Расчетные задания (Кузнецов) / 06-Ряды
.pdfVI. РЯДЫ Теоретические вопросы
1.Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
2.Теоремы сравнения.
3.Признаки Даламбера и Коши.
4.Интегральный признак сходимости ряда.
5.Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.
6.Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящегося ряда.
7.Понятие равномерной сходимости.
8.Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
9.Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.
10.Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
11.Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы
ряда.
12.Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
13.Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.
14.Разложение по степеням x бинома (1 + x)m . 15.Условие разложимости функции в ряд Тейлора.
16. Разложение по степеням x функций ex , cos x , sin x , ln (1 + x).
Теоретические упражнения.
∞ |
∞ |
∞ |
1. Ряды ∑an |
и ∑bn |
сходятся. Доказать, что ряд ∑cn сходится, если |
n=1 |
n=1 |
n=1 |
an ≤ cn ≤bn . |
|
|
У к а з а н и е. Рассмотреть неравенства 0 ≤ cn −an ≤ bn −an .
∞ |
(an ≥ 0) |
∞ |
2. Ряд ∑an |
сходится. Доказать, что ряд ∑an2 тоже сходится. |
|
n=1 |
|
n=1 |
Показать, что обратное утверждение неверно.
1
|
∞ |
∞ |
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|
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|
|
|
|
|
∞ |
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|
|
|||||
3. Ряды ∑an2 |
и ∑bn2 |
|
сходятся. Доказать, что ряд ∑ |
|
an |
|
|
|
bn |
|
|
тоже сходится. |
|||||||||||||||
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
n=1 |
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n=1 |
|
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|||||
У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство |
|
ab |
|
≤ a2 +b2 . |
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||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||
|
∞ |
∞ |
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
4. Ряды |
∑an2 |
и ∑bn2 сходятся. |
Доказать, |
что ряд |
∑(an +bn )2 |
тоже |
|||||||||||||||||||||
|
n=1 |
n=1 |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
n=1 |
|
||||
сходится. |
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|
∞ |
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|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
5. Пусть |
ряд |
∑an |
сходиться и |
|
lim |
|
=1. |
Можно |
ли |
утверждать, |
что |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n→∞ b |
|
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|
|
|
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|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
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|
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|
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сходиться ряд ∑bn ? |
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n=1 |
|
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∞ |
(−1) |
n |
∞ |
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|
n |
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||
|
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|
|
(−1) + |
1 |
|
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|
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|||||||||
Рассмотреть пример ∑ |
|
и ∑ |
|
. |
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||||||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= |
|
= |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
|
|
n |
1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
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||||
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|
∞
6. Пусть ряд ∑ fn (x) сходиться равномерно на отрезке [a, b]. Доказать, что
n=1
∞
ряд ∑fn (x) так же сходиться равномерно на этом отрезке.
n=1
7. Может ли функциональный ряд на отрезке:
а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно, б) сходиться абсолютно и не сходиться равномерно? Рассмотреть примеры:
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(−1) |
|
, отрезок [a, b] произвольный; |
||||||||||
a) |
∑n=1 |
|
|||||||||||
n + x |
2 |
||||||||||||
|
∞ |
( |
|
|
) |
|
[ |
|
] |
|
|
|
|
б) |
∑ |
|
|
, отрезок |
|
|
|
|
|
||||
|
x 1 − x2 |
|
|
0, 1 . |
|
|
|
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
||
8. |
Показать, что функция |
f (x) |
= ∑ |
sin nx |
всюду непрерывна. |
||||||||
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 10 |
||
|
|
|
|
|
|
∞ |
sin n |
2 |
x |
|
|
|
|
9. |
Доказать, что ряд ∑ |
|
сходится равномерно в интервале (−∞, +∞). |
||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
Можно ли его дифференцировать в этом интервале?
2
∞
10. Доказать, что если ряд ∑cn e−nx сходиться в точке x0 , то он сходиться
n=1
абсолютно x > x0 .
Расчетные задания.
Задача 1. Найти сумму ряда.
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
9n |
2 |
+12n −5 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9n |
2 |
+6n − |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4n |
2 |
|
+8n + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9n |
2 |
+3n − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.9. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
+n − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n=2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.11. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
36n |
2 |
−24n − |
5 |
|||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.13 ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4n |
2 |
|
+4n − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.15. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
9n |
2 |
|
|
+3n −20 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.17. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
16n |
2 |
−8n −15 |
||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.19. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
25n |
2 |
+5n −6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.21. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
49n |
2 |
−35n − |
6 |
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
9n |
2 |
|
−12n −5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
9n |
2 |
|
+21n −8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
49n |
2 |
−28n − |
45 |
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
49n |
2 |
−7n −12 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.10. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
49n |
2 |
|
−14n −48 |
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.12 ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
49n |
2 |
−84n − |
13 |
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.14 ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
49n |
2 |
+35n − |
6 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.16 ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
49n |
2 |
−42n − |
40 |
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.18. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
49n |
2 |
|
−21n −10 |
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.20. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.22. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
2 |
|
+n −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
∞ |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
1.23. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
36n |
2 |
+12n −35 |
|||||||||
n=2 |
|
|
|||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1.25 ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
−3n −2 |
|
|
|
|||||
n=1 9n |
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
1.27. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
16n |
2 |
+8n − |
15 |
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
1.29. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
36n |
2 |
−12n −35 |
|||||||||
n=1 |
|
|
|||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
1.31. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
49n |
2 |
−70n −24 |
|||||||||
n=1 |
|
|
Задача 2. Найти сумму ряда.
|
∞ |
|
4 −5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
n(n −1)(n −2) |
|
|
|
|
|||||||||
|
n=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
5n +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.3. |
∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
n(n +1)(n +3) |
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.5. |
∑ |
|
|
|
. |
|
|
||||||
n(n +1)(n +3) |
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.7. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 n(n +2)(n +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
3n −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.9. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
||||||
n(n +1)(n +2) |
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
5n −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.11. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
(n −1)n(n + |
2) |
|
|
||||||||||
|
n=3 |
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
3n +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.13. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
n(n +1)(n + |
2) |
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
8n −10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.15. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
(n −1)(n −2)(n +1) |
|||||||||||||
|
n=3 |
|
|
∞ |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
1.24. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
||
49n |
2 |
+ |
21n −10 |
|||||
n=1 |
|
|
||||||
∞ |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
1.26. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
25n |
2 |
−5n −6 |
|
|
|
|||
n=1 |
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
1.28. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
||
49n |
2 |
−56n − |
33 |
|||||
n=1 |
|
|
||||||
∞ |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
1.30. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
||
49n |
2 |
+ |
7n −12 |
|
|
|||
n=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n +6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.2 |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
n(n |
+3)(n +2) |
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4n −2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2.4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
( |
n |
2 |
− |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 (n −2) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
3n −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.6. |
∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=3 n |
( |
n |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.8. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n(n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=3 |
−4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
2.10. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
n(n −1)(n −2) |
||||||||||||||||||||||
|
n=3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.12. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
(n |
|
+ |
2)(n +1)n |
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
2.14. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
( |
n |
2 |
) |
|
|
|
+2) |
|||||||||||||||
|
n=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 (n |
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
3n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.16. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=3 n |
( |
n |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
∞ |
|
|
n −4 |
|
|
|
|||
2.17. ∑ |
|
|
|
. |
|||||
n(n −1)(n −2) |
|||||||||
n=3 |
|
|
|||||||
∞ |
|
|
5n −2 |
|
|
|
|||
2.19. ∑ |
|
|
|
. |
|||||
(n −1)n(n +2) |
|||||||||
n=2 |
|
|
|||||||
∞ |
|
|
3n +4 |
|
|
|
|||
2.21. ∑ |
|
|
|
|
. |
||||
n(n +1)(n +2) |
|
||||||||
n=1 |
|
|
|||||||
∞ |
|
|
|
n +6 |
|
|
|
||
2.23. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|||
n(n +1)(n +2) |
|
||||||||
n=1 |
|
|
|||||||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2.25. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
( |
2 |
) |
|
|
|
|||
n=2 n |
n |
|
|
|
|
||||
|
−1 |
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
3n +1 |
|
|
|
|||
2.27. ∑ |
|
|
. |
||||||
(n −1)n(n +1) |
|||||||||
n=3 |
|
|
|
2.29. ∑∞ n(n −14)(n −2).
n=3
∞
2.31. ∑n=1 n(n +1)(n +2).
∞ |
5n +9 |
|
|
|
|
|
2.18. ∑ |
|
|
|
. |
||
n(n +1)(n + |
3) |
|
||||
n=1 |
|
|
||||
∞ |
n −1 |
|
|
|
|
|
2.20. ∑ |
|
|
|
. |
||
n(n +1)(n + |
2) |
|||||
n=1 |
|
|||||
∞ |
2 −n |
|
|
|
|
|
2.22. ∑ |
|
|
|
. |
||
n(n +1)(n + |
2) |
|||||
n=3 |
|
|||||
∞ |
n −2 |
|
|
|
|
|
2.24. ∑ |
|
|
. |
|||
(n −1)n(n +1) |
||||||
n=3 |
|
|
||||
∞ |
1 −n |
|
|
|
|
|
2.26. ∑ |
|
|
|
. |
||
n(n +1)(n + |
3) |
|
||||
n=1 |
|
|
||||
∞ |
4 −n |
|
|
|
|
|
2.28. ∑ |
|
|
|
. |
||
n(n +1)(n + |
2) |
|||||
n=1 |
|
|||||
∞ |
3 −n |
|
|
|
|
|
2.30. ∑ |
|
|
|
. |
||
(n +3)(n +1)n |
|
|||||
n=1 |
|
|
Задача 1. Исследовать на сходимость ряд.
|
∞ |
sin |
2 |
n |
n |
|
|
|
|
|||
3.1. |
∑ |
|
. |
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
cos |
2 |
(nπ 2) |
|
|||||||
3.3. |
∑ |
|
. |
|||||||||
n(n +1)(n +2) |
||||||||||||
|
n=1 |
|
||||||||||
3.5. |
∑2 +(−1) |
n |
|
|||||||||
. |
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n −ln n |
|
|
|
|||||||
3.7. |
∑n(2 + |
2cos nπ ). |
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
2n |
−1 |
|
|
|
|
|
2 +(−1) |
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
3.2. |
∑nsin |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4. |
∑ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n=1 |
3 n7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
arctg |
1 +( |
−1)n |
|
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
3.6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
n |
3 |
+2 |
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
arcsin n −1 |
|
|
|
||||||||
3.8. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=2 |
3 n3 −3n |
|
|
|
5
∞ |
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.9. ∑ |
sin |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
arccos |
|
(−1)n n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3.11. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
nln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.13. ∑ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=2 |
n |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +(−1) |
n |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3.15. ∑ |
|
|
sin |
|
|
π . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n=2 |
4 n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ 1 +sin |
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.17. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
(2 +cos |
nπ |
) |
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3.19. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
4 n7 +5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.21. ∑ |
sin |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.23. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=3 |
n2 ln n + 3 ln2 n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
∞ |
sin |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3.25. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n=1 |
3 +sin |
πn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 +(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.27. ∑ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n=1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.29. ∑arcctg ( |
−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n(2 +n2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
ln |
|
n |
2 |
|
+3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.10. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=2 |
|
|
|
|
n2 −n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
ncos |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.12. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
n |
|
+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.14. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
n |
3 |
( |
2 |
|
+sin |
( |
nπ |
2 |
)) |
||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.16. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
3 |
+n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∞ |
cos2 πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.18. ∑ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n |
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
2 +sin |
nπ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3.20. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
ctg |
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||
∞ |
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.22. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
n5 +n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
3 |
arctg |
|
|
|
|
n2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3.24. ∑ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n2 −n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∞ |
2cos |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.26. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
3n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=2 |
4 n4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
3.28. ∑ |
arctg 2 +(−1) |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
(1 +n) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∞ |
arcsin |
|
3 +(−1)n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.30. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
+n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
∞ |
|
n |
3 |
+ |
2 |
|
3.31. ∑ |
|
|
. |
|||
n |
2 |
|
2 |
|
||
n=1 |
sin |
n |
Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.
∞ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.1. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
n−1 |
+n −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
2 |
+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.3. ∑ln |
n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
4.5. ∑ |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=2 |
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 n −1 |
|||||||||||||||
∞ |
|
|
n |
3 |
|
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.7. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
+sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.9. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
n −cos |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||
4.11. ∑ |
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||
|
3 n |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
4.13. ∑ |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
3 n +5 |
n −1 |
||||||||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
(e1 |
|
|
n −1). |
||||||||||||||
4.15. ∑ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n +3 |
|
|
||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
4.17. ∑ |
3 narctg |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.19. ∑n3tg5 π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=3 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4.21. ∑ 1 −cos |
|
n |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
|
n (n3 −1) |
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||||||||
4.23. ∑ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
1 |
|
|
||
4.2. ∑ |
tg |
|
. |
|||||
n |
|
|
||||||
= |
|
|
|
n |
||||
n 1 |
|
|
|
|
||||
∞ |
1 |
|
|
1 |
|
|
||
4.4. ∑ |
sin |
. |
||||||
|
|
|||||||
= |
|
n |
n |
|||||
n 1 |
|
|
|
|
∞(n2 +3)2
4.6.∑n=1 n5 +ln4 n .
∑∞ 2n +cos n
4.8.n=1 3n +sin n .
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
4.10. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5 n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.12. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
2 |
|
−ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+3 |
|
|
|
|||||
4.14 ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
2 |
+5 |
|
|||||||||||||||
= |
|
3 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.16. ∑ln |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
+n +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.18. ∑ln |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.20. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(3 n −1)(n 4 n3 −1) |
||||||||||||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.22. ∑sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n5 +2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|||||
4.24. ∑sin |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
n2 |
(n +1) |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
∞ sin |
2π |
|
|
|
|
|
|
∞ |
3 +7n |
|
|
|
|
|||||||
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4.25. ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
4.26. ∑ |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
n=1 |
5 |
+n |
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|||
4.27. ∑n(e1 n −1)2 . |
|
|
|
|
4.28. ∑nsin |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
3 n4 |
|
||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
||
4.29. ∑arctg |
|
|
|
|
|
|
|
. |
4.30. ∑sin |
|
|
|
|
. |
||||||
(n −1) 5 n2 +1 |
|
n2 3 |
n +5 |
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.31. ∑arcsin |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(n2 + |
3) |
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Исследовать на сходимость ряд.
∞ |
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
5.1. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
2 |
n |
|
|
||||||||||||
n=2 |
(n −1)! |
|
|
|
|
||||||||||
5.3. ∑∞ |
2n+1 (n3 +1) |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
(n +1)! |
|
1n . |
||||||||||
5.5. ∑(2n +2)! |
|
||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n +5 |
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
∞ |
arctg |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.7. ∑ |
|
|
|
|
|
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
5.9. ∑ |
|
|
|
tg |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
||||||||||
n=1 |
(2n)! 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.11. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
(n + |
2)! |
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
|
7 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|||||
5.13. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
(2n −1)! |
|
|
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
∞ |
3 5...(2n −1) |
|
|
5.15. ∑ |
1 |
. |
|
|
n |
||
n=1 |
3 (n +1)! |
∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
(n!)2 . |
|
|
||||||||
5.2. ∑ |
|
|
||||||||
n=1 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
10 |
n |
2n! |
|
|
|
||||
5.4. ∑ |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
(2n)! |
|
|
|||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5.6. ∑ |
n +5 |
sin |
. |
|||||||
|
|
n |
||||||||
n=1 |
n! |
|
|
|
3 |
|
||||
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.8. ∑ |
n |
|
|
. |
|
|
|
|||
n |
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
3 |
n! |
|
|
|
|
|
5.10. ∑∞ |
|
6n (n2 −1) |
. |
|||
|
|
|
||||
n=1 |
n! |
|||||
∞ |
n |
|
|
|
||
5.12. ∑ |
n |
|
|
. |
|
|
|
|
2 |
|
|||
n=1 (n!) |
|
|
|
5.14. ∑∞ n! .
n=1 (3n!)
∑∞ n!
5.16. n=1 nn−1 . ?
8
∑∞ (n!)2
5.17. n=1 (3n +1)(2n)!.
5.19. ∑∞ (n +1)! .
n=1 nn
∑∞ 2n n!
5.21. n=1 nn .
∑∞ 3n
5.23. n=1 (n +2)!4n .
5.25. ∑ 1 4 7...(3n −2) . |
|||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
7 9 11...(2n +5) |
|
|||||||
∞ |
|
(3n n+22 )! . |
|
|
|||||
5.27. ∑ |
|
|
|
||||||
n=1 |
|
10 n |
|
|
|
|
|||
∞ |
|
n! |
3 |
n |
|
|
|
|
|
5.29. ∑ |
|
. |
|
|
|
||||
n |
+2 |
|
|
|
|||||
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
∞ |
1 4 7...(3n −2) |
|
|
||||||
5.31. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
2 |
n+1 |
n! |
|
|||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|||
5.18. ∑n!sin |
|
. |
|
|||||||||
|
n |
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
∞ |
5 |
n 3 |
n |
2 |
|
|
|
|
||||
5.20. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
||||||
(n +1)! |
||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|||||||||
∞ |
5 |
n |
(n |
+1)! |
|
|||||||
5.22. ∑ |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
(2n)! |
5.24. ∑3 5 7...(2n +1). |
|||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
2 5 8...(3n −1) |
|
|||||||
∞ |
|
2n! |
|
|
|
|
|
||
5.26. ∑ |
|
. |
|
|
|||||
|
|
||||||||
n=1 |
|
2n +3 |
|
|
|
|
|||
∞ |
4 |
n−1 |
n |
2 |
|
+5 |
|
|
|
5.28. ∑ |
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=2 |
|
(n −1)! |
|||||||
5.30. ∑n!(2n +1)!. |
|||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
( |
3n)! |
|
|
|
|
Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.
∞ |
|
1 |
n |
|
|
−n2 |
∞ |
|
1 |
|
|
1 n2 |
|
|
|||||||||||||||
6.1. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
6.2. ∑ |
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n=1 |
3 |
|
n +1 |
n=1 |
4 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||
∞ |
|
2n2 +1 n2 |
∞ |
|
|
4 |
|
2n |
n |
|
|
||||||||||||||||||
6.3. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
6.4. ∑n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
n |
2 |
+1 |
|
|
|
3n |
+5 |
|
|
|
||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
2n +1 |
n2 |
∞ |
2n +2 n |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
6.5. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
6.6. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1) |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n=1 |
3n −2 |
|
n=1 |
3n +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∞ |
4n −3 |
n3 |
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|||||||||||||
6.7. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
6.8. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||
5n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
n=1 |
10n + |
5 |
|
|
|
9
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||
6.9. ∑narcsinn |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|
|||||||||
∞ |
n −1 n |
n |
|
|
|||||||||||||||||||
6.11. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
n |
5 |
n |
|
|
|||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
3n +2 |
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
6.13. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n −1) |
|
. |
||||||||
|
4n −1 |
|
|
||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
n |
|
|
|
2n+1 |
|
|
|||||||||||||||
6.15. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
|
3n + |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n=1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.17. ∑ |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.19. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(ln n) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||||
6.21. ∑n3arctgn |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.23. ∑2n−1 e−n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2n |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|||||||||||||
6.25. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
4n +3 |
|
|
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2n |
|
|
|||||||||||
6.27. ∑ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
|
3n |
1 |
|
|
|||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6.29. ∑ |
n 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
||||
6.31. ∑n4arctg |
2n |
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|
Задача 7. Исследовать на сходимость ряд.
∑∞ n +2 n2
6.10. . n=1 3n −1
∑∞ 2n +3 n2
6.12. . n=1 n +1
∞ |
|
n +1 |
|
n2 |
|
|
|
|||||||||||||
6.14. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
2n −3 |
|
|||||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
2n −1 |
n 2 |
|
|
|
||||||||||||||
6.16. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
3n +1 |
||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||
6.18. ∑n2 sinn |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
n3 |
|
|
|
|||||||||
6.20. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
3n − |
|
|
||||||||||||||||||
n=1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
n |
5 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6.22. ∑ |
|
3 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
( |
2n +1) |
n |
|
|
|
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
|
|
3n −1 |
|
2n |
|||||||||||||||
6.24. ∑n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
4n |
+ |
|
2 |
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
n |
n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.26. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
n 2 |
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2n2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
n +1 n2 |
|
1 |
|
||||||||||||||||
6.28. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
n |
|
|
|
|
2 |
n |
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
n −2 |
3n |
||||||||||||||||
6.30. ∑3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
+1 |
||||||||||||||
n=2 |
|
|
2n |
|
|
10