Решение типового задания
ПРИМЕР 1. Вычислить неопределенные интегралы:
1) ; 2) .
Решение.
1) Преобразуем подынтегральную функцию к виду, удобному для интегрирования:
= .
Теперь получаем первообразные для каждого слагаемого подынтегральной функции, добавляем к полученной сумме произвольную постоянную С и преобразовываем результат:
=
.
2) Сделаем замену . Тогда
.
ПРИМЕР 2. Вычислить площадь, ограниченную заданной параболой и прямой . Искомую площадь изобразить схематически в системе координат xOy и заштриховать.
Решение. Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой, решив систему их уравнений, и построим полученные точки в системе координат xOy. Затем спроектируем точки пересечения заданных линий на ось Ох и в пределах образованного при этом коридора проектирования изобразим схематически искомую площадь, которую заштрихуем. На полученном чертеже укажем линии и .
Итак, парабола и прямая пересекаются в точках и . Строим чертеж и приступаем к вычислению площади с помощью формулы
.
В нашем случае имеем:
.
Итак, искомая площадь .
Тема 5. Функции двух независимых переменных Контрольные вопросы
Введите понятие функции двух аргументов .
Что такое область определения, график, точки max и min функции двух независимых переменных?
Сформулируйте понятия частных приращений и частных производных первого порядка функции двух аргументов.
Проинтерпретируйте геометрически понятия частных приращений и частных производных первого порядка функции двух аргументов.
Как вводятся понятия частных производных второго порядка функции двух независимых переменных?
Как исследуется на экстремум функция двух аргументов?
В чем заключается суть МНК и как выглядит нормальная система уравнений МНК?
З А Д А Ч И
ЗАДАЧА 5.1. Пусть в результате эксперимента получены значения переменных величин х и у, представленные таблицей. Требуется построить с помощью МНК эмпирическую формулу и оценить ее погрешность.
При выполнении задания рекомендуется использовать следующую процедуру:
Составить вспомогательную таблицу для построения нормальной системы МНК.
а) Выписать нормальную систему МНК и найти ее решение, применяя формулы Крамера. б) Написать эмпирическую формулу, полученную методом наименьших квадратов, построить соответствующую прямую на координатной плоскости и там же представить исходные данные.
Вычислить теоретические (модельные) значения зависимой переменной и найти сумму квадратов отклонений теоретических от наблюдаемых значений этой переменной.
Сформулировать выводы.
Вариант |
Таблица |
|||||
1 |
х |
1 |
5 |
6 |
7 |
8 |
у |
12 |
10 |
8 |
7 |
7 |
|
2 |
х |
1 |
3 |
4 |
6 |
7 |
у |
2 |
2 |
8 |
9 |
11 |
|
3 |
х |
2 |
3 |
5 |
7 |
10 |
у |
12 |
10 |
10 |
11 |
8 |
|
4 |
х |
2 |
4 |
6 |
7 |
9 |
у |
2 |
2 |
4 |
8 |
9 |
|
5 |
х |
1 |
3 |
5 |
4 |
6 |
у |
8 |
6 |
6 |
5 |
4 |
|
6 |
х |
1 |
3 |
5 |
4 |
6 |
у |
3 |
5 |
6 |
8 |
11 |
|
7 |
х |
2 |
3 |
5 |
6 |
8 |
у |
12 |
10 |
10 |
11 |
8 |
|
8 |
х |
3 |
4 |
6 |
7 |
9 |
у |
2 |
2 |
4 |
8 |
9 |
|
9 |
х |
1 |
3 |
5 |
4 |
6 |
у |
9 |
9 |
7 |
7 |
5 |
|
10 |
х |
1 |
3 |
5 |
4 |
6 |
у |
3 |
4 |
6 |
6 |
8 |
|
11 |
х |
2 |
3 |
5 |
6 |
8 |
у |
12 |
10 |
10 |
11 |
8 |
|
12 |
х |
3 |
4 |
6 |
7 |
8 |
у |
2 |
2 |
4 |
8 |
9 |
|
13 |
х |
1 |
3 |
5 |
4 |
6 |
у |
8 |
8 |
6 |
6 |
5 |
|
14 |
х |
2 |
4 |
5 |
6 |
7 |
у |
2 |
2 |
4 |
8 |
9 |
|
15 |
х |
1 |
3 |
5 |
4 |
6 |
у |
7 |
7 |
5 |
5 |
3 |
|
16 |
х |
1 |
3 |
5 |
4 |
6 |
у |
3 |
4 |
5 |
5 |
7 |
|
17 |
х |
2 |
4 |
5 |
6 |
8 |
у |
12 |
10 |
10 |
11 |
8 |
Вариант |
Задания |
|||||
18 |
х |
1 |
2 |
5 |
6 |
8 |
у |
2 |
2 |
4 |
8 |
9 |
|
19 |
х |
1 |
3 |
5 |
4 |
6 |
у |
7 |
6 |
6 |
4 |
4 |
|
20 |
х |
1 |
3 |
5 |
4 |
6 |
у |
3 |
4 |
5 |
5 |
7 |
|
21 |
х |
1 |
2 |
4 |
5 |
7 |
у |
12 |
10 |
10 |
11 |
8 |
|
22 |
х |
2 |
3 |
4 |
6 |
7 |
у |
2 |
2 |
4 |
8 |
9 |
|
23 |
х |
1 |
3 |
5 |
4 |
6 |
у |
8 |
8 |
7 |
7 |
5 |
|
24 |
х |
1 |
3 |
5 |
4 |
6 |
у |
1 |
5 |
5 |
7 |
7 |
|
25 |
х |
2 |
3 |
5 |
7 |
8 |
у |
12 |
10 |
10 |
11 |
8 |
|
26 |
х |
1 |
3 |
5 |
4 |
6 |
у |
3 |
3 |
4 |
4 |
6 |
|
27 |
х |
1 |
2 |
4 |
6 |
7 |
у |
12 |
10 |
10 |
11 |
8 |
|
28 |
х |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
у |
2 |
2 |
4 |
8 |
9 |