Расчетные задания (Кузнецов) / 02-Дифференцирование
.pdf13.25. y = |
1 − x2 |
+arcsin x. |
13.26. y = x |
2 |
arccos x − |
x2 +2 |
1 |
− x |
2 |
. |
x |
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3 |
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13.27. y = |
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x2 +2 |
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− |
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1 |
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ln |
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2 + x2 +2 |
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x2 |
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2 |
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x |
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13.28. y = |
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x |
(10 − x |
2 |
) |
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4 − x |
2 |
+6arcsin |
x |
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4 |
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2 |
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13.29. y = arcsin |
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1 |
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+ |
2 x2 |
+3x + 2, |
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2x +3 > 0. |
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2x +3 |
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13.30. y = x arcsin |
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x |
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− |
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x +arctg |
x. |
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x +1 |
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13.31. y = |
arcsin x |
+ |
1 |
ln |
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1− x |
. |
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2 |
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1− x2 |
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1+ x |
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Задача 14. Найти производную. |
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14.1. |
y = |
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1 |
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ln |
(tg x +ctgα). |
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14.2. y = x cosα +sinαln sin (x −α). |
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sinα |
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||||||
14.3. |
y = |
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1 |
sin ln x −( |
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2 − |
1) cos ln x x 2+1. |
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2 |
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2 |
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14.4. y |
= arctg |
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cos x |
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4 cos 2x |
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14.5. y =3 |
sin x |
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sin x |
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14.6. y =(a |
2 |
+b |
2 |
) |
−1 2 |
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a2 |
+b2 sin x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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+2 |
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. |
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arcsin |
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. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
2 |
x |
|
cos |
4 |
x |
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b |
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14.7. y = |
7x (3sin 3x +cos3x ln 7) |
. |
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14.8. y |
= ln |
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sin x |
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. |
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cos x + |
cos 2x |
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9 +ln2 7 |
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14.9. y = |
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1 |
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arctg(a cos x)+a lntg |
x |
. |
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+ |
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2 |
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a |
1 |
a |
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|
) |
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2 |
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( |
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14.10. y = − |
|
1 |
|
− |
|
1 |
|
|
+ |
1 |
ln |
|
1 +sin x |
. |
||||||||||||||||
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3sin3 x |
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sin x |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||
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1−sin x |
||||||||||||||||
14.11. y = 1 + x2 |
|
|
) |
earctg x . |
|
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14.12. y = |
ctg x + x |
. |
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( |
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1− x ctg x |
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1 |
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2xsin |
α |
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x4 +1 − x2 |
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|||||||
14.13. y = |
|
|
|
arctg |
|
2 |
. |
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|
14.14. y = arctg |
|
|
|
|
, x > |
0. |
||||||||||||||
|
|
α |
1 − x2 |
|
|
|
|
|
x |
|
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|||||||||||||||||||
|
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|||||||
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2sin 2 |
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|||
14.15. y = |
6x (sin 4x ln 6 −4cos 4x) |
. |
14.16. y = arctg |
|
|
2 tg x |
. |
|
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|||||||||||||
|
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|
16 +ln2 6 |
|
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1 |
−tg x |
|
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||||||||||
|
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||||||||
14.17. y = arctg |
|
2sin x |
. |
|
|
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|
14.18. y = |
5x (2sin 2x +cos 2x ln 5) |
. |
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||||||||||||||||||
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||||||||||||||
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9cos2 x −4 |
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|
4 +ln2 5 |
|
|
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|
|
|
|
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|
||||||
14.19. y = ln |
2 + th x |
. |
|
|
|
|
|
14.20. y = |
3x (4sin 4x +ln 3 cos 4x) |
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
|
|
2 −th x |
|
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|
16 +ln2 3 |
|
|
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|
|
|
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||||||||
14.21. y = |
4x (ln 4 sin 4x −4cos 4x) |
. |
14.22. y = |
cos x |
−2cos x −3lntg |
x |
. |
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
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16 +ln2 4 |
|
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|
sin2 x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
14.23. y = |
5 |
x |
(sin 3x ln 5 −3cos3x) |
|
|
14.24. y = x −ln 1+ex |
) |
−2e− |
x |
x |
||||||||||||||||||||
|
. |
|
2 |
arctge |
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 +ln2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.25. y = |
|
2x (sin x +cos x ln 2) |
. |
||||||
1 |
+ln2 2 |
||||||||
|
|
||||||||
14.27. y = |
2 |
cos x |
|
+3 |
cos x |
. |
|
||
sin4 x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
sin2 x |
|
14.28.
14.29. y = 3x (ln 3 sin 2x −2cos 2x). ln2 3 +4
14.31. y = |
tg x + |
2 tg x +1 |
. |
tg x − |
|
||
|
2 tg x +1 |
14.26. y = ln (ctg x +ctgα). sinα
y = |
cos x |
4 |
|
|
|
2 tg (x 2)+1 |
|
||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
. |
||
3(2 +sin x) |
3 3 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||
14.30. y = |
1 |
ln |
1+cos x |
|
− |
1 |
|
− |
1 |
. |
|
|
|||
|
1−cos x |
cos x |
3cos3 x |
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Задача 15. Найти производную y′x .
|
3t |
2 |
+3 |
|
1 |
, |
||
x = |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3t |
|
|
|
|
|||
15.1. |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y =sin |
t |
|
|
+t . |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
−t |
2 |
, |
x = 1 |
|
||
15.2. |
1+t. |
||
y = tg |
|||
|
|
|
|
x = |
|
2t −t2 , |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
15.3. |
y = |
|
|
|
. |
|
||
|
3 |
(1−t )2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1), |
|
x = ln (t + t |
|
|
||||||
15.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
+1. |
|
|
|
y =t |
|
|
|
|
x = ctg (2et ),
y = ln (tget ).
x = arctget2 ,
15.9.
y = et +1.
x = ln 1 ,
1−t4
y = arcsin 1+−t2 .
1 t2
|
|
|
|
2 |
), |
x = arcsin ( 1−t |
|
||||
15.13. |
(arccost )2 . |
|
|
||
y = |
|
|
|||
x = |
(1+cos2 t )2 , |
|
|
||
15.15. |
|
cost |
|
|
|
y = |
|
|
. |
|
|
|
sin2 t |
|
|
||
|
|
|
|
|
x = arccos1t ,
y = t2 −1 +arcsin 1t .
(sin t ),
y = arccos(cost ).x = arcsin
|
|
2t −t |
2 |
, |
|
|
|
||||||||||
x = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
15.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = arcsin (t −1). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ln (ctg t ), |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.8. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1−t |
|
|
|
||||||
x = ln |
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||
|
|
|
|
1+t |
|||||||||||||
15.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1−t |
2 |
. |
|
|
|
||||||||||
y = |
|
|
|
|
|
||||||||||||
x = |
1−t2 , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.12. |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||
y = |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 −t2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||
1−t2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15.14. |
|
|
1 |
+ |
|
|
|
1 −t2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y = ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1−t |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x = ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||
1 |
+t |
|
|
|
|||||||||||||
15.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 −t |
2 |
. |
|
|
|
||||||||||
y = |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
15.18. |
|
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
−t2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y = ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t , |
|
|
x = arcsin |
|
|
|||
15.19. |
1 + |
t . |
|
|
|
y = |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x =t |
t2 +1, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
15.21. |
|
1 + |
1 +t |
2 |
|
y = ln |
|
. |
|||
|
t |
|
|||
|
|
|
|
|
x = ln (1 −t2 ),
15.23.
y = arcsin 1−t2 .
|
|
|
|
|
1−sin t |
|
|||
x = ln |
|
|
, |
||||||
|
1+sin t |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
15.25. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
y = |
|
|
tg |
|
t |
+ln cost. |
|||
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = lntg t, |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
15.27. |
|
|
|
|
|
|
|
||
y = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
sin |
2 |
t |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
sec2 t |
, |
|
|
|
|
|
|
x = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
15.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = tg t ln cost + tg t −t. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ln (t + 1+t2 ), |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.31. |
|
|
|
|
1+ |
1+t2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
y = |
1+t |
|
−ln |
|
|
|
. |
|
|
|
|
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
(arcsin t )2 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.20. |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 −t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x = arctg t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
15.22. |
|
|
|
|
1+t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = ln |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x = arctg |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
t |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
15.24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−t |
2 |
. |
|
|
|
|
||
y = arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
t −t2 |
|
|
|
|
|
|
|
1−t |
|
|
|
|||||
x = |
|
|
|
|
−arctg |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||||||||
15.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t − |
|
|
|
1−t arcsin t. |
|
|
||||||||||
y = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
t |
2 |
ln t |
|
|
+ln 1−t2 , |
|
|
|
||||||||||
x = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15.58. |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin t +ln |
1−t2 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1−t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin t +ln |
1−t |
|
, |
|||||
|
|
1−t2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15.30. |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1−t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке,
соответствующей значению параметра t =t0 .
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a sin |
t, |
|
|
|
|
x = 3 cost, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
16.1. |
|
|
t |
|
=π |
3. |
16.2. |
t |
|
=π 3. |
y = a cos3 t, |
0 |
y =sin t, |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a (t −sin t ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.3. |
y = a (1−cost ), |
|
t |
|
|
= |
π 3. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t +t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1+t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16.5. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2t −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
t0 =1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1+t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x =t (t cost −2sin t ), |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.7. |
y =t (t sin t +2cost ), |
|
t |
|
=π 4. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2ln (ctg t )+ctg t, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
16.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = tg t +ctg t, |
|
|
=π 4. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
x = at cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
16.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 =π 2. |
|
|
|
|||||||||
y = at sin t, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
+t2 |
|
|
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|||||
16.13. |
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1 |
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y = arccos |
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|
|
, |
|
t |
|
=1. |
|
|||||||||||||||
|
|
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0 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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1+t |
2 |
|
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|||||
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||||
x = |
1 +t |
, |
|
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||||||||
|
t2 |
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|||||||
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|||
16.15. |
|
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3 |
|
|
|
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2 |
|
|
|
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|
|
|
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||||||
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|
|
||||||||
y = |
|
2t |
2 |
+ |
|
|
t |
, |
|
t0 |
|
= 2. |
|
|
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|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||
x = a (t sin t +cost ), |
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
16.17. |
y = a (sin t −t cost ), |
|
t |
|
=π |
4. |
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x =1 −t |
|
|
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||||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
16.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y =t −t3 , t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = 2t −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16.4. |
3t −t3 , t |
|
|
=1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
y = |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t2 |
|
|
|
||||||||
16.6. |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
1 |
|
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|
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|
|
|
y = arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
t |
|
= −1. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1+t |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
x = |
|
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|
, |
|
|
|
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|
|
|
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1+t |
|
2 |
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16.8. |
|
3at2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|||||||
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
t0 |
= 2. |
|
|
|
||||||||
1 +t |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x = |
1 |
t2 − |
1 |
t4 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = |
|
|
|
t |
|
|
+ |
|
|
|
|
t |
|
, t0 = 0. |
|||||||||||||
2 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x =sin t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
16.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
=π 6. |
|
|
||||||||
y = cost, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x = |
1+ln t |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16.14. |
|
|
|
3 +2ln t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
t0 |
=1. |
|
|||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a sin |
t, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16.16. |
|
|
|
|
|
|
t |
|
=π 6. |
||
y = a cos3 t, |
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
t +1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16.18. |
t −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = |
|
|
, |
|
t0 |
= −1. |
|||||
t |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
), |
|
|
|
|
|
x = ln (1 +t |
|
|
|
|
|
||||||
16.20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
=1. |
y =t −arctg t, |
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =t (1−sin t ), |
|
16.21. |
|
y =t cost, t0 |
= 0. |
|
1+t |
3 |
|
|
||
x = |
|
|
, |
|||
2 |
1 |
|||||
|
t |
|
− |
|
||
16.22. |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
, t0 = 2. |
t |
2 |
−1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
x =3cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x =t −t |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
16.23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
=π 4. |
|
|
16.24. |
−t3 , |
t |
|
=1. |
|||||||||
y = 4sin t, |
|
|
|
|
y =t2 |
0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =t |
+1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2cost, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
16.25. |
|
|
|
|
+t + |
1, |
t |
|
=1. |
|
|
16.26. |
|
|
|
|
|
t0 = −π 3. |
||||||||||
y =t2 |
0 |
|
|
y =sin t, |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2 tg t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x =t3 |
+1, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
16.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = 2sin |
2 t |
+sin 2t, t |
|
=π 4. |
16.28. |
, |
|
|
t |
|
= −2. |
|||||||||||||||||
|
0 |
y =t2 |
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x =sin t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =sin t, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
16.29. |
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
16.30. |
|
|
|
|
|
t0 |
|
|||||
y = at , |
|
= 0. |
|
|
|
|
y = cos 2t, |
=π 6. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2e |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16.31. |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = e−t , |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
Задача 17. Найти производную n -го порядка. |
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|||||||||||||||||||
17.1. y = x eax . |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
17.2. y =sin 2x +cos(x +1). |
|||||||||||||||||
17.3. y = 5 e7 x−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17.4. y = |
4x +7 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +3 |
|
|
|
|
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|
||||
17.5. y = lg (5x +2). |
|
|
|
|
|
17.6. y = a3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
17.7. y = |
|
|
|
x |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
17.8. y = lg (x +4). |
|
|
|||||||||||
2 |
(3x +2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
17.9. y = |
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17.10. y = |
2x +5 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13(3x +1) |
|
17.11.y = 23x+5.
17.13.y = 3 e2 x+1 .
17.15. y = lg (3x +1).
17.12.y =sin (x +1)+cos 2x.
17.14.y = 45+x15+1x .
17.16.y = 75 x.
17.17. y = |
|
x |
17.18. y = lg (1 + x). |
||||
|
|
. |
|||||
9(4x +9) |
|||||||
17.19. y = |
4 |
. |
17.20. y = |
5x +1 |
|||
|
|
|
. |
||||
x |
13(2x +3) |
||||||
17.21. y = a2 x+3. |
17.22. y =sin (3x +1)+cos5x. |
||||||
17.23. y = |
|
e3x+1 . |
17.24. y = |
11+12x |
. |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
6x +5 |
17.25. y = lg (2x
17.27. y = x x+1.
17.29. y =11+− xx .
17.31. y = 32 x+5.
Задача 18.
+7). |
17.26. |
y = 2kx. |
|
17.28. |
y = log3 (x +5). |
17.30. y = |
7x +1 |
|
|
. |
|
17(4x +3) |
Найти производную указанного порядка.
18.1. y =(2x2 −7)ln (x −1), |
yV |
=? |
18.2. y =(3 − x2 )ln2 x, |
yIII |
=? |
||||||||||||||||
18.3. y = x cos x2 , |
yIII =? |
|
|
18.4. y = |
|
ln (x −1) |
, |
|
yIII =? |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|||
18.5. y = |
log2 x |
, |
yIII =? |
|
|
18.6. y =(4x3 +5)e2 x+1, |
yV |
=? |
|||||||||||||
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.7. y = x2 sin (5x −3), |
yIII |
=? |
|
18.8. y = |
ln x |
, yIV |
=? |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.9. y =(2x +3)ln2 x, |
yIII =? |
|
18.10. y =(1+ x2 )arctg x, |
yIII =? |
|||||||||||||||||
18.11. y = |
ln x |
, |
yIV =? |
|
|
|
18.12. y =(4x +3) 2−x , |
yV |
=? |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.13. y = e1−2 x sin (2 +3x), |
yIV |
=? |
18.14. y = |
|
ln |
(3 + x) |
, |
yIII |
=? |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 + x |
|||||||||||||||||||
18.15. y =(2x3 +1)cos x, |
yV |
=? |
|
18.16. y =(x2 +3)ln |
(x −3), |
yIV =? |
|
( |
|
|
|
) |
e(x−1) 2 , |
yIV =? |
||||
18.17. y = |
|
1 − x − x2 |
|
|
|||||||
18.19. y =(x +7)ln (x +4), |
yV |
=? |
|||||||||
18.21. y = |
ln (2x +5) |
, yIII =? |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2x +5 |
|
|
|
|
|
|
||
18.23. y = |
ln x |
, yIII |
|
=? |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
( |
x5 |
|
|
) |
|
|
|
|||
18.25. y = |
|
|
|
|
|
|
yV |
=? |
|||
|
|
x2 +3x +1 e3x+2 , |
|||||||||
18.27. y = |
ln (x −2) |
, |
|
yV |
=? |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
||
y = e−x (cos 2x −3sin 2x), |
yIV |
=? |
|||||||||
18.29. y =( |
5x −1)ln2 x, |
yIII |
=? |
|
|||||||
18.31. y =(x3 +3)e4 x+3 , |
yIV |
=? |
|
18.18. y = |
1 |
sin 2x, yIII =? |
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
18.20. y =(3x −7) 3−x , |
yIV |
=? |
||
18.22. y = ex 2 sin 2x, |
yIV =? |
|||
18.24. y = x ln (1−3x), |
yIV |
=? |
||
18.26. y =(5x −8) 2−x , |
yIV |
=? |
||
18.28. |
|
|
|
|
18.30. y = |
log3 x |
, yIV |
=? |
|
x2 |
||||
|
|
|
Задача 19. Найти производную второго порядка y′xx′ от функции, заданной параметрически.
x = cos 2t,
19.1.
y = 2sec2 t.
x = et cost,
19.3.
y = et sin t.
x =t +sin t,
19.5.
y = 2 −cost.
|
t , |
x = |
|
19.7. |
1 −t . |
y =1 |
|
|
|
x = tg t,
y =1sin 2t .
|
−t |
2 |
, |
x = 1 |
|||
|
|
|
19.2.
y =1t .
x =sh2 t,
y =1ch2 t .
|
x =1 t , |
|
19.6. |
|
(1+t2 ). |
y =1 |
||
|
|
|
|
x =sin t, |
|
19.8. |
|
|
|
y =sect. |
|
|
|
t −1, |
|
x = |
|
19.10. |
1−t . |
|
|
y =t |
|
|
|
|
x =
y =
x =
y =
x =
y =
x =
y =
x =
y =
x =
y =
x =
y =
x =
19.25.
y =
x =
19.27.
y =
x =
19.29.
y =
x =
19.31.
y =
t ,
3 t −1.
t3 −1, ln t.
t −1, 1 t .
t −3, ln (t −2).
t +sin t, 2 +cost.
cost, ln sin t.
et , arcsin t.
ch t,
3 sh2 t.
2(t −sin t ),
4(2 +cost ).
1t2 ,
1 (t2 +1).
ln t, arctg t.
x = cost (1+2cost ),
y =sin t(1 +2cost ).
x =sh t,
y = th2 t.
x = cos2 t,
19.16.
y = tg2 t.
x =sin t,
19.18.
y = ln cost.
x =t −sin t,
19.20.
y = 2 −cost.
x = cost +t sin t,
19.22.
y =sin t −t cost.
x = cost,
19.24. y =sin4 (t2).
x = arctg t,
19.26.
y =t2 2.
x =sin t −t cost,
y = cost +t sin t.
x = cost +sin t,
y =sin 2t.
|
Задача 20. Показать, что функция y удовлетворяет уравнению (1). |
|||||||||
|
y = x e−x2 2 , |
|
|
|
20.2. y = |
sin x |
, |
|||
20.1. |
′ |
|
2 |
) |
|
|
x |
|
||
|
xy = |
1 − x |
y. |
(1) |
xy′+ y |
= cos x. (1) |
||||
|
|
|||||||||
|
|
( |
|
|
|
y =5e−2 x +ex 3,
20.3.y′+2 y = ex . (1)
20.5.y = x 1− x2 ,
yy′ = x −2x3. (1)
20.7.y = −3x1+c , y′ =3y2 . (1)
y = x2 −cx,
20.9. (x2 + y2 )dx −2xydy = 0. (1)
20.11. |
y = etg(x 2) |
, |
||
y′sin x = y ln y. (1) |
||||
|
||||
|
y = |
b + x |
, |
|
20.13. |
|
|||
1+bx |
|
y − xy′ =b(1+ x2 y′). (1)
20.15.y = ln 1+2ex 2 +1,
(1+ex )yy′ = ex . (1)
|
y = − |
|
2 |
−1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
20.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1+ y2 + xyy′= 0. |
(1) |
|
||||||||||||||
20.19. y = a + |
7x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ax +1 |
|
|
|
) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
′ |
( |
|
|
2 |
|
′ |
|
|
|||||
|
y − xy |
= a 1+ x |
y |
|
|
. |
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y = 4 |
|
x + |
x +1, |
|
|
|
|
|
||||||||
20.21. |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8xy |
− y = y3 |
|
x +1 . |
(1) |
||||||||||||
|
|
|
y = 2 +c 1− x2 ,
20.4.(1− x2 )y′+ xy = 2x. (1)
20.6.y = cosc x ,
y′−tg x y = 0. (1) y = ln (c +ex ),
20.8.y′ = ex−y . (1)
y= x(c −ln x),
20.10.(x − y)dx + xdy = 0. (1)
20.12.y =11+− xx ,
y′ =1+ y2 . (1) 1+ x2
y= 3 2 +3x −3x2 ,
20.14.yy′ =1−y2x . (1)
y= tg ln 3x,
20.16. (1+ y2 )dx = xdy. (1)
20.18. |
y = 3 x −ln x −1, |
||||
ln x + y3 |
−3xy2 y′ = 0. (1) |
||||
|
|||||
|
y = a tg |
|
a |
−1, |
|
20.20. |
|
|
|||
|
|
x |
a2 + y2 +2x ax − x2 y′ = 0. (1)
20.22.y =(x +1)ex2 ,
y′−2xy = 2x ex2 . (1)