Часть II. Математическая статистика Введение

Математическая статистика – раздел математики, занимающийся обработкой статистических данных с целью установления закономерностей, присущих массовым случайным явлениям. Статистические данные представляют собой сведения о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий нас признак (случайная величина). Методы математической статистики разработаны на основе методов теории вероятностей. Основной метод математической статистики – выборочный метод. Суть его в том, что по сравнительно небольшому количеству статистических данных делаются выводы о рассматриваемом явлении, процессе и т. п. Разумеется, эти выводы – лишь приблизительные оценки вероятностного характера для изучаемого явления или процесса. Математическая статистика разработала методы сбора выборочных данных и их описание, позволяющее получать, по возможности, более точные и надежные оценки, указывая при этом степень их надежности.

Математическая статистика возникла в XVI веке и развивалась параллельно с теорией вероятностей. В XIX-XX веках большой вклад в развитие математической статистики внесли П. Л. Чебышев, А.А. Марков, А.Н. Ляпунов, К. Гаусс, К. Пирсон, А.Н. Колмогоров, Р. Фишер, Ю. Нейман и другие известные ученые-математики.

Тема 10.

ОПИСАТЕЛЬНЫЕ СТАТИСТИКИ

Основные понятия Методика рациональной организации выборки большого объема

Пример 10.1. Пусть дана случайная выборка, состоящая из 100 значений признака :

Таблица 10.1

50.2	54.0	41.0	42.0	58.2	59.3	84.8	45.0	76.5	58.3
21.0	55.0	45.0	21.5	46.0	44.0	42.5	49.0	48.7	75.0
15.3 49.7 23.0 51.7 18.4 43.8 85.0 30.0	55.0 63.0 47.8 50.0 35.6 44.0 63.0 10.0	23.8 30.0 47.4 48.8 28.4 69.1 30.0 63.0	46.5 32.0 50.8 49.4 37.6 46.3 43.8 48.8	53.0 42.4 78.3 57.5 49.5 76.7 64.8 71.2	62.8 22.4 27.0 47.4 26.7 37.1 22.0 54.4	78.5 52.0 56.6 33.5 54.0 69.2 38.8 47.8	67.0 70.4 51.3 27.0 68.6 39.3 42.3 31.2	34.5 57.2 58.6 39.7 29.3 30.0 64.8 46.1	49.9 50.0 28.4 57.5 62.7 43.0 41.0 17.8

Для лучшей обозримости элементы выборки можно было бы переписать в порядке возрастания с указанием соответствующих им частот. Получился бы так называемый вариационный ряд. Но не следует торопиться: для выборки большого объема это все равно не даст желаемой наглядности. Кроме того, данные таблицы 10.1 почти не повторяются. Это, по-видимому, связано с тем, что случайная величина непрерывна. А для непрерывных признаков имеет смысл лишь вероятность или частота попадания их значений в интервал.

Учитывая сказанное, построим интервальное распределение значений признака (интервальный вариационный ряд). Для этого, прежде всего, отметим, что у нас , , а размах выборочных значений .

Теперь определим длину каждого частичного интервала (иногда их называют классовыми интервалами), воспользовавшись формулой Стерджеса

,

где – объем выборки. В рассматриваемом примере

Далее устанавливаем границы частичных интервалов: нижнюю границу первого интервала принимаем равной

,

а его верхнюю границу — ; второй интервал будет (15; 25), третий (25; 35) и т. д., до выполнения условия , где — верхняя граница последнего интервала. Отметим, что если некоторое выборочное значение совпадает с границей двух соседних интервалов, то его договоримся относить к предыдущему из них (так, в нашем случае, например, число 55 дважды будет отнесено к интервалу (45;55) и ни разу – к интервалу (55;65)).

В итоге реализации предыдущих рекомендаций получаем следующее интервальное распределение исходной выборки, куда внесены не только частоты , но и относительные частоты выборочных значений признака, попавших в частичный интервал :

	5 - 15	15- 25	25- 35	35- 45	45- 55	55- 65	65- 75	75- 85
	1	9	14	19	29	15	7	6
	0.01	0.09	0.14	0.19	0.29	0.15	0.07	0.06

З а м е ч а н и е. Для проверки правильности результатов заполнения таблицы нужно убедиться в том, что сумма элементов второй строки равна объему выборки (в нашем примере ), а сумма элементов третьей строки – единице.

Распределение непрерывной случайной величины лучше всего представляется с помощью функции плотности вероятностей (дифференциального закона распределения). В статистике ее оценкой является гистограмма относительных частот. Это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы, а длины высот вычисляются по формуле , т.е. являются плотностями относительных частот на частичных интервалах.

В нашем примере

0.001

0.009

0.014

0.019

0.029

0.015

0.007

0.006

и гистограмма относительных частот имеет вид, представленный на рис. 10.1.

Рис.10.1.

Нередко от интервального распределения выборки бывает удобно перейти к точечному (дискретному) распределению, взяв за новые выборочные значения признака середины частичных интервалов. В рассматриваемом примере такое распределение, очевидно, имеет вид следующей таблицы.

Таблица 10.2

	10	20	30	40	50	60	70	80
	1	9	14	19	29	15	7	6
	0.01	0.09	0.14	0.19	0.29	0.15	0.07	0.06

Для наглядности может быть построен полигон, например, относительных частот. Это ломаная линия, вершины которой находятся в точках .

В рассматриваемом случае в соответствии с таблицей 10.2 полигон относительных частот имеет вид, изображенный на рис. 10.2.

Рис. 10.2.

Для точечного распределения выборки может быть получена эмпирическая функция распределения , которая является статистической оценкой функции распределения вероятностей признака (интегрального закона распределения) и строится по формуле

где  объем выборки, а  сумма частот выборочных значений признака, которые меньше .

В нашем примере, очевидно,

Ясно, что эмпирическая функция распределения характеризует процесс накопления относительных частот в рассматриваемой выборке.

В нашем примере эмпирическая функция распределения имеет вид, показанный на рис. 10.3.