Контрольные вопросы к теме 5

1. Что называется случайной величиной? Дискретной случайной величиной? Непрерывной случайной величиной? Приведите примеры.

2. Что понимают под распределением вероятностей случайной величины? Как выглядит закон распределения дискретной случайной величины?

3. Что такое функция и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины? Какими основными свойствами обладают эти характеристики?

4. Что называется математическим ожиданием, дисперсией, средним квадратическим отклонением случайной величины? Что они характеризует? Как вычисляются?

5. Имеется три ящика. В первом из них находятся 7 стандартных и 3 бракованных изделия, во втором  3 стандартных и 7 бракованных, в третьем  5 стандартных и 5 бракованных. Из каждого ящика случайно берут по одному изделию. Составить закон распределения случайной величины  числа бракованных изделий среди отобранных. Найти все числовые характеристики этой случайной величины. Построить ее функцию распределения.

6. Задана функция распределения непрерывной случайной величины

Требуется

1) найти A и плотность распределения и построить графики

2) вычислить все числовые характеристики случайной величины и найти вероятность ее попадания в промежуток (0; 1).

Тема 6.

РАВНОМЕРНОЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Основные понятия Равномерное распределение

Существуют случайные величины, распределенные на отрезке [a, b], причем каждое значение x[a, b] является равновозможным. Такие величины называются равномерно распределенными на [a, b].

Пример 6.1. Известно, что на электрических часах минутная стрелка передвигается раз в минуту. Если часы не отстают и не спешат, то разность реального времени и времени, показанного на часах, для случайно взглянувшего на часы человека  случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [0,1] (здесь единица  минута).

Пример 6.2. Если значение некоторой величины округлено до десятых, то для человека, пользующегося затем этим значением, погрешность округления  случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [ 0,05; 0,05].

Определение. Непрерывная случайная величина X называется равномерно распределенной на отрезке [a, b] ( , если ее плотность вероятностей задается формулой

Функция распределения этой случайной величины имеет вид

Кривая распределения и график функции распределения случайной величины приведены на рис. 6.1.

Рис. 6.1.

Если , то числовые характеристики этой случайной величины ищутся по формулам:

Показательное (экспоненциальное) распределение

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром (XExp( )), если ее плотность вероятностей задается формулой

Функция распределения этой случайной величины имеет вид

69