2. Оценки для математического ожидания и дисперсии

Пусть имеется случайная величина   с математическим ожиданием   и дисперсией  ; оба параметра неизвестны. Над величиной   произведено   независимых опытов, давших результаты  . Требуется найти состоятельные и несмещенные оценки для параметров   и  .

В качестве оценки для математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюденных значений (ранее мы его обозначали  ):

.                                 (2.1)

Нетрудно убедиться, что эта оценка является состоятельной: согласно закону больших чисел, при увеличении   величина   сходится по вероятности к  . Оценка   является также и несмещенной, так как

.                (2.2)

Дисперсия этой оценки равна:

.                          (2.3)

Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения величины  . Можно доказать, что если величина   распределена по нормальному закону, дисперсия (2.3) будет минимально возможной, т. е. оценка   является эффективной. Для других законов распределения это может быть и не так.

Перейдем к оценке для дисперсии  . На первый взгляд наиболее естественной оценкой представляется статистическая дисперсия:

,               (2.4)

где

.                            (2.5)

Проверим, является ли эта оценка состоятельной. Выразим ее через второй начальный момент (по формуле (7.4.6) гл. 7)!!!!!:

.                 (2.6)

Первый член в правой части есть среднее арифметическое   наблюденных значений случайной величины  ; он сходится по вероятности к  . Второй член сходится по вероятности к  ; вся величина (2.6) сходится по вероятности к величине

.

Это означает, что оценка (2.4) состоятельна.

Проверим, является ли оценка   также и несмещенной. Подставим в формулу (2.6) вместо   его выражение (2.5) и произведем указанные действия:

.              (2.7)

Найдем математическое ожидание величины (2.7):

.                      (2.8)

Так как дисперсия   не зависит от того, в какой точке выбрать начало координат, выберем его в точке  . Тогда

;   ,   (2.9)

.                            (2.10)

Последнее равенство следует из того, что опыты независимы.

Подставляя (2.9) и (2.10) в (2.8), получим:

.                  (2.11)

Отсюда видно, что величина   не является несмещенной оценкой для  : ее математическое ожидание не равно  , а несколько меньше. Пользуясь оценкой   вместо дисперсии  , мы будем совершать некоторую систематическую ошибку в меньшую сторону. Чтобы ликвидировать это смещение, достаточно ввести поправку, умножив величину   на  . Получим:

.

Такую «исправленную» статистическую дисперсию мы и выберем в качестве оценки для  :

.                (2.12)

Так как множитель   стремится к единице при  , а оценка   состоятельна, то оценка   также будет состоятельной.

На практике часто вместо формулы (2.12) бывает удобнее применять другую, равносильную ей, в которой статистическая дисперсия выражена через второй начальный момент:

.                   (2.13)

При больших значениях  , естественно, обе оценки - смещенная   и несмещенная   - будут различаться очень мало и введение поправочного множителя теряет смысл.

Таким образом, мы пришли к следующим правилам обработки ограниченного по объему статистического материала.

Если даны значения  , принятые в   независимых опытах случайной величиной   с неизвестными математическим ожиданием   и дисперсией  , то для определения этих параметров следует пользоваться приближенными значениями (оценками):

                    (2.14)