Решение типовых примеров

Пример 6.1. Имеется две одинаковые урны: в первой 3 белых шара и 4 черных; во второй – 5 белых и 7 черных шаров. Из наудачу выбранной урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Рассмотрим следующие события:

= { выбрана первая урна }, = { выбрана вторая урна }, А = { взят белый шар }, = { взяли белый шар из 1-ой урны }, = { взяли белый шар из 2-ой урны }.

Тогда вероятности этих событий будут равны:

; ;

; .

Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности

.

Ответ: .

Пример 6.2. Приборы одного наименования изготавливаются двумя заводами. Первый завод поставляет 60% всех изделий, поступающих на производство, а второй – 40%. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна 0.8; для прибора, изготовленного вторым заводом, эта вероятность равна 0.9. Найти вероятность выбрать наудачу надежный прибор. прибор оказался надежным, какова вероятность того, что он изготовлен первым заводом.

Решение. Рассмотрим следующие события:

= { прибор изготовлен 1-м заводом }, = { прибор изготовлен 2-м заводом }, А = { прибор работает безотказно }, = { прибор, изготовленный на 1-м заводе, работает безотказно }, = { прибор, изготовленный на 2-м заводе работает безотказно }.

Тогда вероятности этих событий будут равны:

; ;

; .

Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности

.

Уточнение вероятности для гипотезы произведем по формуле Байеса

.

Ответы: ; .

Тема 7. Повторные независимые испытания

При изучении этой темы нужно познакомиться с понятием «испытаний, независимых относительно события А». Далее, кроме знания формул Бернулли, Лапласа и Пуассона, следует разобраться, в каких случаях применяется каждая из них.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно А. Рассмотрим независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p. Тогда вероятность ненаступления события в каждом испытании также одинакова и равна .

Для серии из n независимых испытаний вероятность того, что событие A наступит ровно k раз при небольших значениях n вычисляется по формуле Бернулли

. (7.1)

При большом числе повторных испытаний (при ) применение формулы Бернулли, позволяющей получить точную оценку вероятности наступления события A, потребует весьма громоздких вычислений. В подобных случаях более целесообразно применение приближенной формулы, являющейся следствием из локальной теоремы Лапласа

, (7.2)

здесь ,

где – функция Гаусса, приведенная в Приложении 1.

Для серии из n независимых испытаний вероятность того, что событие A наступит не менее , но не более раз при больших значениях n определяется с помощью интегральной теоремы Лапласа по формуле

, (7.3)

здесь ,

где – функция Лапласа, приведенная в Приложении 2.