4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону

В предыдущем параграфе мы рассмотрели грубо приближенные методы построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. Здесь мы дадим представление о точных методах решения той же задачи. Подчеркнем, что для точного нахождения доверительных интервалов совершенно необходимо знать заранее вид закона распределения величины  , тогда как для применения приближенных методов это не обязательно.

Идея точных методов построения доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит интересующая нас оценка  . Закон распределения оценки   в общем случае зависит от самих неизвестных параметров величины  . Однако иногда удается перейти в неравенствах от случайной величины   к какой-либо другой функции наблюденных значений  , закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов   и от вида закона распределения величины  . Такого рода случайные величины играют большую роль в математической статистике; они наиболее подробно изучены для случая нормального распределения величины  .

Например, доказано, что при нормальном распределении величины   случайная величина

,                       (4.1)

где

,   ,

подчиняется так называемому закону распределения Стьюдента с   степенями свободы; плотность этого закона имеет вид

,                          (4.2)

где   - известная гамма-функция:

.

Доказано также, что случайная величина

              (4.3)

имеет «распределение  » с   степенями свободы, плотность которого выражается формулой

                        (4.4)

Не останавливаясь на выводах распределений (4.2) и (4.4), покажем, как их можно применить при построении доверительных интервалов для параметров   и  .

Пусть произведено   независимых опытов над случайной величиной  , распределенной по нормальному закону с неизвестными параметрами   и  . Для этих параметров получены оценки

,  .

Требуется построить доверительные интервалы для обоих параметров, соответствующие доверительной вероятности  .

Построим сначала доверительный интервал для математического ожидания. Естественно этот интервал взять симметричным относительно  ; обозначим   половину длины интервала. Величину   нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие

.             (4.5)

Попытаемся перейти в левой части равенства (4.5) от случайной величины   к случайной величине  , распределенной по закону Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства   на положительную величину  :

или, пользуясь обозначением (4.1),

.                            (4.6)

Найдем такое число  , что

.                    (4.7)

Величина   найдется из условия

.                    (.4.8)

Из формулы (4.2) видно, что   - четная функция; поэтому (4.8) дает

.                  (4.9)

Равенство (4.9) определяет величину   в зависимости от  . Если иметь в своем распоряжении таблицу значений интеграла

,

то величину можно найти обратным интерполированием в этой таблице. Однако удобнее составить заранее таблицу значений  . В этой таблице приведены значения   в зависимости от доверительной вероятности   и числа степеней свободы  . Определив   по таблице и полагая

,             (4.10)

мы найдем половину ширины доверительного интервала   и сам интервал

.                     (4.11)

Пример 1. Произведено 5 независимых опытов над случайной величиной  , распределенной нормально с неизвестными параметрами   и  . Результаты опытов приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1

	1	2	3	4	5
	-2,5	3,4	-2,0	1,0	2,1

Найти оценку   для математического ожидания и построить для него 90%-й доверительный интервал (т. е. интервал, соответствующий доверительной вероятности  ).

Решение. Имеем

;  .

По таблице для   и   находим

,

откуда

.

Доверительный интервал будет

.

Пример 2. Для условий примера 1 параграфа 3, предполагая величину   распределенной нормально, найти точный доверительный интервал.

Решение. По таблице находим при   и 

; отсюда  .

Сравнивая с решением примера 1 параграфа 3 ( ), убеждаемся, что расхождение весьма незначительно. Если сохранить точность до второго знака после запятой, то доверительные интервалы, найденные точным и приближенным методами, совпадают:

.

Перейдем к построению доверительного интервала для дисперсии.

Рассмотрим несмещенную оценку дисперсии

и выразим случайную величину   через величину   (4.3), имеющую распределение   (4.4):

.               (4.12)

Зная закон распределения величины  , можно найти интервал  , в который она попадает с заданной вероятностью  .

Закон распределения   величины   имеет вид, изображенный на рис. 4.1.

Рис. 4.1.

Возникает вопрос: как выбрать интервал  ? Если бы закон распределения величины   был симметричным (как нормальный закон или распределение Стьюдента), естественно было бы взять интервал   симметричным относительно математического ожидания. В данном случае закон   несимметричен. Условимся выбирать интервал так, чтобы вероятности выхода величины   за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площади на рис. 4.1) были одинаковы и равны

.

Чтобы построить интервал   с таким свойством, воспользуемся таблицей: в ней приведены числа   такие, что

для величины  , имеющей   распределение с   степенями свободы. В нашем случае  . Зафиксируем   и найдем в соответствующей строке таблицы два значения  ; одно, отвечающее вероятности  , другое - вероятности  . Обозначим эти значения   и  . Интервал   имеет   своим левым, а   - правым концом.

Теперь найдем по интервалу   искомый доверительный интервал   для дисперсии с границами   и  , который накрывает точку   с вероятностью  :

.

Построим такой интервал  , который накрывает точку   тогда и только тогда, когда величина   попадает в интервал  . Покажем, что интервал

                             (4.13)

удовлетворяет этому условию. Действительно, неравенства

; 

равносильны неравенствам

;  ,

а эти неравенства выполняются с вероятностью  . Таким образом, доверительный интервал для дисперсии найден и выражается формулой (4.13).

Пример 3. Найти доверительный интервал для дисперсии в условиях примера 2 параграфа 3, если известно, что величина   распределена нормально.

Решение. Имеем  ;  ;  . По таблице находим при 

для                       ;

для      .

По формуле (4.13) находим доверительный интервал для дисперсии

.

Соответствующий интервал для среднего квадратического отклонения:  . Этот интервал лишь незначительно превосходит полученный в примере 2 параграфа 3 приближенным методом интервал  .