Нахождение точечных и интервальных статистических оценок неизвестных числовых характеристик теоретических распределений

Важнейшими числовыми характеристиками признака являются, как известно, математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение (с.к.o.). Точечными статистическими оценками этих параметров служат соответственно выборочное среднее , выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия , выборочное с.к.o. и исправленное

1.00 F*(x)

0.94

0.87

0.72

0.43

0.24

0.10

0.01

x

10 20 30 40 50 60 70 80

Рис. 10.3.

выборочное с.к.o. , которые вычисляются по формулам

,

или

,

,

, ,

где – выборочные значения (варианты) признака , – частоты этих значений, – объем выборки.

Воспользовавшись перечисленными выше формулами, вычислим точечные статистические оценки генеральных параметров распределения признака , используя при этом данные из таблицы 10.2.

1.

2. Первый способ вычисления выборочной дисперсии:

3. Второй способ вычисления выборочной дисперсии:

4.

5.

Часто выборка бывает представлена несколькими группами значений признака, и для всей совокупности требуется найти выборочное среднее (общее среднее) _общ.= и выборочную дисперсию (общую дисперсию) _общ., используя при этом групповые средние и групповые дисперсии (здесь - номер группы). Для решения этой задачи вычисляют все , , а затем находят

1) общее среднее

2) межгрупповую дисперсию

_межгр.= ,

3) внутригрупповую дисперсию

_внгр.= ,

4) общую дисперсию

_общ.= _межгр.+ _внгр.

(здесь – объем группы (не путайте с частотой выборочного значения ); – объем всей выборки; – число групп).

Пример 10.2. Пусть выборка представлена тремя последними столбцами таблицы 10.1. Найдем общее среднее и общую дисперсию этой совокупности.

Решение. Договоримся считать выбранные колонки таблицы соответственно 1-й, 2-й и 3-й группами значений некоторого признака . Тогда

Аналогично

= 48.54; = 48.36; = 221.75; = 251.79.

Тогда

_межгр.=

+

_внгр.=

_общ.= 0.102 + 228.75 = 228.177.

При желании нетрудно убедиться в том, что подсчет и _общ. дает те же результаты, если провести вычисления, предварительно объединив группы в единую совокупность объема 30.

Числовые характеристики признака принято оценивать с помощью доверительных интервалов, покрывающих эти характеристики с заданной надежностью (доверительной вероятностью).

Для нормально распределенного признака , представленного выборкой объема , доверительные интервалы, покрывающие с надежностью его неизвестные математическое ожидание и дисперсию , имеют соответственно вид

(10.1)

и

. (10.2)

Здесь значения являются критическими точками распределения . Они ищутся в зависимости от заданного уровня значимости и числа степеней свободы по таблицам приложения 4.

Величины и являются критическими точками распределения . Их находят по таблицам приложения 3 в зависимости от числа степеней свободы , а также уровней значимости и соответственно.

Пример 10.3. Пусть нормально распределенный признак представлен выборкой значений из первой колонки таблицы 10.1. Построим доверительные интервалы, покрывающие с надежностью = 0.95 математическое ожидание и дисперсию этого признака.

Решение. По заданной выборке и таблицам приложений 3 и 4 находим

Теперь, используя формулы (10.1), (10.2), после несложных вычислений делаем вывод о том, что интервалы , покрывают с надежностью параметры нормального распределения и соответственно.