Бартеньев А.П., Кошаров Н.Н.. Транспортная задача линейного программирования

Методические указания разработаны доцентом, к.э.н. А.П. Бартеньевым, ст. преподавателем Н.Н. Кошаровым.

Утверждено методической комиссией экономического факультета протокол № 1 от 25 сентября 2006 г.

©Издательство Мичуринского государственного аграрного университета, 2006

2

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Транспортная задача линейного программирования

Сущность транспортной задачи заключается в нахождении наиболее рационального плана перевозки однородного продукта из пунктов нахождения в пункты потребления. В общем виде транспортная задача формулируется следующим образом. Имеет- ся m пунктов отправления А1, А2,…, Аm однородного продукта, на которых сосредоточено соответственно а1, а2,…, аm количество продукта. Имеется n пунктов потребления1, В2, …, Вn, потреб- ность которых в этом продукте b1, b2,…, bn соответственно. Из- вестны также транспортные издержки на перевозку единицы гру- за из пункта Аi в пункт Вj, которые обозначены через сij. Если общая сумма продукта в пунктах отправления равна общей по-

требности в нем всех пунктов потребления а1+а2+…+аm=b1+b2+…+bn, то такая модель называется закрытой, а если не равна, то модель называется открытой. При решении за- дачи открытая модель всегда приводится к закрытой путем вве- дения фиктивного поставщика, или фиктивного потребителя.

Требуется найти такое неотрицательное решение системы из m+n уравнений

x11+x12+…+x1n=a1 x21+x22+…+x2n=a2

…

…

…

xm1+xm2+…+xmn=аm x11+x21+…+xm1=b1 x12+x22+…+xm2=b2

…

…

…

x1n+x2n+…+xmn=bn

при котором линейная форма достигнет минимума

Z(min)=c11x11+c12x12+…+c1nx1n+c21x21+c22x22+…+c2nx2n+…+cm1xm1+c m2xm2+…cmnxmn.

3

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Обозначим через хij объем перевозок продукта от i-го по- ставщика к j-ому потребителю. Тогда условия задачи удобно бу- дет записать в виде следующей таблицы (табл. 1).

Таблица 1 – Опорный вариант плана

Вкачестве примера рассмотрим следующую задачу.

Вхозяйстве имеются три навозохранилища, в которых хра- нятся 1000т,1500 т и 920т навоза. Этот навоз нужно вывести на 5 полей: на первое – 450т, на второе – 640т, на третье – 680т, на четвертое – 450т, на пятое – 1200т. Расстояние от навозохрани-

лищ до полей задано матрицей

Для построения опорного плана транспортной задачи суще- ствуют различные методы. Рассмотрим наиболее простой из них

– метод северо-западного угла. Этот метод получил свое название потому, что распределение поставок начинается с левой верхней клетки, что соответствует северо-западу на географической кар- те.

Начинаем заполнение таблицы с клетки К11, соответствую- щей первому поставщику и первому потребителю. Удовлетворя- ем потребности первого поля за счет запасов навоза в первом на- возохранилище. В первом навозохранилище имеется 1000т наво- за, а на первое поле его требуется вывезти 450т, то есть, а1> b1. записываем в клетку К11 450. исключаем первый столбец из рас- смотрения. Из оставшейся части таблицы вновь выберем северо-

4

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

западный угол – клетку К12, которой соответствует первый по- ставщик и второй потребитель. Во второе поле необходимо вы- вести 640т навоза, в первом же навозохранилище осталось лишь 550т навоза. Записываем в клетку К12 550, запасы первого наво- зохранилища исчерпаны. Перемещаемся ко второму навозохра- нилищу в клетку К22 и записываем в нее недостающие 90т, удов- летворив, таким образом, потребность второго поля в навозе. Ис- ключаем из рассмотрения второй столбец и перемещаемся в клет- ку К23. Во втором навозохранилище осталось 1410 т навоза, что

позволяет полностью удовлетворить потребность третьего поля в навозе. Записываем в клетке К23 680т навоза и исключаем третий столбец из рассмотрения. Перемещаемся в клетку К24. во втором хранилище осталось 730т навоза, за счет него удовлетворим по- требность четвертого поля, записав в клетку К24 число 450. Ос- тавшиеся во втором хранилище 280т навоза, запишем в клетку К25. Пятому полю требуется 1200т навоза, недостающие 920т на- воза поставляем из третьего хранилища, записав в клетку К35 920т. В таблице 2 получено исходное опорное решение.

Рассматривая алгоритм записи исходного опорного решения методом северо-западного угла, можно установить следующее:

1.В таблицу всегда заносятся неотрицательные числа.

2.Из рассмотрения исключается строка или столбец лишь то- гда, когда соответствующее ограничение превращается в тожде- ство. Следовательно, после заполнения таблицы все ограничения

–тождества.

3.Так как при записи базисной переменной исключается или строка, или столбец, и лишь при записи последней базисной пе- ременной исключаются одновременно и строка, и столбец, то всего в таблицу вносятся (m+n-1) базисных переменных. После записи опорного плана всегда проверяем соответствует ли коли- чество заполненных клеток величине (m+n-1).

5

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Таблица 2 – Первый вариант плана

Определим объем перевозок навоза в тонно-километрах: Z=450*3+550*2+90*6+680*2+450*2+280*4+920*3=9130.

Метод потенциалов

Алгоритм метода потенциалов заключается в следующем.

1.Строим первоначальный опорный план, содержащий (m+n-

1)занятых клеток.

2.Для полученого плана определяем систему потенциалов

ai (i= 1,2,…m) и bj (j= 1,2,…n), исходя из условия сij= ai+bj (это условие действительно для всех занятых клеток). Поскольку для

построения системы потенциалов используем только занятые клетки, то число неизвестных (ai и bj), равное (m+n), на единицу превышает число уравнений, равное (m+n-1). Поэтому для одно-

значного определения всех потенциалов одному из них придают произвольное значение (как правило, тому, для которого в соот- ветствующей ему строке или столбце находится наибольшее ко- личество занятых клеток). Обычно в качестве такого произволь- ного значения выбирается нуль. Затем из условия сij= ai+bj по- следовательно находят значения остальных потенциалов.

3. Исследуем систему потенциалов на оптимальность. План оптимален, если для всех незанятых клеток выполняется условие

сij ³ aI+bj, или сij-(ai+bj) ³ 0. То есть, разность между оценкой незанятой клетки и суммой потенциалов строки и столбца, на пе-

ресечении которых находится эта клетка, является неотрицатель-

6

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ной величиной. Обозначим эту разность через lij. Проверим вы- полнение условия lij ³ 0 для каждой свободной клетки. Если это условие выполняется, то построенный опорный план оптимален.

Впротивном случае переходим к новому плану.

4.Для этого вычислим lij для всех незанятых клеток и среди

отрицательных величин находим наибольшую по абсолютному значению, что соответствует клетке с максимальным нарушением оптимальности. Такая клетка называется “плохой”.

5.Для найденной клетки строим замкнутый маршрут по за- нятым клеткам. Такой маршрут всегда существует и определяет- ся единственным образом. Маршрут начинается с плохой клетки и в ней же заканчивается – маршрут замкнут. Переход от одной клетки к другой осуществляется только по горизонтали и верти- кали, причем в углах поворота маршрута обязательно должны находится заполненные клетки.

6.В углах поворота маршрута проставляем знаки плюс и ми- нус через один, начиная с “плохой” клетки, в которую записыва-

ем “+”.

7.Выбираем наименьшую поставку среди клеток, помечен- ных знаком “-”.

8.Переходим к новому варианту плана. Для этого найденную наименьшую поставку прибавляем в клетки, помеченные знаком “+” и вычитаем из клеток, помеченных знаком “-”. Полученный вариант плана вновь проверяем на оптимальность. Процесс про- должается до тех пор, пока все свободные клетки не будут удов- летворять условию оптимальности.

Вернемся к нашей задаче. Наибольшее число занятых клеток имеется во второй строке. Примем потенциал этой строки рав-

ным нулю (a2= 0). Вычислим потенциалы остальных строк и столбцов, исходя из условия что для всех занятых клеток

сij=ai+bj. Для клетки k22 6=0+b2, отсюда b2=6-0= 6. Далее b3=2-

0=2, b4=2-0= 2, b5= 4-0= 4. Перейдя в клетку k12, для которой по- тенциал второго столбца известен, можно рассчитать потенциал

первой строки a1=2-6=-4, далее рассчитаем потенциал первого столбца b1=3-(-4)=7. Остается рассчитать потенциал третей стро- ки через оценку клетки k15 и потенциал пятого столбца a3=3-4= -1.

7

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Проверяем план на оптимальность, рассчитав для всех неза- нятых клеток lij.

l13=5-(-4)-2=7 l14=3-(-4)-2=5 l15=1-(-4)-4=1 l21=4-0-7=-3 l31=5-(-1)-7=-1 l32=1-(-1)-6=-4 l33=1-(-1)-2=0 l34=6-(-1)-2=5.

Условие оптимальности не выполняется для клеток k21, k31 и k32, причем самой “плохой” является клетка k32, для которой

l32= -4.

Проставляем в клетку k32 знак “+” и строим для нее замкну- тый маршрут, чередуя в углах поворота знаки “-” и “+”. Из клет-

ки k32 придем в клетку k22, из нее в клетку k25, затем в клетку k35 и вернемся в клетку k32. Маршрут может проходить через занятые

клетки (он прошел через клетки k23 и k24).Контур маршрута обо- значим пунктиром. Просмотрев клетки, помеченные знаком “-” находим, что наименьшая величина грузоперевозки среди них равна 90т. Прибавляем эту величину в клетки, помеченные зна- ком “+”, и вычитаем из клеток, помеченных знаком “-”. Перехо- дим к новому варианту плана (табл. 3).

Таблица 3 – Второй вариант плана

8

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Приравняв α2 к нулю, рассчитываем потенциалы строк и столбцов и повторяем всю вычислительную процедуру. Условие оптимальности не выдерживается для клетки k15 (l15=1-0-4 = -3). Строим для этой клетки замкнутый маршрут, находим наимень- шую величину грузоперевозки в клетках, помеченных знаком “-” (550т), прибавляем ее в клетки, помеченные знаком “+” и вычи- таем из клеток, помеченных знаком “-”. Получаем новый вариант плана (табл. 4).

Таблица 4 – Третий вариант плана

Условие оптимальности не выполняется для клетки k21(l21=4-0-6=-2).Строим для этой клетки замкнутый маршрут, пе-

рераспределяем поставки и получаем четвертый вариант плана

(табл. 5).

Таблица 5 – Четвертый вариант плана

9

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

В четвертом варианте плана условие оптимальности не вы- полняется для клетки К33(l33 =1-1-2=-2). Повторив всю вычисли- тельную процедуру, получаем следующий вариант плана (табл.6).

Таблица 6 – Пятый вариант плана

Условие оптимальности выполняется для всех незанятых клеток.

Zmin=1000*1+450*4+600*2+450*2+640*1+80*1+200*3=6220.

Согласно, полученному решению из первого навозохранилища следует все 1000т навоза вывезти на пятое поле, из второго:450т – на первое поле, 600т – на третье поле, 450т – на четвертое поле, из третьего: 640т – на второе поле, 80т – на третье поле и 200т – на пятое поле.

Построение опорного варианта плана методом наименьшей оценки

При построении первоначального опорного варианта плана методом северо-западного угла мы не учитываем оценки мар- шрутов перевозки – в нашем примере они означали расстояние от навозохранилищ до полей.

Суть метода наименьшей оценки заключается в том, что про-

сматривается первый столбец и выбирается клетка с наименьшей оценкой и в нее записывается максимально возможное количест- во груза. Затем из рассмотрения исключается либо столбец (если потребности соответствующего потребителя полностью удовле- творены), либо строка (если запасы соответствующего поставщи- ка полностью израсходованы). Переходим в следующий столбец,

10

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com