Тема 6. Формула полной вероятности. Формула Байеса

При изучении этой темы особое внимание надо уделить условиям, в которых применимы формулы полной вероятности и Байеса.

Если событие А может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , , …, образующих полную группу, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А

(6.1)

где . Формула (6.1) называется формулой полной вероятности.

Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез , …, могут быть переоценены по формулам Байеса

, . (6.2)

Вопросы для самопроверки

1. Напишите формулу полной вероятности.

2. При каких условиях «работает» формула полной вероятности?

3. Когда вероятности гипотез могут быть переоценены?

4. Напишите формулу Байеса.

Задание 9. В задачах 9.1–9.30 найти вероятности указанных событий, пользуясь формулами полной вероятности и Байеса.

9.1. В ящике находятся 25 новых мячей и 20 играных. Для игры наудачу выбирают один мяч, и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекают один мяч. Какова вероятность того, что этот мяч будет новым? Мяч оказался новым, какова вероятность, что первым был вынут играный мяч?

9.2. В хозяйство поступает рассада с трех теплиц. Первая теплица поставляет 65% всей рассады, вторая – 15%, третья – 20%. Приживаемость рассады с первой теплицы 70%, со второй – 90%, с третьей – 80%. Какова вероятность того, что наугад взятое растение приживется? Растение прижилось, какова вероятность, что это растение поставлено первой теплицей?

9.3. Корм для скота поступает на ферму из пункта 1 и пункта 2, причем из 1-го пункта в 3 раза больше, чем из 2-го. В 1-м пункте 90% качественного корма, во втором – 60%. Определить вероятность того, что взятый для пробы на ферме корм качественный. Взятый для пробы на ферме корм оказался качественным, какова вероятность, что он поступил из пункта 1?

9.4. Хлебные изделия одного наименования изготавливаются двумя заводами. Первый завод поставляет 70% всех изделий, поступающих на продажу, а второй – 30%. Вероятность изготовления первым заводом качественного хлебного изделия равна 0.8; для изделий, изготовленных вторым заводом, эта вероятность равна 0.9. Определить вероятность купить наудачу качественное хлебное изделие. Купленное хлебное изделие оказалось качественным, какова вероятность, что оно изготовлено на первом заводе?

9.5. Бизнесмен выбирает наугад одну из 10 возможных операций с товаром. Четыре из них принесут прибыль с вероятностью 0.75, остальные- с вероятностью 0.9. Какова вероятность получить прибыль? Бизнесмен получил прибыль, какова вероятность того, что эту прибыль принесла операция из второй группы?

9.6. Для участия в выставке отобрано 3 персидских кошки, 5 сиамских кошек и 4 ангорских кошки. Вероятности того, что кошка первой, второй и третьей породы получит диплом выставки, равны 0.7, 0.9, 0.8. Какова вероятность получить диплом наудачу выбранной кошке? Кошка получила диплом, какова вероятность, что это сиамская кошка?

9.7. В одном ящике стола лежат 4 стальных и 3 бронзовых гайки, во втором ящике 3 стальных и 2 бронзовых. Из первого ящика перекладывают не глядя во второй ящик одну гайку, после чего из второго наугад вынимают одну гайку. Какова вероятность, что это стальная гайка? Вынута стальная гайка, какова вероятность, что во 2-й ящик также была переложена стальная гайка?

9.8. Двигатель комбайна может работать в двух режимах: нормальном и форсированном. Во время уборки двигатель комбайна работает на форсированном 40% времени, а на нормальном режиме – 60%. Вероятность перегрева двигателя комбайна на форсированном режиме равна 0.5, а на нормальном – 0.1. Найти полную вероятность перегрева двигателя комбайна. Двигатель комбайна перегрелся, какова вероятность того, что он работал на нормальном режиме?

9.9. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3 : 2. Вероятность того, что в этом месте шоссе потребуется заправка для грузовой машины, равна 0.1; для легковой машины эта вероятность равна 0.2. Найти вероятность того, что для машины потребуется заправка. К бензоколонке подъехала для заправки машина, какова вероятность того, что это легковая машина?

9.10. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительности автоматов одинаковы. Первый автомат производит в среднем 70% деталей отличного качества, а второй – 85%. Найти вероятность того, что деталь, взятая с конвейера наудачу, будет отличного качества. Деталь оказалась отличного качества, какова вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом?

9.11. В тире 16 винтовок, 6 из которых были пристреляны. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле из наудачу взятой винтовки, если вероятность поражения цели из простой винтовки 0.6, а из пристрелянной винтовки – 0.8? Цели поражена, какова вероятность, что выстрел был произведен из пристрелянной винтовки?

9.12. Изделие проверяется на стандартность одним из двух контролеров. Вероятность того, что изделие попадет к первому контролеру, равна 0.7, а ко второму – 0.3. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым контролером, равна 0.9, а вторым – 0.8. Какова вероятность, что стандартное изделие будет забраковано? Стандартное изделие при проверке было признано бракованным. Какова вероятность того, что это изделие проверил второй контролер?

9.13. Банк ценных бумаг может совершить в течение суток одну из 15 возможных операций. Пять их этих операций принесут прибыль с вероятностью 0.75, три из них принесут прибыль с вероятностью 0.9, а остальные – с вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что банк получит прибыль за сутки. Банк получил прибыль, какова вероятность того, что эту прибыль принесла операция из последней группы?

9.14. В трех одинаковых корзинах находится картофель. В первой 5% поврежденных клубней, во второй – 10%, в третьей – 12%. Из наудачу выбранной корзины берется один клубень. Какова вероятность того, что этот клубень поврежден? Клубень оказался поврежденным, какова вероятность, что этот клубень извлечен из третьей корзины?

9.15. Изделие проверяется на стандартность одним из двух контролеров. Вероятность того, что изделие попадет к первому контролеру, равна 0.6, а ко второму – 0.4. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым контролером, равна 0.9, а вторым – 0.98. Найти вероятность того, что стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным, какова вероятность того, что это изделие проверил первый контролер?

9.16. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 5 : 4. Вероятность того, что в этом месте шоссе потребуется заправка для грузовой машины, равна 0.2; для легковой машины эта вероятность равна 0.3. Найти вероятность того, что для машины потребуется заправка. К бензоколонке подъехала для заправки машина, какова вероятность того, что это грузовая машина?

9.17. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 90% деталей отличного качества, а второй – 60%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь будет отличного качества. Деталь оказалась отличного качества, какова вероятность того, что эта деталь произведена вторым автоматом?

9.18. Двигатель комбайна может работать в двух режимах: нормальном и форсированном. Во время уборки двигатель комбайна работает на форсированном 80% времени, а на нормальном режиме – 20%. Вероятность перегрева двигателя комбайна на форсированном режиме равна 0.5, а на нормальном – 0.1. Найти полную вероятность перегрева двигателя комбайна. Двигатель комбайна перегрелся, какова вероятность того, что он работал на нормальном режиме?

9.19. Для участия в выставке отобрано 6 персидских кошки, 3 сиамских кошек и 4 ангорских кошки. Вероятности того, что кошка первой, второй и третьей породы получит диплом выставки, равны 0.9, 0.7, 0.8. Какова вероятность получить диплом наудачу выбранной кошке? Кошка получила диплом, какова вероятность, что это ангорская кошка?

9.20. В ящике 15 новых и 30 играных. Для игры наудачу выбираются один мяч, и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются еще один мяч. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться старым мячом? Мяч оказался старым, какова вероятность, что первым вынут новый мяч?

9.21. Имеется две урны: в первой 5 белых шара и 2 черных; во второй – 8 белых и 7 черных шара. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет черным. Шар оказался черным, какова вероятность, что из первой урны во вторую переложили белый шар?

9.22. В тире 20 винтовок, 8 из которых были пристреляны. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле из наудачу взятой винтовки, если вероятность поражения цели из простой винтовки 0.7, а из пристрелянной винтовки – 0.9? Цели поражена, какова вероятность, что выстрел был произведен из не пристрелянной винтовки?

9.23. Банк ценных бумаг может совершить в течение суток одну из 18 возможных операций. 8 из них принесут прибыль с вероятностью 0.7, 6 из них принесут прибыль с вероятностью 0.9, остальные с вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что банк получит прибыль за сутки. Банк получил прибыль, какова вероятность того, что эту прибыль принесла одна из операций второй группы?

9.24. В трех одинаковых корзинах находится картофель. В первой 5% поврежденных клубней, во второй – 10%, в третьей – 12%. Из наудачу выбранной корзины берется один клубень. Какова вероятность того, что клубень поврежден? Клубень оказался поврежденным, какова вероятность, что этот клубень извлечен из первой корзины?

9.25. В хозяйство поступает рассада с трех теплиц. Первая теплица поставляет 70% всей рассады, вторая – 20%, третья – 10%. Приживаемость рассады с первой теплицы 80%, со второй – 60%, с третьей – 90%. Какова вероятность того, что наугад взятое растение приживется? Растение прижилось, какова вероятность, что это растение было поставлено второй теплицей?

9.26. Страховая компания разделяет застрахованных по трем классам риска. Среди клиентов 50% – первого класса риска, 30% – второго и 20% – третьего. Вероятность выплачивать страховое вознаграждение для первого гласа риска равна 0.01, для второго – 0.03, для третьего – 0.08. Какова вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение? Клиент получил денежное вознаграждение, какова вероятность, что он относится к первому классу риска?

9.27. В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60 обслуживаются первым операционистом и 40 – вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляют 0.9 и 0.75 соответственно для первого и второго служащих банка. Найти вероятность того, что клиент будет обслужен. Клиент получил обслуживание, какова вероятность того, что обслуживание выполнил первый операционист?

9.28. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5 : 8 : 7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%. Найти вероятность того, что приобретенное изделие оказалось стандартным. Купленное изделие оказалось стандартным, какова вероятность того, что оно было изготовлено третьей фирмой?

9.29. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных. Из выбранного наугад ящика вынули шар. Найти вероятность того, что он белый. Из ящика вынули белый шар, какова вероятность того, что его вынули из первого ящика.

9.30. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0.04, в период экономического кризиса – 0.13. Вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0.65. Чему равна вероятность того, что клиент банка не вернет полученный кредит? Клиент не вернул полученный кредит, какова вероятность того, что этот клиент брал заем в период экономического кризиса?