Тема 2. Алгоритмы комбинаторного перебора (6 часов).

План лекций.

1. Базовые комбинаторные объекты.

Размещения. Размещения с повторениями. Перестановки. Методы генерации. Подмножества. Разбиения.

2. Коды Грея.

Понятие кодов Грея. Построение кодов Грея. Применения кодов Грея.

3. Применение методов комбинаторного перебора.

Числа Каталана. Расстановка скобок. Подсчет количеств. Комбинаторные методы в олимпиадных задачах.

Лекция 4. Базовые комбинаторные объекты.

Размещения с повторениями

Напечатать все последовательности длины k из чисел 1..n.

Решение. Будем печатать их в лексикографическом порядке (последовательность a предшествует последовательности b, если для некоторого s их начальные отрезки длины s равны, а (s+1) -ый член последовательности a меньше). Первой будет последовательность <1,1,...,1>, последней - последовательность <n,n,...,n>. Будем хранить последнюю напечатанную последовательность в массиве x[1]..x[k].

...x[1]...x[k] положить равными 1

...напечатать x

...last[1]...last[k] положить равным n

{напечатаны все до x включительно}

while x <> last do begin

| ...x := следующая за x последовательность

| ...напечатать x

end;

Опишем, как можно перейти от x к следующей последовательности. Согласно определению, у следующей последовательности первые s членов должны быть такими же, а (s+1) -ый - больше. Это возможно, если x[s+1] меньше n. Среди таких s нужно выбрать наибольшее (иначе полученная последовательность не будет непосредственно следующей). Соответствующее x[s+1] нужно увеличить на 1. Итак, надо, двигаясь с конца последовательности, найти самый правый член, меньший n (он найдется, т.к по предположению x<>last ), увеличить его на 1, а идущие за ним члены положить равными 1.

p:=k;

while not (x[p] < n) do begin

| p := p-1;

end;

{x[p] < n, x[p+1] =...= x[k] = n}

x[p] := x[p] + 1;

for i := p+1 to k do begin

| x[i]:=1;

end;

Замечание. Если членами последовательности считать числа не от 1 до n, а от 0 до n-1, то переход к следующему соответствует прибавлению единицы в n -ичной системе счисления.

В предложенном алгоритме используется сравнение двух массивов ( x <> last ). Устранить его, добавив булевскую переменную l и включив в инвариант соотношение

Напечатать все подмножества множества {1...k}.

Решение. Подмножества находятся во взаимно однозначном соответствии с последовательностями нулей и единиц длины k.

Напечатать все последовательности положительных целых чисел длины k, у которых i -ый член не превосходит i.

Перестановки

Напечатать все перестановки чисел 1..n (то есть последовательности длины n, в которые каждое из этих чисел входит по одному разу).

Решение. Перестановки будем хранить в массиве x[1]..x[n] и печатать в лексикографическом порядке. (Первой при этом будет перестановка , последней - . Для составления алгоритма перехода к следующей перестановке зададимся вопросом: в каком случае k -ый член перестановки можно увеличить, не меняя предыдущих? Ответ: если он меньше какого-либо из следующих членов (т.е. членов с номерами больше k ). Мы должны найти наибольшее k, при котором это так, т.е. такое k, что

После этого значение x[k] нужно увеличить минимальным возможным способом, т.е. найти среди x[k+1]..x[n] наименьшее число, большее его. Поменяв x[k] с ним, остается расположить числа с номерами k+1..n так, чтобы перестановка была наименьшей, т.е. в возрастающем порядке. Это облегчается тем, что они уже расположены в убывающем порядке.

Алгоритм перехода к следующей перестановке:

{<x[1]...x[n]> <> <n...2,1>}

k:=n-1;

{последовательность справа от k убывающая: x[k+1]>...>x[n]}

while x[k] > x[k+1] do begin

| k:=k-1;

end;

{x[k] < x[k+1] > ... > x[n]}

t:=k+1;

{t <=n, все члены отрезка x[k+1] > ... > x[t] больше x[k]}

while (t < n) and (x[t+1] > x[k]) do begin

| t:=t+1;

end;

{x[k+1] > ... > x[t] > x[k] > x[t+1] > ... > x[n]}

... обменять x[k] и x[t]

{x[k+1] > ... > x[n]}

... переставить участок x[k+1] ... x[n] в обратном порядке

Замечание. Программа имеет знакомый дефект: если t=n, то x[t+1] не определено.