбрав одно из воз- можных решений уравнения эйканала, представляющее собой некое скалярное поле, можно построить семейство его поверхностей уров- ня, т.е. набор поверхностей, задаваемых уравнением

20