Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кабардино-Балкарский Государственный Университет им. Х. Бербекова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Расчетные задания (Кузнецов) / 01-Пределы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

392.79 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

I. ПРЕДЕЛЫ Теоретические вопросы

1. Понятие числовой последовательности и ее предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

2. Понятие предела функции в точке. Понятие функции, ограниченной в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

3. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

4. Теорема о пределе промежуточной функции.

5. Понятие непрерывности функции. Доказать непрерывность функции cos x .

6. Первый замечательный предел lim sin x =1.

x→0 x

7.Понятие бесконечно малой функции. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой.

8.Теорема о сумме бесконечно малых функций.

9.Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.

10.Теорема об отношении бесконечно малой функции к функции, имеющей предел,

отличный от нуля.

11.Теорема о пределе суммы.

12.Теорема о пределе произведения.

13.Теорема о пределе частного.

14.Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. 15.Непрерывность суммы, произведения и частного.

16.Непрерывность сложной функции.

17.Понятие бесконечно большой функции. Теоремы о связи бесконечно больших функций с бесконечно малыми.

18.Сравнение бесконечно малых функций.

19.Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене бесконечно малых функций эквивалентными.

20.Условие эквивалентности бесконечно малых функций.

Теоретические упражнения

Доказать, что если lim a

= a , то lim

. Вытекает ли из существования

→ ∞

n → ∞

lim

существование lim a ?

n → ∞

У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство

−

≤

b −a

Доказать, что последовательность {n2 } расходиться.

Сформулировать на языке «ε −δ » утверждение: «Число A не является пределом

в точке x0 функции

f (x), определенной в окрестности точки x0 ».

Доказать, что если f (x) непрерывная функция, F (x)=

f (x)

есь также

непрерывная функция. Верно ли обратное утверждение?

Сформулировать на языке «ε −δ » утверждение: «Функция

f (x), определенная в

окрестности точки x0 , не является непрерывной в этой точке».

Пусть lim

f (x)≠ 0, а lim ϕ(x) не существует. Доказать, что lim

f (x)ϕ(x)

x → x0

не существует.

У к а з а н и е. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного.

7. Пусть функция f (x) имеет предел в точке x0 , а функция ϕ(x) не имеет предела.

Будут ли существовать пределы:

1)	lim f (x)	+ϕ(x) ;		2) lim f	(x)ϕ(x)?
	x → x			x → x
	0		0
Рассмотреть пример:		lim xsin	1	.
Рассмотреть пример:		lim xsin		.
		x → 0	x
8.	Пусть lim	f (x)≠ 0, а функция			ϕ(x) бесконечно большая при x → x0 .
	x → x0

Доказать, что произведение f (x)ϕ(x) является бесконечно большой функцией при

x→ x0 .

9.Является ли бесконечно большой при x → 0 функция 1x cos 1x ?

	10.Пусть α′(x) α(x)		и	β′(x) β (x) при x → x0 . Доказать, что если
lim	α′(x)	не существует, то	lim	α(x)	тоже не существует.
	β′(x)			β (x)
x → x0			x → x0

Расчетные задания

Задача 1. Доказать, что lim an

n→∞

1.1. a	n	=	3n −2	,	a =	3	.
			2n −1
					2

1.3. a			=			7n +4							,							a =			7				.
1.3. a			=										,							a =							.
	n					2n +1															2
						2n +1															2
1.5. a					=	7n −1						,								a = 7.
1.5. a					=							,								a = 7.
	n							n +1
								n +1
1.7. a			=			9 −n3					,								a =−			1				.
1.7. a			=								,								a =−							.
	n				1+2n3																2
1.9. a			=			1−2n2												,			a =−													1						.
1.9. a			=			2 +4n2												,			a =−																			.
	n					2 +4n2																									2
1.11.	a			=						n +1						,					a = −										1					.
1.11.	a			=				1−2n								,					a = −										2					.
		n						1−2n																							2
1.13. a				=			1−2n2							,						a =−2.
1.13. a				=										,						a =−2.
		n						n2 +3
								n2 +3
1.15.	a			=						n					,						a =			1				.
1.15.	a			=											,						a =							.
		n								3n −1											3
1.17.	a			=						4 +2n									,		a = −												2						.
1.17.	a			=															,		a = −																		.
		n								1 −3n																					3
1.19.	a			=						3−n2						,				a =−						1					.
1.19.	a			=			1+2n2									,				a =−						2					.
		n					1+2n2																			2
1.21. an				=						3n −1					,						a =				3				.
1.21. an				=						5n +1					,						a =								.
										5n +1											5
1.23.	a			=						1−2n2										,	a =−																1				.
1.23.	a			=						2 +4n2										,	a =−																				.
		n								2 +4n2																					2
1.25.	a			=					2 −2n								,				a = −											1						.
1.25.	a			=													,				a = −																	.
		n								3 +4n																					2
										3 +4n																					2
1.27.	a			=					1 +3n					,							a = −3.
1.27.	a			=										,							a = −3.
		n								6 −n
										6 −n
1.29.	a		=							3n2 +2										,	a =									3					.
1.29.	a		=																	,	a =														.
		n								4n2 −1																4
										4n2 −1																4
1.31.	a =									2n3						,					a =2.
1.31.	a =															,					a =2.
		n								n3 −2
										n3 −2

= a (указать N (ε)).

1.2. a

4n −1

a = 2.

2n +1

1.4. an

2n −5

a =

3n +1

1.6.

a =

4n2 +1

a =

3n2 +2

1.8. a

4n −3

a = 2.

2n +1

1.10.

= −

a = −5.

n +1

1.12.

2n +1

a =

3n −5

1.14.

3n2

a =−3.

2 −n2

1.16. a

3n3

a =3.

n3 −1

1.18. an

5n +15

a = −5.

6 −n

1.20. an

2n −1

a = −

2 −3n

1.22. a

4n −3

a = 2.

2n +1

1.24. a

5n +1

a =

10n −3

1.26. an

23 −4n

a = 4.

2 −n

1.28. a

2n +3

a = 2.

n +5

1.30.

2 −3n2

a =−

4 +5n2

Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.

2.1.

lim

(3 −n)2 +(3 +n)2

2.2.

lim

(3 −n)4 −(2 −n)4

n → ∞ (3 −n)2 −(3 +n)2

n → ∞ (1 −n)4 −(1 +n)4

2.3.

lim

(3 −n)4 −(2 −n)4

2.4.

lim

(1 −n)4 −(1 +n)4

n → ∞ (1 −n)3 −(1 +n)3

n → ∞ (1 +n)3 −(1 −n)3

2.5.

lim

(6 −n)2 −(6 +n)2

2.6.

lim

(n +1)3 −(n +1)2

n → ∞ (6 +n)2 −(1 −n)2

n → ∞ (n −1)3 −(n +1)3

(1 +2n)3 −8n3

(3 −4n)2

2.7.

lim

2.8.

lim

3)3

n → ∞ (1 +2n)2 + 4n2

n → ∞ (n −3)3 −(n +

(3 −n)3

(n +1)2

+(n −1)2 −(n +2)3

2.9. lim

2.10. lim

(4 −n)3

n → ∞ (n +1)2 −(n +1)3

n → ∞

2.11. lim

2(n +1)3 −(n −2)3

2.12. lim

(n +1)3

+(n +2)3

n2 +2n −3

(n +4)3

+(n +5)3

n → ∞

2.13. lim

(n +3)3 +(n +4)3

2.14. lim

(n +1)4

−(n −1)4

(n +3)4 −(n +

4)4

(n +1)3

+(n −1)3

n → ∞

2.15. lim

8n3 −2n

2.16. lim

(n +6)3 −(n +1)3

(n +1)4 −(n −1)4

(2n +3)2 +(n +4)2

n → ∞

2.17. lim

(2n −3)3 −(n +5)3

2.18. lim

(n +10)2 +(3n +1)2

(3n −1)3 +(2n +3)3

(n +6)3 −(n +1)3

n → ∞

2.19. lim

(2n +1)3 +(3n +2)3

2.20. lim

(n +7)3 −(n +2)3

(2n +3)3 −(n −7)3

(3n +2)2 +(4n +1)2

n → ∞

(2n +1)3 −(2n +3)3

n3 −(n −1)3

2.21. lim

2.22. lim

(2n +1)2 +(2n +3)2

(n +1)4

n → ∞

−n4

2.23. lim

(n +2)4 −(n −2)4

2.24. lim

(n +1)4

−(n −1)4

(n +5)2 +(n −

5)2

(n +1)3

+(n −1)3

n → ∞

2.25. lim

(n +1)3 −(n −1)3

2.26. lim

(n +1)3

−(n −1)3

(n +1)2 −(n −1)2

(n +1)2

+(n −1)2

n → ∞

2.27. lim

(n +2)3 +(n −2)3

2.28. lim

(n +1)3

+(n −1)3

n4 +2n2 −1

−3n

n → ∞

2.29. lim	(n +1)3 +(n −1)3	.	2.30. lim	(n +2)2	−(n −2)2	.
2.29. lim	n3 +1	.	2.30. lim	(n	+3)2	.
n → ∞	n3 +1		n → ∞	(n	+3)2
2.31. lim	(2n +1)2 −(n +1)2		.
2.31. lim	n2 +n +1		.
n → ∞	n2 +n +1

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

3.1.

lim

n 3 5n2 +

4 9n8 +1

(n + n )

7 −n +n2

n → ∞

3.3.

lim

+1 −

n −1

+1 −

n −1

n → ∞ 3 n3

3.5.

lim

3n −1 − 3 125n3 +n

−n

n → ∞

3.7.

lim

n +2 −

n2 +2

n → ∞ 4 4n4 +1 −

3 n4 −1

3.9.

lim

6n3

− n5 +1

4n6 +3 −n

n → ∞

3.11. lim

n 4 3n +1 + 81n4 −n2 +1

(n + 3 n )

5 −n +n2

n → ∞

3.13. lim

n5 +3 −

n −3

n −

n → ∞ 5 n5 +3 +

3.15. lim

4n +1 −

3 27n3 +4

4 n − 3 n5 +n

n → ∞

3.17. lim

3 n3 −7 + 3 n2 +4

4 n5 +5 +

n → ∞

3.19. lim

4n2 −

4 n3

n → ∞ 3 n6 +n3 +1 −5n

3.2.

lim

n −1 −

n2 +1

+3 +

n → ∞ 3 3n3

4 n5 +1

3 n2

−1 +7n3

3.4.

lim

n → ∞ 4 n12

+n +1 −n

3.6.

lim

n 5

n − 3 27n6 +n2

+ 4 n )

9 +n2

n → ∞

3.8.

lim

+2 +

n −2

+2 +

n −2

n → ∞ 4 n4

3.10. lim

5n +2 −

3 8n3 +5

n +7 −n

n → ∞

3.12. lim

n +3 −

n2 −3

−4 −

4 n4 +1

n → ∞ 3 n5

n −9n2

3.14. lim

− 4 9n8

n → ∞ 3n

3.16. lim

n 3

7n − 4

81n8 −1

+4 n ) n2 −

n → ∞

3.18. lim

+4 +

n −4

+6 −

n −6

n → ∞ 5 n6

3.20. lim

n +3 − 3

8n3 +3

+4 − 5 n5 +5

n → ∞ 4 n

3.21. lim

n 4 11n + 25n4 −81

3.22. lim

3 n2 − n2 +5

(n −

7 n )

n2 −n +

5 n7 − n +1

n → ∞

3.23. lim

+5 − n −5

3.24. lim

3 n2 +2 −5n2

+5 +

n −5

n → ∞ 7 n7

n → ∞ n − n4 −n +1

3.25. lim

n +2 − 3 n3 +2

3.26. lim

n 71n −

3 64n6 +9

(n − 3 n )

n → ∞ 7 n +2 − 5 n5 +2

n → ∞

11 +n2

3.27. lim

n +6 − n2 −5

3.28. lim

n8 +6 − n −6

8 n8 +6 +

n −6

n → ∞ 3 n3

+3 + 4 n3 +1

n → ∞

3.29. lim

n2 − n3 +1

3.30. lim

n +1 − 3 n3 +1

+2 −n

4 n +1 − 5 n5 +

n → ∞ 3 n6

n → ∞

3.31. lim

n 6 n + 3 n10 +1

n → ∞

(n + 4 n ) 3 n3 −1

Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

4.1. nlim→ ∞ n( n2 +1 +

)

n2 −1).

4.2. nlim→ ∞ n(

n(n −2)−

n2 −3 ).

n → ∞

(

n → ∞

(

)(

)

4.3.

lim

n −

−5

n n.

4.4.

lim

−

4 −

−9

4.5.

lim

n5 −8 −n n

(

)

4.6.

lim

n2 −3n +2 −n .

n → ∞

n → ∞(

)

4.7.

lim

(

n + 3

4 −n3

)

4.8.

lim

n(n +2)

− n2 −2n +3

n → ∞

(

)

(

)

n → ∞

4.9.

n → ∞

(n +1)

−

lim

−1

(n +3) .

4.10. nlim→ ∞ n2 (

n(n4 −1)−

n5 −8 ).

4.11. nlim→ ∞ n(3 5 +8n3

−2n).

4.12. nlim→ ∞ n2 (3 5 +n3

− 3 3 +n3 ).

4.13. lim	3	(n +2)2	− 3 (n −3)2 .
n → ∞

4.15. nlim→ ∞(

n2 +3n −2 −

n2 −3 ).

4.17. lim

(

)

−

(

)(

n4 −1 n2

n → ∞

4.18. nlim→ ∞(

(

n (n +5)−n).

(

4.20. lim

)(

)

−

n3 +1 n2

n → ∞

4.14. lim	(n +1)3 − n(n −1)(n −3)	.

	n
n → ∞	n
n → ∞
4.16. nlim→ ∞	n ( n +2 − n −3 ).

n → ∞	n3 +8	(	n3 +2 −	n3 −1	)	.
4.19. lim

	n → ∞ (		2	)(		2		)		(		2	)(	2
4.21.	lim	n		+1	n		+2		−		n		−1 n

4.22. lim	(	n5	)(		n2	)	(	n4	).
		n5	+1		n2	−1 −n n		n4	+1
n → ∞						n
	(	n4	+1		n2	−1 − n6	−1
4.23. lim	(		)(			)			.
4.23. lim						n			.
n → ∞						n
4.25. nlim→ ∞ n3 (3 n2 (n6 +4)− 3 (n8 −1)).
4.27. nlim→ ∞	3 n (3 n2			− 3 n(n −1)).
4.29. nlim→ ∞ n( n4 +3 −						n4 −2 ).

−2) .

4.24. lim	n	−		n		(n −1) .
n → ∞
4.26. lim	n		n	−		n (n +	1)(n +2) .
n → ∞					(			)
n → ∞	n		+ 2		(	n +3 −	n −4	)	.
4.28. lim	n		+ 2			n +3 −	n −4		.

n → ∞	n(n +1)(n + 2)					(	n3 −3 − n3 −2		)
4.30. lim	n(n +1)(n + 2)						n3 −3 − n3 −2			.
	(	n2	+5	)(	n4 +2	)	− n6 −3n3 +5
4.31. lim	(			)(		)		.
4.31. lim					n			.
n → ∞					n

Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

+...

n −1

5.1.

lim

n → ∞

5.3.

lim

1 +3 +5 +7 +... +(2n −1)

−

n → ∞

n +1

5.4.

lim

2n+1 +3n+1

n → ∞

2n +3n

5.6.

lim

1 +3 +5 +... +(2n −1)

n → ∞

1 +2 +3 +.. +n

	5.2. lim	(2n +1)!+(2n +2)!.
	n → ∞	(2n +3)!
2n +1	.
	.
2

5.5. lim 1 +2 +3 +... +n .
n → ∞	9n4 +1

	1 +3 +5 +7 +... +(2n −1)
5.7. lim					−n .
				n +3
n → ∞
5.9. lim (n +4)!−(n +2)!.
n → ∞			(n +3)!
5.11. lim		2n	−5n+1	.
		2n+1	+5n+2
n → ∞

5.8. lim	1 +4 +7 +... +(3n −2)										.

n → ∞				5n4 +n +1
5.10. lim		(3n −1)!+(3n +1)!							.

n → ∞			(3n)!(n −1)
1 +			1	+	1	+... +		1
			3		2			n
5.12. lim					3			3		.
			1		1
n → ∞1 +				+			+... +	1
			5		52			5n

5.13. lim

−3 +5 −7 +9 −11 +... +(4n −3)−(4n −1)

n → ∞

n2 +1 + n2 +n +1

5.14. lim

−2 +3 −4 +... +(2n −1)−2n

n → ∞

9n4 +1

5.15. lim

3 n3 +5 −

3n4 +2

5.16. lim

3n −2n

+3 +5 +... +(

2n −1)

n → ∞

n → ∞ 3n−1 +2n

n +2

−

+... +

3n +2n

5.17. lim

5.18. lim

...n

n → ∞

1 +2 +3 +

n → ∞

5.19. lim

2 −5 + 4 −7 +... + 2n −(2n +3)

5.20. lim

(2n +1)!+(2n +2)!

n → ∞

n +3

n → ∞ (2n +3)!−(2n +2)!

5.21. lim	1 +2 +... +n								.
5.21. lim									.
n → ∞		n −n2 +3
		3	+		5	+	9	+... +			1 +2	n
5.23. lim		3			5		9				1 +2		.
5.23. lim		4		16			64				n		.
n → ∞		4		16			64			4
5.25. lim	1 +5 +9 +13 +... +(4n −3)													−

							n +1
n → ∞							n +1

5.26. lim

1 −2 +3 −4 +... −2n

n → ∞

3 n3 +2n +2

5.28. lim

n!+(n +2)!

(n −1)!+(n +2)!

n → ∞

+... +

5.30. lim

n → ∞

100


5.22. lim		n2 + n −1		.
5.22. lim				.
	n → ∞ 2 +7 +12 +.. +(5n −3)
5.24. lim		2 +4 +6 +... +2n	.
5.24. lim		+3 +5 +.. +(2n −1)	.
	n → ∞1	+3 +5 +.. +(2n −1)
4n +1
4n +1	.
2	.
2

2n +7n

5.27. lim − .

n → ∞ 2n −7n 1

5.29. lim	3 +6 +9 +... +3n			.
5.29. lim				.
n → ∞		n2 + 4
		2 +4 +... +2n
5.31. lim			−n .
5.31. lim		n +3	−n .
n → ∞		n +3

Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.

n +1 n

2n +3 n+1

6.1.

lim

6.2.

lim

2n +

n → ∞ n −1

n → ∞

n2 −1 n4

n −1 n+2

6.3.

lim

6.4.

lim

n → ∞

n → ∞ n +3

−6n +7

−n+1

6.5.

lim

6.6.

lim

+20n −1

n → ∞

n2 −3n +6

n / 2

n −10 3n+1

6.7.

lim

6.8.

lim

+5n +1

n → ∞ n

n → ∞

n +1

6n −7 3n+2

3n2 +4n −1

2n+5

6.9. lim

6.10. lim

+ 2n +7

n → ∞

6n +4

n → ∞

+n +1

−n2

+5n +7

6.11. lim

6.12. lim

+n −1

+5n +3

n → ∞

6.13. lim n −1 n2 . n → ∞ n +1

6.15. lim 3n +1 2n+3 . n → ∞ 3n −1

n +3

n+4

6.17. lim

n → ∞ n +5

+21n −7

2n+1

6.19. lim

+18n +9

n → ∞

−5n

n+1

6.21. lim

n → ∞

3n −5n +7

−6n +

3n+2

6.23. lim

−5n +5

n → ∞ n

+18n −15

n+2

6.25. lim

+11n +15

n → ∞

n +1

2n2

6.27. lim

n → ∞

+2n +3

3n2 −7

6.29. lim

+2n +1

n → ∞

+4n −1

1−2n

6.31. lim

+ 2n +3

n → ∞

Задача 7. Доказать (найти δ(ε)), что:

7.1.

lim

2x2 +5x −3

= −7.

x +

x → -3

7.3.

lim

3x2 +5x −2

= −7.

x +

x → -2

3n −1

6.14. lim

+3n +3

n → ∞

7n −1

−n2

6.16. lim

+3n −1

n → ∞

2n−n3

6.18. lim

−1

n → ∞ n

10n −3 5n

6.20. lim

10n −

n → ∞

n +3

−n2

6.22. lim

n → ∞ n +

n +4

6.24. lim

n → ∞ n +

2n −1

n+1

6.26. lim

2n +1

n → ∞

13n +3

n−3

6.28. lim

13n −10

n → ∞

n +5

n / 6+1

6.30. lim

n → ∞ n −

7.2. lim	5x2	−4x −1	= 6.
		x −1
x → 1
7.4. lim	4x2	−14x +6		=10.
		x −3
x → 3

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Расчетные задания (Кузнецов)

#
09.02.2015392.79 Кб1601-Пределы.pdf
#
09.02.2015393.84 Кб1102-Дифференцирование.pdf
#
09.02.2015267.76 Кб1103-Графики.pdf
#
09.02.2015390.9 Кб1404-Интегралы.pdf
#
09.02.2015353.79 Кб1406-Ряды.pdf
#
09.02.2015291.1 Кб1109-Аналитическая геометрия.pdf