Решение типовых примеров
Пример 9.1. Известно, что контролируемый размер деталей, выпускаемых цехом, распределен по нормальному закону. Величина стандартного размера детали (математическое ожидание) равна 39 мм, среднее квадратическое отклонение размера равно 4 мм.
Требуется найти вероятность того, что размер наудачу взятой детали будет больше 34 мм, но меньше 43 мм. Каков процент деталей с отклонением от стандартного размера не более чем на 2 мм? Каков гарантированный минимум и возможный максимум размера выпускаемых цехом деталей. Построить график функции распределения и проиллюстрировать полученное решение графически.
Решение.
Для
нормально распределенной случайной
величины вероятность попадания в
интервал
определяется с помощью функции Лапласа
,
где
— математическое ожидание, а
— среднее квадратическое отклонение
случайной величины X.
По условиям задачи a = 39, σ = 4, = 34, = 43 мм. В таком случае
.
Вероятность того, что размер конкретной детали отклониться от стандартного размера не более чем на мм, может быть определена как
.
В нашем случае = 2 мм, следовательно
.
Рис. 9.1. График функции плотности вероятности нормально распределенной случайной величины X. Пример 9.1
При
определении гарантированного минимума
и возможного максимума размеров
выпускаемых деталей воспользуемся
правилом «трех сигм».
Известно, что для нормально
распределенной случайной величины
.
В таком случае
гарантированный минимум
и возможный максимум
размеров выпускаемых цехом деталей
будут определяться
мм ; 
мм.
Построение графика функции плотности вероятности нормально распределенной случайной величины X и геометрическая интерпретация полученных результатов показаны на рис. 9.1.
Тема 10. Равномерное и показательное распределения
Равномерным
на промежутке
называется распределение непрерывной
случайной величины X
функция плотности вероятностей которой
имеет вид
Интегральная функция равномерного распределения записывается
Математическое
ожидание
,
дисперсия
и среднее квадратическое отклонение
равномерно распределенной случайной
величины вычисляются по формулам
;
;
.
Вероятность попадания в интервал для равномерно распределенной случайной величины X определяется из общих соображений
.
Показательным (экспоненциальным) называют распределение непрерывной случайной величины X функция плотности вероятностей которой имеет вид
где
– параметр показательного распределения.
Интегральная функция показательного распределения записывается
Математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательно распределенной случайной величины вычисляются по формулам
;
;
.
Вероятность
попадания в интервал
,
где
и
для показательно распределенной
случайной величины X
определяется
.
Вопросы для самопроверки
1. Как записывается равномерный на промежутке закон распределения?
2. Какой
вид имеют графики функций
и
для распределения, равномерного на
промежутке
?
3. Как найти числовые характеристики распределения, равномерного на промежутке ?
4. Как записывается показательный закон распределения?
5. Какой вид имеют графики функций и для показательного распределения?
6. Как найти числовые характеристики показательного распределения?
7. Как определяется вероятность попадания в интервал для показательно распределенной случайной величины?
Задание 14. В задачах 14.1–14.30 заданы параметры случайной величины X имеющей: а) равномерное распределение на интервале ; б) показательное распределение с параметром .
Требуется:
а) найти математическое ожидание
и среднее квадратическое отклонение
случайной величины X;
б) определить вероятность попадания
значения X в заданный
интервал
;
в) построить графики функций
распределения
и
.
№ |
a |
b |
|
|
|
14.1. |
3.5 |
5.5 |
0.5 |
4.0 |
6.0 |
14.2. |
–1.0 |
0.0 |
0.6 |
–0.8 |
0.1 |
14.3. |
4.2 |
5.1 |
0.8 |
4.0 |
4.5 |
14.4. |
1.0 |
2.0 |
0.3 |
0.9 |
1.2 |
14.5. |
4.3 |
5.3 |
2.1 |
5.0 |
5.5 |
14.6. |
–0.5 |
0.5 |
2.3 |
–0.7 |
1.1 |
14.7. |
2.4 |
2.7 |
0.2 |
2.0 |
2.5 |
14.8. |
–0.2 |
0.3 |
0.7 |
0.3 |
0.4 |
14.9. |
2.9 |
3.7 |
0.3 |
3.5 |
4.0 |
14.10. |
–0.3 |
0.3 |
1.0 |
–0.5 |
0.1 |
14.11. |
2.5 |
4.6 |
0.5 |
2.0 |
3.0 |
14.12. |
–1.5 |
–0.3 |
1.8 |
1.0 |
1.1 |
14.13. |
3.8 |
5.2 |
1.5 |
4.0 |
5.5 |
14.14. |
0.0 |
1.0 |
0.9 |
0.4 |
1.2 |
14.15. |
2.9 |
4.7 |
2.0 |
2.5 |
3.5 |
14.16. |
0.0 |
1.0 |
1.3 |
–0.6 |
0.7 |
14.17. |
3.2 |
3.7 |
1.9 |
3.5 |
5.0 |
14.18. |
0.0 |
0.5 |
0.4 |
0.4 |
1.1 |
14.19. |
4.1 |
4.5 |
0.7 |
4.0 |
4.3 |
14.20. |
–1.0 |
1.0 |
2.5 |
–0.2 |
1.7 |
14.21. |
5.0 |
5.8 |
0.8 |
5.5 |
6.0 |
14.22. |
–1.0 |
0.0 |
1.6 |
–0.3 |
0.5 |
14.23. |
3.6 |
5.4 |
–1.5 |
3.5 |
5.0 |
14.24. |
–0.5 |
0.5 |
1.2 |
0.1 |
0.9 |
14.25. |
1.9 |
5.9 |
3.0 |
3.0 |
6.5 |
14.26. |
–1.0 |
0.0 |
0.9 |
–0.2 |
1.2 |
14.27. |
2.1 |
4.4 |
2.5 |
1.1 |
3.1 |
14.28. |
0.0 |
1.0 |
2.0 |
0.3 |
2.3 |
14.29. |
1.1 |
5.2 |
4.0 |
2.5 |
6.2 |
14.30. |
1.0 |
2.0 |
0.6 |
0.5 |
1.5 |