Решение типовых примеров
Пример 7.1. Пусть задана вероятность p = 0.89 того, что семя злака прорастет. Требуется найти вероятность того, что из 10 семян прорастет ровно 8 штук.
Решение.
Рассмотрим событие A = { семя злака проросло }. Для серии из 10 независимых испытаний вероятность того, что событие A наступит ровно 2 раза вычислим по формуле Бернулли (4.1)
.
Ответ. При вероятности прорастания каждого конкретного семени равной 0.89, вероятность того, что из 10 семян злака прорастет ровно 8 штук составляет 0.21.
Пример 7.2. Пусть задана вероятность p = 0.89 того, что семя злака прорастет. Требуется найти вероятность того, что из 450 семян прорастет ровно 410 штук.
Решение.
Рассмотрим событие A = { семя злака проросло }. Так как число повторных испытаний велико (в данном случае n = 450) применим приближенную формулу (4.2), являющуюся следствием из локальной теоремы Лапласа.
Согласно условиям задачи k = 395, n = 450, p = 0.89
,
Функция
Гаусса – четная, следовательно
.
Определяем искомую вероятность
.
Ответ. При вероятности прорастания каждого конкретного семени равной 0.89, вероятность того, что из 450 семян злака прорастет ровно 380 штук составляет приблизительно 0.043.
Пример 7.3. Пусть задана вероятность p = 0.89 того, что семя злака прорастет. Требуется найти вероятность того, что из 450 семян прорастет не менее 8, но не более 395 штук.
Решение.
Рассмотрим событие A = { семя злака проросло }. Для серии из 450 независимых испытаний вероятность того, что событие A наступит не менее 8, но не более 395 раз определим с помощью интегральной теоремы Лапласа по формуле (4.3).
По условиям задачи = 8, = 395, n = 450
,
.
Функция
Лапласа – нечетная, следовательно
или
,
.
В результате, искомая вероятность определяется следующим образом
.
Ответ. При вероятности прорастания каждого конкретного семени равной 0.89, вероятность того, что из 450 семян прорастет не менее 8, но не более 395 штук составляет приблизительно 0.203.